Το Άθροισμα

Ο Γιάννης και η οικογένειά του ταξιδεύοντας στην εθνική όδό με το αυτοκίνητό του είδε μια χιλιομετρική πινακίδα. Δεν πρόλαβε όμως να ελαττώσει τη ταχύτητα για να μπορέσει να διαβάσει τον αριθμό που έγραφε. Διέκρινε όμως ότι ήταν ένας τετραψήφιος αριθμός με τα εξής χαρακτηριστικά στοιχεία:

α)Θυμάται ότι ένα από τα ψηφία του ήταν ο αριθμός 1. 

β)Ο αριθμός που ήταν στη θέση των εκατοντάδων ήταν τριπλάσιος από τον αριθμό που υπήρχε στη θέση των χιλιάδων. 

γ)Ο αριθμός που υπήρχε σε μια θέση ήταν τετραπλάσιος από τον αριθμό που υπήρχε στη θέση των δεκάδων. 

δ)Ο αριθμός που υπήρχε στη θέση των χιλιάδων ήταν ο αριθμός 2.

Ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων  του αριθμού της χιλιομετρικής πινακίδας που είδε;
(Κατ.34/Νο.817)

Λύση

Η ένδειξη της χιλιομετρικής πινακίδας ήταν ο αριθμός 2614, και το άθροισμα των ψηφίων της ισούται με 13. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: 2+β+γ+δ=ω (1), β=3α (2), δ=4γ (3). Από τη (2) συνάγουμε ότι: β=3α --> β=3*2 ---> β=6 (4) Αντικαθιστούμε τις (3) και (4) στην (1) κι’ έχουμε: 2+β+γ+δ=ω ---> 2+6+γ+4γ=ω ---> 8+5γ=ω --->5γ=ω-8 ---> γ=(ω-8)/5 (5) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "ω" τις τιμές από το 1 έως το n, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη του προβλήματος και δίνει ακέραιο αριθμό "γ" είναι ο αριθμός ω=13 (4). Αντικαθιστούμε τη τιμή του "ω" στη (5) κι’ έχουμε: γ=(ω-8)/5 ---> γ=(13-8)/5 ---> γ=5/5 ---> γ=1 (6) Επαλήθευση: 2+β+γ+δ=ω ---> 2+6+1+4=13 β=3α ---> β=3*2 ---> β=6 δ=4γ ---> δ=4*1 ---> δ=4 ο.ε.δ. Λύση του Eleochori Kavala. αβγδ, 2βγδ (λογω προτασης δ), 26γδ (γιατι β=3α=3*2, προτασης β), τωρα, γ ή δ = 1 (λογω προτασης α), μας λεει οτι ενας αριθμος ηταν τετραπλασιος απο αυτον στις δεκαδες αρα 4γ = α ή β ή δ 4γ= δ ( γιατι 4γ=α=2 και 4γ=β=6 ειναι αδυνατο, δεν δινουν ακεραιο), οποτε γ=1 αναγκαστικα για να δωσει ακειραιο το δ, λογω της προτασης (α) αρα δ=4 αβγδ=2614