Ο Στόχος

Η πιθανότητα ένας πύραυλος, ο οποίος έχει προγραμματισθεί, να πετύχει έναν στόχο είναι 6%. Πόσους πυραύλους πρέπει να εκτοξεύσουμε ώστε να είμαστε 99% σίγουροι ότι τουλάχιστον ένας πύραυλος θα πετύχει τον στόχο; (Κατ.33/Νο.22)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/12/blog-post_8177.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. H πιθανότητα επιτυχίας ενός πυραύλου είναι 6% ή αλλιώς 0,06 Αν στείλουμε 2 πυραύλους ταυτόχρονα P(επιτυχίας)= 0,06^2 ή P(επιτ.)=0,06^ν είναι οι πιθανότητες αν εκτοξευθούν 2 και ν πύραυλοι αντίστοιχα να πετύχουν ΟΛΟΙ τον στόχο. Το συμπληρωματικό πιθανοτικώς γεγονός είναι η αποτυχία P(αποτυχίας)=1-P(επιτ.)= 1-0,06= 0,94 Άρα η πιθανότητα ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένας πύραυλος να κτυπήσει το στόχο δίνεται από τη σχέση: 1 - 0,94^v Θέλουμε "βεβαιότητα" επιτυχίας 99% που σημαίνει 1- 0,94^ν = 0,99 ή 0,94^ν = 0,01 Αυτή η εξίσωση (της μορφής a^x=b) έχει τη γενική λύση ν= i*(2πk-i*log(b)) / log(a) (k ακέραιος). Στην περίπτωσή μας (για πραγματικές θετικές λύσεις) γίνεται ν= log (0,01)/log(0,94)= 74,426 EΠΑΛΗΘΕΥΣΗ: 0,94 ^ 74 = 0,0102674 0,94 ^ 75 = 0,00965137 Aρα, όντως απαιτούνται 75 πύραυλοι. Άρα πρέπει να εκτοξεύσουμε ταυτόχρονα 75 πυραύλους για να έχουμε επιτυχία με το ζητούμενο διάστημα εμπιστοσύνης. ΥΓ. "log" νοώ τον φυσικό λογάριθμο Nα διευκρινίσω κάτι ως προς τη σχέση που οδηγεί στη λύση: Η έκφραση "τουλάχιστον ένας πύραυλος βρίσκει το στόχο" είναι ισοσύναμη με την "δεν αστόχησαν ΟΛΟΙ" Έτσι η P(αστόχησαν όλοι) + P(δεν αστόχησαν όλοι)=1 (=βεβαιότητα) Άρα P(δεν αστόχησαν όλοι)= 1- P(αστόχησαν όλοι) Άρα P(τουλ. ένας βρίσκει στόχο)= 1- P(αστόχησαν όλοι)