Η Πόκα

Τρεις φίλοι παίζουν χαρτιά, το ίδιο παιχνίδι και πολλούς γύρους. Ανάλογα με τη σειρά επιτυχίας παίρνει πάντα ο καθένας ένα σταθερό ποσό, ένα ή
περισσότερα ευρώ. 
Στο τέλος έχουν συγκεντρώσει: 
Ο ένας 20€, ο άλλος 10€ και ο τελευταίος 9€. 
Να βρείτε: 
α)Πόσους γύρους έπαιξαν; 
β)Ποια ήταν τα ποσά για κάθε ένα βραβείο (θέση κατάταξης); 
Σημείωση: 
α) Όλα τα ποσά είναι ακέραιοι αριθμοί.
β) Τα βραβεία είναι τρία: 1^o, 2^ο, 3^ο. (Κατ.34./Νο.666)

Πηγή:http://nikos-kritikos.blogspot.gr/2013/12/blog-post_12.html

Λύση

Λύση του batman1986. Έπαιξαν τρεις γύρους και τα ποσά για κάθε βραβείο ήταν 1ο βραβείο=8€, 2ο βραβείο=4€ και 3ο βραβείο=1€. α) Το συνολικό ποσό που μοιράστηκε είναι 39€(20€+10€+9€). Έστω «α» το ποσό για κάθε γύρο της 1ης θέσης, «β» το ποσό για κάθε γύρο της 2ης θέσης, και «γ» το ποσό για κάθε γύρο της 3ης θέσης. Έστω «κ» ο αριθμός των γύρων που παίχτηκαν. Σε κάθε γύρο μοιράζεται από μια φορά πάντα το «α», το «β», και το «γ». Άρα έχουμε κ*(α+β+γ)=39. Το «κ» πρέπει να διαιρεί ακέραια το 39. Το κ=1 απορρίπτεται λόγω εκφώνησης. Επίσης απορρίπτεται το κ=39. Αφού α+β+γ=1 (άτοπο αφού το μεγαλύτερο ποσό κάθε γύρου θα ήταν 1 και οι άλλοι 2 δεν θα παίρνανε τίποτα). Ομοίως απορρίπτεται το 13, αφού α+β+γ=3. Άρα 2+1+0(δηλαδή ο 3ος δεν παίρνει τίποτα). Οπότε η μόνη δεκτή λύση είναι 3 γύροι β)Καταρχήν το 1ο χρηματικό βραβείο πρέπει να είναι ποσό μεγαλύτερο του 6, διότι 3*6=18 μικρότερο του 20 (και τις 3 φορές να έβγαινε πρώτος δεν θα έφτανε το ποσό μας). Επίσης το ποσό του 1ου πρέπει να είναι 11 και μικρότερο, λόγω του ότι σε κάθε γύρο μοιράζονται 13€. Άρα α+β+γ=13. Προκύπτει ότι τα έπαθλα είναι 8€, 4€, και1€ αντίστοιχα. Αυτός που πήρε τα 20€ βγήκε 2 φορές 1ος και μία 2ος (2*8+4=20€). Αυτός που πήρε τα 10€, βγήκε μια φορά 1ος και 2 φορές 3ος (8+2*1=10€ ). Αυτός που πήρε τα 9€ βγήκε δύο φορές 2ος και μια φορά 3ος (2*4+1*1=9€). Αυτό προέκυψε με την απαίτηση: 2*α+β+0*γ=20, α+0*β+2*γ=10, 0*α+2*β+γ=9. Δηλαδή σπάσαμε την εξίσωση: κ*(α+β+γ)=39 --> 3*(α+β+γ)=20+10+9 σε 3 μέρη και λύσαμε το σύστημα.