Διαστάσεις Ορθογωνίου

Να βρεθούν οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με:

Α)Εμβαδόν 10εκ.^2, και Περίμετρο 14εκ.

Β)Εμβαδόν 180εκ.^2, και Περίμετρο 56εκ.

Γ)Εμβαδόν 97,50εκ.^2, και Περίμετρο 41εκ. (Κατ.34/Νο.558)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/01/blog-post_4882.html

Λύση

Λύση του Ν. Λέντζου. Και οι τρεις περιπτώσεις αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο. Αν γνωρίζουμε το άθροισμα S και το γινόμενο P δύο αριθμών τότε τότε οι αριθμοί αυτοί είναι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Χ^2 - SΧ + Ρ = 0 Έτσι λοιπόν για την πρώτη περίπτωση είναι S=7 και Ρ=10 και η εξίσωση είναι χ^2-7χ+10=0 με ρίζες 2 και 5. Αν α, β είναι λοιπόν οι διαστάσεις (με α<β), τότε α=2cm και β=5cm. Όμοια και για την δεύτερη περίπτωση με εξίσωση χ^2-28χ+180=0 με ρίζες 10 και 18 και διαστάσεις α=10cm και β=18cm. Όμοια και για την τρίτη περίπτωση με εξίσωση χ^2-20,5χ+97,5=0 ή 2χ^2-21χ+195=0 με ρίζες 7,5 και 13 και κατά συνέπεια διαστάσεις α=7,5cm και β=13cm. Λύση του Papaveri. Α)Ο τύπος του εμβαδού του ορθογωνίου είναι: Ε=β*υ (1) Ο τύπος της περιμέτρου του ορθογωνίου είναι: Π=2*(β+υ) (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: Ε=β*υ --> 10=β*υ --> β=10/υ (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: Π=2*(β+υ) --> 14=2*[(10/υ)+υ] --> 14=2*(10+υ^2)/υ --> 2*(10+υ^2)=14υ --> 20+2υ^2=14υ --> 2υ^2-14υ+20=0 Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε: x=(-β+/-sqrt[(β^2-4αγ)]/2α --> x=14+/-sqrt[(-14)^2-(4*2*20)]/2*2 --> x=[14+/-sqrt(196-160)]/4 --> x=[14+/-sqrt(36)]/4 --> x=(14+/-6)/4 --> x1=(14+6)/4 --> x1=20/4 --> x1= 5, x2=(14-6)/4 --> x2=8/4 --> x2= 2 Επαλήθευση: Ε=β*υ --> Ε=5*2 --> Ε=10εκ.2 Π=2*(β+υ) --> Π=2*(5+2) --> Π=2*7 --> Π=14εκ. Β) Ο τύπος του εμβαδού του ορθογωνίου είναι: Ε=β*υ (1) Ο τύπος της περιμέτρου του ορθογωνίου είναι: Π=2*(β+υ) (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: Ε=β*υ --> 180=β*υ --> β=180/υ (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: Π=2*(β+υ) --> 56=2*[(180/υ)+υ] --> 56=2*(180+υ^2)/υ --> 2*(180+υ^2)=56υ --> 360+2υ^2=56υ --> 2υ^2-56υ+360=0 Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε: x=(-β+/-sqrt[(β^2-4αγ)]/2α --> x=56+/-sqrt[(-56)^2-(4*2*360)]/2*2 --> x=[56+/-sqrt(3.136-2.880)]/4 --> x=[56+/-sqrt(256)]/4 --> x=(56+/-16)/4 --> x1=(56+16)/4 --> x1=72/4 --> x1= 18, x2=(56-16)/4 --> x2=40/4 --> x2= 10 Επαλήθευση: Ε=β*υ --> Ε=18*10 --> Ε=180εκ.2 Π=2*(β+υ) --> Π=2*(18+10) --> Π=2*28 --> Π=56εκ. Γ ) Ο τύπος του εμβαδού του ορθογωνίου είναι: Ε=β*υ (1) Ο τύπος της περιμέτρου του ορθογωνίου είναι: Π=2*(β+υ) (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: Ε=β*υ --> 97,50=β*υ --> β=97,50/υ (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: Π=2*(β+υ) --> 41=2*[(97,50/υ)+υ] --> 41=2*(97,50+υ^2)/υ --> 2*(97,50+υ^2)=41υ --> 195+2υ^2=41υ --> 2υ^2-41υ+195=0 Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε: x=(-β+/-sqrt[(β^2-4αγ)]/2α --> x=41+/-sqrt[(-41)^2-(4*2*195)]/2*2 --> x=[41+/-sqrt(1.681-1.560)]/4 --> x=[41+/-sqrt(121)]/4 --> x=(41+/-11)/4 --> x1=(41+11)/4 --> x1=52/4 --> x1= 13, x2=(41-11)/4 --> x2=30/4 --> x2= 7,50 Επαλήθευση: Ε=β*υ --> Ε=13*7,50 --> Ε=97.50εκ.2 Π=2*(β+υ) --> Π=2*(13+7,50) --> Π=2*20,50 --> Π=41εκ.