Η Επίθεση

Ένας φασιανός κάθεται στην κορυφή ενός στύλου, στη βάση του οποίου ένα φίδι είχε τη φωλιά του. Το φίδι εκείνη τη στιγμή βρισκόταν σε απόσταση 3 φορές το ύψος του στύλου, από τη φωλιά του. Ο φασιανός επιτέθηκε προς το φίδι, διανύοντας ευθεία, και το πρόλαβε σε ένα σημείο του εδάφους αφού και τα δύο, φίδι και φασιανός, διένυσαν ίσες αποστάσεις. Πόσο απείχαν από τη φωλιά όταν συναντήθηκαν ; (Κατ.34/Νο.598)

Bhaskara (1114-1185 µ.Χ.)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/08/blog-post_7648.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. 1η Λύση: Έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 1 πρός 3, άρα η εφαπτομένη της μικρότερης γωνίας του τριγώνου ισούται με 1/3, άρα η γωνία είναι 18,434949 μοίρες. Επίσης η κορυφή του στύλου, η βάση του στύλου και το σημείο που συναντήθηκαν σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 90 μοίρες, 2*18,434949=36,869898(αφού το τρίγωνο των διαδρομών και της αρχικής υποτείνουσας είναι ισοσκελές) και 90-36,869898 = 53,130102 μοίρες. Συνεπώς η ζητούμενη απόσταση ισούται με: (ύψος στύλου) *tan53130102=1,333333...=(1+1/3)*ύψος στύλου. 2η Λύση: Έστω Χ φορές το ύψος του στύλου η απόσταση του σημείου συνάντησης από την βάση του στύλου, άρα 3-Χ οι αποστάσεις που διήνυσαν φασιανός και φίδι. Πυθαγόρειο στο ορθ.τρίγωνο(1,Χ,3-Χ) 1^2+Χ^2=(3-Χ)^2=9+Χ^2-6Χ => 6Χ=8 => Χ=(4/3)*ύψος στύλου