Περί Διαδρομών

1. Ένας ποδηλάτης διανύει τη διαδρομή από το χωριό Α στο χωριό Β. Η απόσταση των χωριών είναι 2Km.. Ο ποδηλάτης ξεκινάει από το Α και κάνει τη μισή διαδρομή με ταχύτητα 15Km/h. Πόσο πρέπει να αυξήσει την ταχύτητά του για την υπόλοιπη μισή διαδρομή, ώστε να πετύχει να καλύψει όλη τη διαδρομή από το Α στο Β με μια μέση ταχύτητα 30Km/h;

2. Ένα τρένο ξεκινάει από Αθήνα για Θεσσαλονίκη με ταχύτητα 70Km/h. Ταυτόχρονα με το πρώτο, ξεκινάει ένα δεύτερο τρένο από Θεσσαλονίκη προς Αθήνα με ταχύτητα 80Κm/h. Πόσο θα απέχουν μεταξύ τους μία ώρα πρίν συναντηθούν;

3. Μπορεί ένας Ίππος ή ένας Πύργος να ξεκινήσει από το κάτω αριστερά τετράγωνο, «α1»,  μιας σκακιέρας και να καταλήξει στο πάνω δεξιά τετράγωνο, «θ8», περνώντας από όλα τα τετράγωνα της σκακιέρας μόνο μία φορά;

Διευκρίνιση:

Είναι καθαρά μαθηματικό πρόβλημα, και η λύση του βασίζεται σε μια σχετικά απλή παρατήρηση, που δεν έχει καμία εξειδικευμένη σχέση με σκακιστική γνώση. Απλώς να ξέρει κάποιος/α πώς κινείται ο Ίππος και ο Πύργος.(Κατ.27/Νο.450)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/10/blog-post_2654.html

Λύση

1.Για να διανύσει τη συνολική απόσταση των 2 Km με μέση ταχύτητα 30 Km/h θα πρέπει ο συνολικός χρόνος του ταξιδιού να είναι 2/30 h = 4 min. Έχοντας τρέξει το 1 Km με ταχύτητα 15 km/h ο χρόνος που χρειάστηκε ήταν 1/15 h = 4 min. Του μένουν λοιπόν 0 min για να διανύσει το 2ο Km. Επομένως, και η ταχύτητα του φωτός να ήταν εφικτή, δε θα ήταν αρκετή! 2.Στο διάστημα της 1 ώρας πριν και μέχρι να συναντηθούν το πρώτο τρένο έχει να διανύσει 70 Km και το δεύτερο 80 Km. Άρα απέχουν 70+80=150 km. 3.Η απάντηση είναι "όχι". Ένας ίππος κινείται πάντοτε από λευκό τετράγωνο σε μαύρο και από μαύρο σε λευκό (τούμπαλιν). Έτσι ξεκινώντας από οποιοδήποτε μαύρο τετράγωνο, στην περίπτωσή μας το «α1», μετά από 63 κινήσεις (για να πατήσει σε όλα τα τετράγωνα άπαξ) πρέπει να προσγειωθεί σε λευκό τετράγωνο υποχρεωτικά, Αλλά το «θ8» είναι μαύρο. Έτσι ,η αποστολή του είναι αδύνατη, όπως είναι αδύνατη και η ίδια αποστολή για έναν Πύργο για τον ίδιο λόγο, που ξεκινάει από το «α1» για να καταλήξει στο «θ8». Εάν ο Πύργος κινηθεί από το «α1» οριζόντια ζικ-ζκ θα φθάσει στο τετράγωνο «θ8» χωρίς να περάσει από τα τετράγωνα «α8, β8, γ8, δ8 ε8, ζ8, και η8». Ενώ εάν κινηθεί κάθετα ζικ-ζακ θα φθάσει στο τετράγωνο «θ8» χωρίς να περάσει από τα τετράγωνα «θ1, θ2, θ3, θ4, θ5, θ6, και θ7» Λύση του batman1986: Η απάντηση είναι ότι ούτε ο πύργος ούτε ο ίππος μπορούν να καταλήξουν στο θ8 Ο λόγος είναι πολύ απλός,Ο ιππος κινείται ενναλάξ από άσπρο σε μάυρο τετράγωνο.Για να περάσει απ όλα τα τετράγωνα της σκακιέρας εφόσον είναι ζύγος αριθμός(64) πρέπει να κάνει να κάνει ζυγό αριθμό κινήσεων δηλαδή να καταλήξει σε άσπρο (εφόσον τα 32 είναι λευκά και τα άλλα 32 μαύρα).Όμως το θ8 είναι μαύρο 'αρα αποκλείεται να μπορεί να επιτευχθεί. Το ίδιο ισχύει και για τον πύργο Λύση του Ε. Αλεξίου: Για τον ίππο έχω λύση. Το άλογο κινείται από μαύρο τετράγωνο σε λευκό και από λευκό τετράγωνο σε μαύρο και αφού ξεκινάει από μαύρο και τα τετράγωνα είναι 64 αναγκαστικά θα κετέληγε σε λευκό και όχι σε μαύρο, όπως είναι εδώ. Άρα δεν γίνεται. Για τον πύργο δεν έχω λύση αφού ο πύργος οριζοντίως και καθέτως μπορεί να πάει είτε σε ίδιου χρώματος τετράγωνο είτε σε διαφορετικού χρώματος και είναι σύνθετο κάτι σαν τις γέφυρες του Königsberg, δεν ξέρω πως λέγεται αυτός ο τομέας των μαθηματικών και δεν έχω και ιδέα πάνω σε αυτόν. Αν ήταν "κένταυρος" Πυργόνι, δηλαδή Πύργος-πιόνι, μία κίνηση οριζόντια ή μία κίνηση κάθετα θα έλεγα πάλι όχι για τον ίδιο λόγο με τον ίππο. Για το 3 συνέχεια. Κοιτάζοντας το καλύτερα διαπιστώνω ότι και για τον πύργο ισχύει το ίδιο, λίγο πιο σύνθετα, δηλαδή αν κάνω δύο συνεχείς κινήσεις από λευκό σε λευκό, στην συνέχεια ο πύργος εγκλωβίζεται και δεν έχει κίνηση και δεν φτάνει ποτέ στο πάνω δεξιά και είναι λογικό αφού από τα 63 ελεύθερα τετράγωνα τα λευκά είναι 32 και τα μαύρα 31, άρα όπως και να έχει, το πολύ-πολύ φτάνει μέχρι το λευκό κάτω από το τελικό μαύρο χωρίς να έχει περάσει από το λευκό αριστερά από το τελικό τετράγωνο. Άρα όχι. Το ίδιο ισχύει για οποιαδήποτε 2ν*2ν σκακιέρα, ενώ για (2ν-1)*(2ν-1) σκακιέρες φτάνει στο τέλος περνώντας από όλα τα τετράγωνα.