Το Καλάμι

Ένα καλάμι (μπαμπού) ύψους 32ποδιών, το οποίο εφάπτεται με έναν τοίχο, έσπασε σ’ ένα σημείο και η κορυφή του ακούμπησε στο έδαφος 16 μονάδες από τη βάση του. Σε ποιο σημείο έσπασε;  (Κατ.34/Νο.597)

Bhaskara (1114-1185 µ.Χ.)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/08/blog-post_6483.html

Λύση

Έσπασε 12μέτρα πάνω απο το έδαφος. Έστω (ΑΔ)=32μέτρα το καλάμι και (ΓΔ) = 32-x μέτρα η αρχική θέση του καλαμιού. Μετά το σπάσιμο και το λύγισμά του η νέα θέση του καλαμιού σχηματίζει τη γωνία ΑΓΒ και (ΑΒ) = 16μ. η απόσταση της βάσεως με τη νέα θέση της κορυφής του καλαμιού μετά το λύγισμα. Το τρίγωνο ΑΒΓ, που σχηματίζεται, είναι ορθογώνιο με : (ΑΒ) = 16μ., (ΑΓ) = xμ., (ΒΓ) = (32-x)μ. Βάσει του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε: (ΑΒ)^2+ (ΑΓ)^2 = (ΒΓ)^2 --> (16)^2 + (x)^2 = (32-x)^2 --> 256+x^2 =[1.024-(2*32x)+x^2] --> 256+ x^2=1.024-64x +x^2 --> 64x=1.024-256- x^2+ x^2 --> 64x=1.024-256 --> 64x=768 --> x=768/64 x=12μ. Επαλήθευση: (16)^2 + (x)^2 = (32-x)^ --> (16)^2 + (12)^2 = (32-12)^2 --> 16)^2 + (12)^2 = (20)^2 --> 256+144=400 ο.ε.δ.