Η Πινακίδα

Ο κ. Παπαδόπουλος έχει 8 παιδιά και κανένα από αυτά δεν γεννήθηκε τον ίδιο χρόνο. Ο μεγαλύτερος, ο Γιαννάκης, είναι 9 ετών . Ο αριθμός της πινακίδας του αυτοκίνητου της οικογένειας είναι ένας τετραψήφιος αριθμός ο οποίος αποτελείται μόνο από δυο ψηφία ,δηλαδή, το κάθε ψηφίο επαναλαμβάνεται δυο φορές. Οι συμπτώσεις όμως δεν σταματούν εδώ, ο αριθμός της πινακίδας διαιρείται ακριβώς με την ηλικία του κάθε παιδιού της οικογένειας και τα δυο τελευταία ψηφία αποτελούν την ηλικία του κ. Παπαδοπούλου. Ποιος είναι ο αριθμός της πινακίδας του αυτοκινήτου;(Κατ.26/Νο.51)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/12/blog-post_6.html
(Πρόβλημα Νο.26)

Λύση

Λύση του N. Lntzs. Εφόσον οι ηλικίες των παιδιών είναι (ακέραιοι) αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους και μικρότεροι του εννέα, ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι άρτιος, και επειδή ο αριθμός του αυτοκινήτου, με την μορφή xxyy, διαιρείται με τους αριθμούς που εκφράζουν τις ηλικίες των παιδιών, οφείλει να είναι άρτιος. Οπότε οι πιθανοί αριθμοί του αυτοκινήτου είναι xx00 xx22, xx44, xx66, και xx88. Οι δύο πρώτοι αποκλείονται (η ηλικία του πατέρα με οκτώ παιδιά πρέπει να είναι τουλάχιστον τριάντα) και οι υπόλοιποι τρεις για να διαιρούνται με το εννέα (ηλικία του μεγαλύτερου παιδιού) γίνονται αντίστοιχα: 5544, 3366, 1188 και με ανάλυση σε γινόμενο πρώτων γράφονται: 5544 = 2^3 * 3^2 * 7 * 11, 3366 = 3^2 * 11 * 7, 1188 = 2^2 * 3^3 * 11 Οι διαιρέτες των αριθμών αυτών που είναι μικρότεροι ή ίσοι του εννέα είναι: Του 5544 οι: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, Του 3366 οι: 1, 2, 3, 6, 9, Του 1188 οι: 1, 2, 3, 4, 6, 9 Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι το αυτοκίνητο είχε στην πινακίδα τον αριθμό 5544 και οι ηλικίες των οκτώ παιδιών ήταν 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.(Ν. Lntzs) Υ.Γ.: Μια ωραία ιστοσελίδα με τις ιδιότητες των αριθμών είναι η http://numdic.com/. Λύση του batman1986. Εφόσον κανένα από τα 8 παιδιά δεν γεννήθηκε την ίδια χρονιά και ο μεγαλύτερος είναι 9 τότε οι υπόλοιπες 7 ηλικίες πρέπει να επιλεγούν ως κάποιοι συνδυασμοί από τους αριθμούς 1 έως 8. Βρίσκουμε το ΕΚΠ τους και εν συνεχεία διερευνούμε αν κάποιο ακέραιο πολ/σιο του ΕΚΠ μας δίνει το ζητούμενο (2 ψηφία μόνο και τα 2 τελευταία μια λογική ηλικία για τον πατέρα) Αν επιλέξουμε τους αριθμούς 1,2,3,4,5,8, τότε το ΕΚΠ με το 9 είναι: 9*5*8=360 Σίγουρα δεν είναι συνδυασμός με το 5 αφού προκύπτει πολλαπλάσιο του 10 το οποίο δεν μας δίνει το ζητούμενο Τελικά ο ζητούμενος αριθμός προκύπτει αν επιλέξουμε τους αριθμούς: 1,2,3,4,6,7,8,9 Άρα το ΕΚΠ τους με το 9 είναι : 9*7*8=504 Είναι το 11ο πολλαπλάσιο 11*504=5544 Άρα η ηλικία του πατέρα είναι 44 ετών Σαν γενίκευση θα μπορούσαμε να πούμε ότι έπρεπε με τις δοκιμές των ΕΚΠ να βρεθεί ένας αριθμός της μορφής χ0ψ έτσι ώστε όταν τον πολλαπλασιάσουμε με 11 να έχουμε: χ00*11+ψ*11=χχ00+ψψ=χχψψ Εάν δεν απορρίπταμε τον 5 τότε δεν θα προέκυπτε σίγουρα ένας τέτοιος αριθμός αφού το τελευταίο ψηφίο θα ήταν 0 και σύμφωνα με τον περιορισμό της εκφώνησης δεν θα μπορούσαμε να είχαμε αριθμό της μορφής χχ00, αφού τα 2 τελευταία ψηφία είναι η ηλικία του κ . Παπαδοπούλου !!!