Οι Εκλογές

Σε ένα παράλληλο ιδεατό σύμπαν γίνονται εκλογές. Οι πρόεδροι τριών μικρών κομμάτων ερίζουν για τις ψήφους των κατοίκων του χωριού Κάτω Μηλιά. Είθισται, ο καθένας τους σε τέτοιες περιπτώσεις να διαθέτει ένα χρηματικό ποσό ως «παροχή» για να εξασφαλίσει τις ψήφους των κατοίκων. Ο Α διαθέτει 724€ (καταξοδεύτηκε), ο Β διαθέτει  857€ και ο Γ διαθέτει  1.503€. Συζητούν οι τρεις τους.

Ο Α λέει:

-«Αν μοιράσω εξίσου τα χρήματα στις οικογένειες του χωριού και η καθεμία λάβει ακέραιο αριθμό ευρώ τότε θα μου περισσέψουν μερικά ευρώ.»

Ο Β ξέρει πόσες είναι οι οικογένειες κάνει τον υπολογισμό και του λέει¨

-«Εάν προσθέσω τα ευρώ που σου περισσεύουν στα δικά μου μπορώ να μοιράσω τα χρήματα εξίσου στις οικογένειες του χωριού και να μην περισσέψει κανένα ευρώ. » 

 Ο Γ λέει:

-«Το ίδιο ακριβώς θα μπορούσε να γίνει και στην δική μου περίπτωση.»

Πόσες οικογένειες ζουν στο χωριό Κάτω Μηλιά; (Κατ.34)

Διευκρίνιση:

Η λύση όχι με Modulo.

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2015/09/blog-post_16.html

Λύση

Στο χωριό Κάτω Μηλιά ζουν 17 οικογένειες. Έστω «α» το πλήθος των οικογενειών που ζουν στην Κάτω Μηλιά, «λ», «μ» και «ν» τα πηλίκα και «υ» τα υπόλοιπα. Από την υπόθεση έχουμε:
724=αλ+υ (1)
857+υ=αμ (2)
1.503+υ=αν (3)
Όπου, α, λ, μ, ν, και υ θετικοί ακέραιοι.
Προσθέτουμε τις (1) και (2) κατά μέλη κι’ έχουμε:
724=αλ+υ
857+υ=αμ
857+724+υ=αλ+αμ+υ ---> 857+724 =αλ+αμ+υ-υ ---> 1.581 =α(λ+μ) (4)
Μετατρέπουμε το 1.581 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
1.581=3*17*31 (5)
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (4) κι’ έχουμε:
1.581 =α(λ+μ) ---> 3*17*31=α(λ+μ) (6)
Προσθέτουμε τις (1) και (3) κατά μέλη κι’ έχουμε:
724=αλ+υ
1.503+υ=αν
724+1.503+υ=αλ+αν+υ ---> 724+1.503= αλ+αν+υ-υ --->2.227=α(λ+ν) (7)
Μετατρέπουμε το 2.227 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
2.227=17*131 (8)
Αντικαθιστούμε την (8) στην (7) κι’ έχουμε:
2.227=α(λ+ν) ---> 17*131=α(λ+ν) (9)
Από τις (6) και (9) προκύπτει ότι α = 17 (10) αφού ο 17 είναι ο μοναδικός ακέραιος αριθμός που διαιρεί ταυτόχρονα τα γινόμενα (3*17*31) και (17*131).
(3*17*31)/17=1.581/17=93
(17*131)/17=2.227/17=131
Επαλήθευση:
(Α)724=αλ+υ ---> 724-υ=αλ ---> λ=(724-υ)/α (11)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "υ" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "λ" είναι ο αριθμός υ=10 Αντικαθιστούμε τη τιμή του "υ" στη (11) κι’ έχουμε:
λ=(724-υ)/α ---> λ=(724-10)/17 ---> λ=714/17 ---> λ=42 (12)
(Β)857+υ=αμ ---> μ=(857+υ)/α ---> μ=(857+10)/17 ---> μ=867/17 ---> μ=51 (13)
(Γ)1.503+υ=αν ---> ν=(1.503+υ)/α ---> ν=(1.503+10)/17 ---> ν=1.513/17 ---> ν=89 (14)