Οι Καραμέλες ΙΙ

Το σημερινό πρόβλημα αποτελεί τροποποίηση του προβλήματος Οι Καραμέλες   από τον φίλο της ιστοσελίδας «Ανώνυμος» που το πρότεινε.

Τρία παιδιά μοιράζονται σε ίσες ποσότητες πάνω από τις μισές καραμέλες ενός κουτιού, που το πλήθος τους είναι ένας τριψήφιος αριθμός. Αυτός ο αριθμός έχει το ψηφίο των δεκάδων του κατά 2 μονάδες μεγαλύτερο από το ψηφίο των μονάδων του και το ψηφίο των εκατοντάδων του διπλάσιο από το ψηφίο των μονάδων του. Την άλλη μέρα, τρία άλλα παιδιά ξανακάνουν μια ίδια μοιρασιά με όλες τις καραμέλες που είχαν περισσέψει. Πόσες καραμέλες είχε αρχικά το κουτί; 

Παραλλαγή: 

Μάλιστα, το τροποποιημένο πρόβλημα θα ήταν πιο αληθοφανές, αν στον τριψήφιο αντιμεταθέταμε τον αριθμό των μονάδων και τον αριθμό των εκατοντάδων. Δηλ. αν έλεγε ότι ο αριθμός των δεκάδων είναι κατά 2 μονάδες μεγαλύτερος από τον αριθμό των εκατοντάδων και ο αριθμός των μονάδων διπλάσιος από τον αριθμό των εκατοντάδων.(Κατ.34)

Λύση

Λύση του "Ανώνυμου"
Αν Χ είναι το ψηφίο των μονάδων τότε των δεκάδων είναι Χ+2 και των εκατοντάδων 2Χ. Για να διαιρείται ο τριψήφιος με το 3 πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του να διαιρείται με το 3, άρα πρέπει 4Χ+2 να διαιρείται με το 3 και το Χ μπορεί να είναι το 4 ή το 1 καθώς το 2Χ πρέπει να είναι μικρότερο από 10. Οι δυνατοί τριψήφιοι είναι επομένως ο 864 και ο 231 και τα πρώτα 3 παιδιά μοιράζονται τις 864 καραμέλες και τα επόμενα τις υπόλοιπες 231. Το κουτί περιείχε λοιπόν 231+864=1.095 καραμέλες.
Παραλλαγή:
Στο συμμετρικό πρόβλημα οι τριψήφιοι είναι ο 468 και ο 132 και οι αρχικές καραμέλες του κουτιού 468+132=600.