Καθένα από τα 6 τετράγωνα, του ανωτέρω σχήματος, πρόκειται να
τα χρωματισουμε με ένα από τα δέκα διαφορετικά χρώματα που έχουμε στη διάθεσή μας.
Πόσοι διαφορετικοί τρόποι χρωματισμού υπάρχουν τέτοιοι, ώστε να μην έχουμε δύο τετράγωνα
με το ίδιο χρώμα; (Κατ.5/Νο.107)
Πηγή:«Συνδυαστική» του μαθηματικού Α. Κοπάδη
Λύση
Λύση του "Ανώνυμος"Υπάρχουν 151.200 διαφορετικοί τρόποι.Ισχύει* ότι:
P(n, k)=n(n-1)(n-2)…(n-k+1) ---> P(n, k)=n!/(n-k)!. ---> P(10,6)=10!/(10-6)! ---> P(10,6)=10!/4! --->
P(10,6)= 1*2*3*4*5*6*7*8*10/1.2.3.4 ---> P(10,6)= 5*6*7*8*10 ---> P(10,6)=151.200
*: Η απόδειξη είναι αρκετά απλή. Για το πρώτο τετράγωνο έχουμε διαθέσιμα 10 χρώματα. Για το επόμενο έχουμε τα 9 που δεν χρησιμοποιήσαμε κ.ο.κ.
Αναρτήσεις
5 σχόλια:
P(10,6)
@Ανώνυμος
Σε προγενέστερο σχόλιο αναφέρθηκα στο θέμα της ανάλυσης στη λύση και όχι σ' ένα σχέτο αριθμό ως αποτέλεσμα. Θα ήθελα πλήρη λύση.
Το P(10,6) που έγραψα στο προηγούμενο μήνυμά μου, είναι το πλήθος των διατάξεων 10 χρωμάτων σε 6 τετράγωνα, δηλαδή αυτό ακριβώς που ρωτάτε στο πρόβλημα.
Ισχύει* ότι
P(n, k)=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)
ή P(n, k)=n!/(n-k)!.
Συνεπώς P(10,6)=151.200
*: Η απόδειξη είναι αρκετά απλή. Για το πρώτο τετράγωνο έχουμε διαθέσιμα 10 χρώματα. Για το επόμενο έχουμε τα 9 που δεν χρησιμοποιήσαμε κ.ο.κ.
@Ανώνυμος
Δεν αντιλέγω σ' αυτό που γράψατε ότι δεν συμφωνεί με τα δεδομένα του προβλήματος. Αυτό που ζητούσα ήταν αυτή την ανάλυση που γράψατε.
Συγχαρητήρια! Ηαπάντησή σας είναι σωστή.
Δημοσίευση σχολίου