Τ' Αυγά

 Ένας αγρότης τοποθετεί ανά εννέα τα αυγά του σε καλάθια και του μένουν δύο καλάθια άδεια. Την ίδια ποσότητα αυγών την τοποθετεί ανά έξι στον ίδιο αριθμό καλαθιών, και του περισσεύουν δέκα πέντε αυγά. Πόσα αυγά και πόσα καλάθια έχει ο αγρότης; (Κατ.34/Νο.555)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/04/blog-post_8884.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. α = αριθμός αυγών, κ = αριθμός καλαθιών α/9 =κ-2 (1) (α-15)/6 =κ (2) Από (1) και (2): k=11, α=81 Έλεγχος: 81/9=9 (11-2) 6*11=66 (+15=81) Λύση του Papaveri. Ο αγρότης έχει 81 αυγά και 11 καλάθια. Έστω «α» τα αυγά και «β» τα καλάθια. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: α = 9*(β-2) (1), α = 6β+15 (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: α = 9*(β-2) --> α = 9β-18 (3) Προσθέτουμε κατά μέλη τη (2) και τη (3) κι’ έχουμε: α = 6β+15, + α = 9β-18 2α =15β-3 --> α=(15β-3)/2 (4) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "β" τις τιμές από το 1 έως το n, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "α" είναι ο αριθμός β = 11. Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στη (4) κι’ έχουμε: α=(15β-3)/2 --> α=[(15*11)-3]/2 --> α=(165-3)/2 --> α=162/2 --> α=81 (5) Επαλήθευση: α = 9*(β-2) --> α=9*(11-2) --> α=9*9=81 α = 6β+15 --> α=[(6*11)+15] --> α=66+15 --> α=81 ο.ε.δ.