Οι Θέσεις

Σε ένα σχολικό συμβούλιο συμμετέχουν 14 εκπαιδευτικοί.

α) Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν με οποιαδήποτε σειρά.

β) Εάν στους 14 εκπαιδευτικούς έχουμε:

Πέντε φιλόλογους , τέσσερις  μαθηματικούς , τρεις φυσικούς και δύο χημικούς, να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν έτσι , ώστε οι εκπαιδευτικοί με την ίδια ειδικότητα να είναι μαζί. (Κατ.5/Νο.108)
Πηγή: «Συνδυαστική» του μαθηματικού Α. Κοπάδη

Λύση

α)Οι 14 εκπαιδευτικοί που συμμετέχουν στο σχολικό συμβούλιο , μπορούν να καθίσουν με τόσους τρόπους όσες οι μεταθέσεις των 14 ατόμων. Βάσει του τύπου Μn=1*2*3*4*...*n=n! έχουμε:
Μn=1*2*3*4*...*n=n! ---> Μn=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14=14! ---> Μn= 87.178.291.200 τρόπους.
β)Οι 4 ειδικότητες μπορούν να διαταχθούν με τόσους τρόπους όσες είναι οι μεταθέσεις των 4 ειδικοτήτων.
Μn=1*2*3*4*...*n=n! ---> Μn=1*2*3*4=4! ---> Μn=24 τρόπους.
Σε καθένα από τους παραπάνω τρόπους έχουμε:
i)Οι 5 φιλόλογοι μπορούν να καθίσουν με τόσους τρόπους όσες οι μεταθέσεις των 5 ατόμων.
Μn=1*2*3*4*...*n=n! ---> Μn=1*2*3*4*5=5! ---> Μn=120 τρόπους.
ii)Οι 4 μαθηματικοί μπορούν να καθίσουν με τόσους τρόπους όσες οι μεταθέσεις των 4 ατόμων.
Μn=1*2*3*4*...*n=n! ---> Μn=1*2*3*4=4! ---> Μn=24 τρόπους.
iii)Οι 3 φυσικοί μπορούν να καθίσουν με τόσους τρόπους όσες οι μεταθέσεις των 3 ατόμων. Μn=1*2*3*4*...*n=n! ---> Μn=1*2*3=3! ---> Μn=6 τρόπους.
iv)Και οι 2 χημικοί μπορούν να καθίσουν με τόσους τρόπους όσες οι μεταθέσεις των 2 ατόμων.
Μn=1*2*3*4*...*n=n! ---> Μn=1*2=2! ---> Μn=2 τρόπους.
Άρα οι 14 εκπαιδευτικοί , σύμφωνα με τη βασική αρχή απαρίθμησης , μπορούν να καθίσουν με:
Μn=24*120*24*6*2 = 829.440 τρόπους έτσι , ώστε όσοι έχουν την ίδια ειδικότητα να είναι μαζί.