Ο Εκτυπωτής

 Κυριάκος: «Ηλία, αν φυλάξουμε το χαρτζιλίκι μας για μερικές μέρες, θα πάρουμε εκτυπωτή.» 
Ηλίας: «Εάν όμως ζητούσαμε 4€  περισσότερα, ανά ημέρα, συν δύο στο δικό σου χαρτζιλίκι, συν δύο στο δικό μου χαρτζιλίκι, θα τον παίρναμε δέκα πέντε μέρες νωρίτερα.» 
Κυριάκος: «Ναι, αλλά εάν ζητούσαμε 8€ περισσότερα, ανά ημέρα, συν τέσσερα στο δικό σου χαρτζιλίκι, συν τέσσερα στο δικό μου χαρτζιλίκι θα τον παίρναμε είκοσι μέρες νωρίτερα.»
Πόσο κοστίζει ο εκτυπωτής; (Κατ.34/Νο.554)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/05/blog-post_1785.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. 4+2+2=8ευρω περισσότερα /ημέρα, 15 ημέρες νωρίτερα 8+4+4=16 ευρώ/ημέρα, 20 μέρες νωρίτερα χ το αρχικό χαρτζιλίκι και y οι μέρες που χρειάζονταν για την αγορά Κόστος εκτυπωτή χy ή (χ+8)*(y-15) ή (x+16)*(y-20) (χ+8)/χ =y/(y-15) (1) (x+16)/x=y/(y-20) (2) Από την (1) έχω: (χ+8)*(y-15)=χy => χy+8y-15x-120=xy => 8y-15x=120 =>8y=120+15x =>y= (120+15x)/8(3) Από την (2) έχω: (x+16)*(y-20)= χy =>16y-20x=320 =>16*(120+15x)/8-20x=320 =>2*(120+15x)-20x=320 => 240+30x-20x=320 =>10x=80 =>x=8 Αντικαθιστώ στην (3) y=(120+15*8)/8 = 30 ημέρες Δαπάνη εκτυπωτή: 8*30=240 ευρώ Επαλήθευση: 16*15=240 24*10=240 Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Το πρώτο δεδομένο του προβλήματος, αν x =το χαρτζιλίκι του Ηλία/ημέρα, και y=τo χαρτζιλίκι του Κυριάκου /ημέρα, μεταφράζεται στην εξίσωση: (x+y)*ν=Κ (α) ν =ο αριθμός των ημερών που απαιτούνται για την αγορά του. Κ= κόστος εκτυπωτή που ψάχνουμε. Από το δεύτερο & τρίτο δεδομένο, έχουμε κατά σειρά τις εξισώσεις: (ν-15)*4 + (ν-15)*(x+y+4)=Κ (β) (ν-20)*8 +(ν-20)*(x+y+8)=Κ (γ) Από την (α): (x+y)=Κ/ν οπότε οι (β) και (γ) γίνονται: (ν-15)*4 + (ν-15)* (Κ/ν +4)=Κ (1) (ν-20)*8 + (ν-20)*(Κ/ν+8)=Κ (2) Από το σύστημα (1) (2) προκύπτουν δύο εξισώσεις παραβολών: K=(8/15) ν^2 -8ν και Κ=(4/5)ν^2 -16ν Οι παραβολές τέμνονται στο {Κ,ν}= [240, 30} Άρα, κόστος εκτυπωτή Κ=240€. Υστερόγραφο:Προκύπτει άθροισμα χαρτζιλικιών x+y=240/30(ημέρες)=8 Άρα συγκεντρωτικά : Θα χρειαζόντουσαν αρχικά 30 ημέρες για να πάρουν τον εκτυπωτή κόστους 240€. Στο πρώτο σενάριο αυξήσεων θέλουν 15 μέρες, και στο δεύτερο 10. Λύση του Papaveri. Ο εκτυπωτής κοστίζει 240€. Έστω «x» η τιμή του εκτυπωτή, «t» το αρχικό χρονικό διάστημα (δίχως τις αυξήσεις στο χαρτζιλίκι) και «α» το άθροισμα των δύο ποσών σε ευρώ ανά ημέρα που έχουν ο Κυριάκος και ο Ηλίας. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τρεις εξισώσεις με τρεις αγνώστους. Ας δούμε τι εξίσωση δίνει η κάθε φράση: -«Ηλία, αν φυλάξουμε το χαρτζιλίκι μας για μερικές μέρες, θα πάρουμε εκτυπωτή.» αt=x (1) -«Αν όμως ζητούσαμε 4 Ευρώ περισσότερα, ανά ημέρα, συν δύο εσύ συν δύο εγώ, θα τον παίρναμε δέκα πέντε μέρες νωρίτερα.» (α+8)*(t-15)=x (2) 8€ = 2€+2€ (που είχε ο καθ’ ένας)+4€ (εάν ζητούσαν). -«Κι αν ζητούσαμε 8 Ευρώ περισσότερα, συν τέσσερα στο δικό σου, συν τέσσερα και στο δικό μου χαρτζιλίκι ανά ημέρα, θα τον παίρναμε είκοσι μέρες νωρίτερα.» (α+16)*(t-20)=x (3) 16€ = 4€+4€ (που είχε ο καθ’ ένας)+8€ (εάν ζητούσαν). Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε: (α+8)*(t-15)=x --> (α+8)*(t-15)=αt --> αt+8t-15α-120=αt --> αt-αt+8t-15α-120=0 --> 8t=15α+200 (4) Αντικαθιστούμε την (1) στη (3) κι’ έχουμε: (α+16)*(t-20)=x --> (α+16)*(t-20)=αt --> αt+16t-20α-320=αt --> αt-αt+16t-20α-320=0 --> 16t=20α+320 (5) Αφαιρούμε τη (4) από τη (5) κι’ έχουμε: 16t=20α+320 -8t=-15α -200 8t = 5α+200 --> t = (5α+200)/8 (6) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε τη διερεύνηση των ριζών. Η τιμή του "α" πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίδοντας στο "α" τις τιμές από το 1 έως το 9 βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη του προβλήματος είναι α = 8. Αντικαθιστούμε τις τιμές του "α" στην (6) κι’ έχουμε: t=(5α+200)/8 --> t=[(5*8)+200]/8 --> t=(40+200)/8 --> t=240/8 --> t=30 (7) Επαλήθευση: αt=x --> 8*30=240€ (α+8)*(t-15)=x --> (8+8)*(30-15)=16*15=240€ (α+16)*(t-20)=x --> (8+16)*(30-20)=24*10=240€