Η Ισορροπία (Ι)

Η ανωτέρω ζυγαριά ισορροπεί. Εάν:

και το άθροισμα των βαρών των αντικειμένων της ζυγαριάς είναι:

Να βρεθεί το βάρος του κάθε αντικειμένου. (Κατ.9Α΄/Νο.16)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/10/blog-post_4527.html

Λύση

Το πρόβλημα έχει 5 λύσεις. Το κάθε αντικείμενο ζυγίζει: Σφαίρα: 12, 13, 14, 15, και 16κιλά αντίστοιχα. Ρόμβος: 1, 3, 5, 7, και 9κιλά αντίστοιχα. Τρίγωνο: 1, 4, 7, 10, και 13κιλά αντίστοιχα. Τετράγωνο: 2, 4, 6, 8, και 10κιλά αντίστοιχα. Έστω «α» η σφαίρα, «β» ο ρόμβος, «γ» το τρίγωνο και «δ» το τετράγωνο. Βάσει της εκφωνήσεως των δεδομένων του προβλήματος έχουμε: α+β+γ+δ=32 (1) α+2β=β+γ+2δ (2) α-2=β+γ (3) Από τη (3) συνάγουμε ότι: α-2=β+γ (3) --> α=β+γ+2 (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε: α+2β=β+γ+2δ --> β+γ+2+2β=β+γ+2δ --> 3β+γ+2=β+γ+2δ --> 3β-β=γ+2δ-γ-2 --> 2β=2δ-2 --> 2β=2*(δ-1) --> β=[2*(δ-1)]/2 --> β = δ-1 (5) Αντικαθιστούμε τη (5) στη (4) κι’ έχουμε: α=β+γ+2 --> α= δ-1+γ+2 --> α=δ+γ+1 (6) Αντικαθιστούμε τις τιμές (5) και (6) στην (1) κι’ έχουμε: α+β+γ+δ=32 --> δ+γ+1+ δ-1+γ+δ=32 --> 3δ+2γ=32 --> 3δ=32-2γ --> δ=(32-2γ)/3(6) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "γ" τις τιμές από το 1 έως το 13, μεγαλύτερες τιμές δίδουν δεκαδικούς και αρνητικούς αριθμούς, βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που ικανοποιούν τη συνθήκη και δίνουν ακέραιους αριθμούς "δ" είναι οι αριθμοί γ=1, 4, 7, 10, και 13 αντίστοιχα . (7). Αντικαθιστούμε τη τιμή του «γ» στην (6) κι’ έχουμε: δ=(32-2γ)/3 --> δ=(32-2*1)/3 --> δ=(32-2)/3 --> δ=30/3 --> δ=10 (8) δ=(32-2γ)/3 --> δ=(32-2*4)/3 --> δ=(32-8)/3 --> δ=24/3 --> δ=8 (8) δ=(32-2γ)/3 --> δ=(32-2*7)/3 --> δ=(32-14)/3 --> δ=18/3 --> δ=6 (8) δ=(32-2γ)/3 --> δ=(32-2*10)/3 --> δ=(32-20)/3 --> δ=12/3 --> δ=4 (8) δ=(32-2γ)/3 --> δ=(32-2*13)/3 --> δ=(32-26)/3 --> δ=6/3 --> δ=2 (8) Αντικαθιστούμε τη τιμή του «δ»¨στη (5) κι’ έχουμε: β=δ-1 --> β=10-1 --> β=9 (9) β=δ-1 --> β=8-1 --> β=7 (9) β=δ-1 --> β=6-1 --> β=5 (9) β=δ-1 --> β=4-1 --> β=3 (9) β=δ-1 --> β=2-1 --> β=1 (9) Αντικαθιστούμε τις τιμές «β» και «γ» στη (4) κι’ έχουμε: α=β+γ+2 --> α=9+1+2=12 (10) α=β+γ+2 --> α=7+4+2=13 (10) α=β+γ+2 --> α=5+7+2=14 (10) α=β+γ+2 --> α=3+10+2=15 (10) α=β+γ+2 --> α=1+13+2=16 (10) Επαλήθευση: Α) α+β+γ+δ=32 --> 12+9+1+10=32 α+β+γ+δ=32 --> 13+7+4+8=32 α+β+γ+δ=32 --> 14+5+7+6=32 α+β+γ+δ=32 --> 15+3+10+4=32 α+β+γ+δ=32 --> 16+1+13+2=32 Β) α+2β=β+γ+2δ --> 12+2*9=9+1+2*10 --> 12+18=9+1+20=30 α+2β=β+γ+2δ --> 13+2*7=7+4+2*8 --> 13+14=7+4+16=27 α+2β=β+γ+2δ --> 14+2*5=5+7+2*6 --> 14+10=5+7+12=24 α+2β=β+γ+2δ --> 15+2*3=3+10+2*4 --> 15+6=3+10+8=21 α+2β=β+γ+2δ --> 16+2*1=1+13+2*2 --> 16+2=1+13+4=18 Γ) α-2=β+γ --> 12-2=9+1=10 α-2=β+γ --> 13-2=7+4=11 α-2=β+γ --> 14-2=5+7=12 α-2=β+γ --> 15-2=3+10=13 α-2=β+γ --> 16-2=1+13=14