Τα Κλάσματα

Δύο θετικά κλάσματα έχουν άθροισμα Α και αν αλλάξουν τους παρονομαστές τους, τότε το άθροισμα τους γίνεται 5Α. Να βρεθούν τα δύο θετικά κλάσματα.(Κατ.34/Νο.543)

Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2012/03/blog-post_8852.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Είναι σίγουρο ότι υπάρχουν τέτοια κλάσματα (πέραν των προφανών 0/ν και 0/κ ,δηλαδή) 1/1 + 11/9 = 20/9 1/9 + 11/1 = 100/9 = 5*20/9 Αν έχω κάνει σωστή διερεύνηση, για να υπάρχουν ακέραιες θετικές λύσεις το πρώτο κλάσμα πρέπει να είναι μοναδιαίο 1/1. Πρέπει λοιπόν να βρούμε τη γενική λύση της: (1 + ν/κ)*5= (1/κ)+ν Για κ και ν θετικά γίνεται: κ(ν-5) +1=5ν Άρα (για κ-5 διαφορετικό από 0) ν=(5κ-1)/(κ-5) Αυτή έχει 8 θετικές λύσεις (επί συνόλω 16 ακεραίων) κ=6 , ν=29 7, 17 8, 13 9, 11 Και τις αντίστροφες (ν/κ) 29, 6 17,7 13,8 11,9 Οι ακολουθίες των λύσεων παρουσιάζουν ενδιαφέρον νομίζω. Συμπλήρωση από N. Lntzs. Ενδιαφέρων ο γρίφος και να συμφωνήσω με τον Γιώργο ότι οι ακολουθίες των λύσεων παρουσιάζουν ενδιαφέρον. Οι λύσεις όμως δεν περιορίζονται στο ότι το πρώτο κλάσμα να είναι μοναδιαίο αλλά υπάρχουν λύσεις με το πρώτο κλάσμα να είναι της μορφής 1/λ (λ φυσικός, και όχι μηδέν). Αρκεί να βρούμε τις ακέραιες λύσεις της: (1/λ + ν/κ)*5= 1/κ+ν/λ ή (για κ-5 διαφορετικό από 0) ν=λ*(5κ-1)/(κ-5) Για λ=1 οι λύσεις [όπως σωστά ανέφερε και ο Γιώργος] είναι: (ν,κ)=(6,29), (7,17), (8,13), (9,11), (11,9), (13,8), (17,7) και (29,6) Γενικότερα: Για τυχαία φυσική τιμή του λ οι λύσεις είναι: (ν,κ)=(6,29λ), (7,17λ), (8,13λ),(9,11λ), (11,9λ), (13,8λ), (17,7λ) και (29,6λ).