Τα Καρύδια

Η Νικαρέτη έπαιζε με τις πέντε φίλες της. Η Κλειώ της πήρε το 1/3 των καρυδιών που κρατούσε, η Σαπφώ το 1/4, η Αριστοδίκη το1/5, η Θεανώ το 1/20 και αργότερα άλλο 1/12 και η Φαλαινίδα το 1/24. Στο τέλος της έμειναν 50 καρύδια. Πόσα καρύδια είχε στην αρχή η Νικαρέτη; (Κατ.34/Νο.534)

Πηγή:
(Από το 14ο  βιβλίο της Παλατινής ή  Ελληνικής Ανθολογίας του Κ. Κεφαλά, 917 μ.Χ.)

Λύση

Λύση του N. Lntzs. H Νικαρέτη είχε 1200 καρύδια. Τούτο προκύπτει άν από το σύνολο (δηλ την ακεραία μονάδα) αφαιρέσουμε το σύνολο των κλασμάτων που πήραν οι φίλες της, προκύπτει το κλάσμα των καρυδιών που απέμειναν και είναι 50 καρύδια. Δηλ. 1-(1/3+1/4+1/5+1/20+1/12+1/24)=5/120. Το 5/120 αντιπροσωπεύει 50 καρύδια. Το 1/120 αντιπροσωπεύει 10 καρύδια. Επομένως το όλον, δηλ τα 120/120 αντιπροσωπεύουν 1200 καρύδια. Επαλήθευση Το 1/3 του 1200 είναι 400 το 1/4 του 1200 είναι 300 το 1/5 του 1200 είναι 240 το 1/20 του 1200 είναι 60 το 1/12 του 1200 είναι 100 το 1/24 του 1200 είναι 50 Αν στο άθροισμα των παραπάνω προστεθούν και τα 50 καρύδια που απέμειναν προκύπτει το σύνολο των καρυδιών που είναι 1200. Λύση Papaveri. Η Νικαρέτη είχε 1.200 καρύδια. Έστω «ω» τα καρύδια. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: ω/3+ω/4+ω/5+ω/20+ω/12+ω/24+50=ω (1) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π., ώστε τα κλάσματα να γίνουν ομώνυμα, το οποίο είναι 120. Η (1) γίνεται: ω/3+ω/4+ω/5+ω/20+ω/12+ω/24+50=ω --> 40ω+30ω+24ω+6ω+10ω+5ω+120*50=120ω --> 40ω+30ω+24ω+6ω+10ω+5ω+6.000=120ω --> 120ω-115ω=6.000 --> 5ω=6.000 --> ω=6.000/5 --> ω=1.200 Επαλήθευση: ω/3+ω/4+ω/5+ω/20+ω/12+ω/24+50=ω --> 1.200/3+1.200/4+1.200/5+1.200/20+1.200/12+1.200/24+50 =ω --> ω=400+300+240+60+100+50+50 --> ω=1.200 ο.ε.δ.