Ο Κώστας εξετάζεται σε ένα τεστ. Tο τεστ αποτελείται από 20 ερωτήματα. Κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με 5 μονάδες , για κάθε λάθος απάντηση αφαιρούνται 2 μονάδες , ενώ για τα ερωτήματα που δεν απαντήθηκαν δεν δίνονται μονάδες. Γνωρίζουμε ότι ο Κώστας συγκέντρωσε 44 μονάδες και δεν απάντησε σε κάποια ερωτήματα. Να βρεθούν πόσα ερωτήματα απαντήθηκαν σωστά , πόσα ερωτήματα απαντήθηκαν λάθος , τέλος το πλήθος των ερωτημάτων που δεν απαντήθηκαν.
(Κατ34/Πρβ. Νο.463)
Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com/2011/10/blog-post_27.html
(Κατ34/Πρβ. Νο.463)
Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com/2011/10/blog-post_27.html
Λύση
Απαντήθηκαν: σωστά 10 ερωτήσεις, λανθασμένες 7 και 3 δεν απαντήθηκαν.
Έστω:
«x»: το πλήθος των ερωτημάτων που απαντήθηκαν σωστά.
«y»: το πλήθος των ερωτημάτων που απαντήθηκαν λανθασμένα.
«z»: το πλήθος των ερωτημάτων δεν που απαντήθηκαν.
Από τα δεδομένα του προβλήματος προκύπτει ότι;
x+y+z = 20 (1)
5x-2y+0z = 44 (2)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
5x-2y+0z = 44 --> 5x-2y = 44 (3)
Λύνουμε την (1) ως προς «y» κι’ έχουμε:
x+y+z = 20 --> y = 20–(x+z) (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:
5x-2y = 44 --> [5x-2*[20-(x+z)]] = 44 --> [5x-2*(20-x-z)] = 44 -->
5x-40+2x+2z = 44 --> 7x+2z = 44+40 --> 7x+2z = 84 --> 2z = 84-7x -->
z = (84-7x)/2 (5)
Γνωρίζουμε ότι ο «z» είναι θετικός ακέραιος, τότε ο «x» πρέπει να
είναι άρτιος και τουλάχιστον 10 για να μπορέσουμε να έχουμε ένα
άθροισμα βαθμών 44.
Το ότι είναι άρτιος ο «x» το συμπεραίνουμε από τον παρανομαστή του
κλάσματος που είναι 2, άρα ο αριθμητής πρέπει να είναι πολλαπλάσιο
του 2 για να προκύπτει ο «z» θετικός ακέραιος.
Άρα το (84-7x) είναι πολλαπλάσιο του 2, και x>=10.
Οι παραπάνω προϋπόθεση μας οδηγεί στον παρακάτω πίνακα με όλες τις
δυνατές περιπτώσεις:
Ερωτήσεις Περιπτώσεις
Σωστές = x 10 12 14
Λανθασμένες = y 3 8 13
Αναπάντητες = z 7 0 -7
Σύνολο Ερωτήσεων: 20 20 20
Το «z» δεν μπορεί να είναι αρνητικός ούτε μηδέν.
Είναι σαφές από την εκφώνηση ότι ο Κώστας δεν απάντησε σε κάποια
ερωτήματα. Άρα η μοναδική λύση είναι: x = 10, y = 3, z = 7 .
Επαλήθευση:
x+y+z = 20 --> 10+3+7 = 20
5x-2y+0z = 44 --> (5*10)-(2*3)+(0*7) = 44 --> 50-6+0 = 44 ο.ε.δ.
Αναρτήσεις
3 σχόλια:
Έστω χ το πλήθος των σωστών απαντήσεων, ψ το πλήθος των λανθασμένων και ω των ερωτημάτων που δεν απαντήθηκαν. Τότε:
χ + ψ + ω = 20 (1)
5χ -2ψ = 44 (2)
με ακεραίους και χ,ψ,ω > 0.
Η εξίσωση (2) είναι διοφαντική εξίσωση με γενική μορφή αχ + βψ=γ και έχει άπειρες λύσεις αν ο ΜΚΔ των α,γ διαιρεί τον γ, και δίδονται από τις σχέσεις:
χ = χο + βκ/δ
ψ = ψ0 - ακ/δ, όπου δ=ΜΚΔ(α,β)
και χ0, ψο μια λύση της.
Επειδή ΜΚΔ(5,-2)=1 η (2) έχει άπειρες λύσεις και μια λύση αυτής είναι: χο = 10, ψ0 = 3.
Επομένως όλες οι λύσεις δίδονται από τις σχέσεις:
χ = 10 - 2κ
ψ = 3 - 5κ με κ ακέραιο.
Αλλά από την (1), και επειδη ω>0 προκύπτει ότι χ+ψ < 20 ή ισοδύναμα 13-7κ < 20 ή
κ > -1 (3).
Εξάλλου επειδή χ>0 και ψ>0 προκύπτει κ<5 και κ<1 (4).
Οι ανισόσεις (3), (4) συναληθεύουν μόνο για κ=0.
Άρα μοναδική λύση είναι η
χ=10
ψ=3
ω=20-(10+3)=7.
Ν. Lntzs
Μια λύση αυτού του προβλήματος μόλις είδα στο υπέροχο ιστολόγιό του κ. Αθανασίου Δρούγα "Μαθη...μαγικά", με τίτλο "Μαθήματα Ευρετικής... για αρχάριους. Μέρος δεύτερο. Κοιτώντας με άλλο μάτι !!!!!", χωρίς την θεωρία των διοφαντικών εξισώσεων (Θεωρία Αριθμών, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β΄Λυκείου), που δεν την γνωρίζουν πολλοί.
N. Lntzs
@Ανώνυμος
Δεν ανεφερα τη πηγή προελεύσεως για ευνόητους λόγους. Θα την αναρτούσα μετά τη λύση του προβλήματος.
Πολύ ωραία η ανάλυσή σας.
Δημοσίευση σχολίου