Η Χιονοθύελλα

Στις 20 Ιανουαρίου 2002 στην Πενσυλβανία, των Η.Π.Α., εκδηλώθηκε η μεγαλύτερη χιονοθύελλα της χιλιετίας. Πολλά σχολεία έμειναν κλειστά λόγω καιρού και κρύου. Το κλείσιμο των σχολείων ανακοινώθηκε στην τοπική τηλεόραση και στους ραδιοφωνικούς σταθμούς, αλλά κάποιες φορές πρέπει κάποιος να κοιτάει ή να ακούει για πολύ ώρα μέχρι να ανακοινωθεί το σχολείο του. Παρόλα αυτά, ο πατέρας της Carlin είναι ο διευθυντης και αυτό σημαίνει ότι η Carlin ενημερώθηκε πρώτη  για το κλείσιμο του σχολείου. Η Carlin τότε τηλεφώνησε στους φίλους της, Frank και Hobart. Ο Frank τηλεφώνησε στους φίλους του, Julie και Kory. Ο Hobart τηλεφώνησε στους φίλους του,  Laura και Marcellus. Το τηλεφωνικό «δέντρο» συνεχίστηκε με την Julie να καλεί τους Nihaar και Saloni, και η Kory τηλεφωνεί στους Tara και Vincent, και ούτω καθεξής.

Εφόσον δεν γνωρίζεται αυτά τ’ άτομα δεν είναι και ιδιαίτερα σημαντικό να γνωρίζετε τα ονόματά τους. Αυτό που πρέπει να γνωρίζετε είναι ότι κάθε πρόσωπο τηλεφώνησε σε άλλα δύο άτομα. Υποθέτουμε ότι όλοι οι μαθητές ήθελαν να πάνε νωρίς για ύπνο, οπότε δεν είχαν όρεξη για κουβέντα και κάθε τηλεφώνημα κράτησε μόνο για ένα λεπτό. Η Carlin που έμαθε πρώτη ότι δεν είχαν σχολείο έκανε το πρώτο της τηλεφώνημα στις 6:00μμ. Δέκα λεπτά  αργότερα, στις 6:10μμ., όλα τα άτομα είχανε πέσει για ύπνο. Α)Πόσα τηλεφωνήματα έγιναν;
Β) Τι ώρα θα ήταν το τελευταίο τηλεφώνημα, εάν η τηλεφωνική «αλυσίδα» μας επεκτεινόταν έτσι ώστε να συμπεριλάβει και τους 1.220 μαθητές του σχολείου;
Γ) Ποιο αριθμητικό υπόδειγμα διακρίνεται στο πρόβλημα;

(Κατ.27/Πρβ. Νο.321)

Λύση

Έγιναν 1.220 τηλεφωνήματα και στις 6:13 ενημερώθηκαν και τα 1.220 άτομα. Εφαρμόζεται η ακολουθία Fibonacci απο τη θεωρία των αριθμών.
Carlin 6:00, Έχω 1 κλήση
Frank 6:01, Έχω 2 κλήσεις
Hobart 6:02, Έχω 3 κλήσεις
Julie 6:03, Έχω 5 κλήσεις
....
Από την παραπάνω ακολουθία διακρίνεται ότι το μοντέλο που εφαρμόζεται
είναι της ακολουθίας του Fibonacci:
Πρώτος αριθμός + Δεύτερος αριθμός= Τρίτος αριθμός
Δεύτερος αριθμός + Τρίτος αριθμός= Τέταρτος αριθμός
Τρίτος αριθμός + Τέταρτος αριθμός= Πέμπτος αριθμός
Και ούτω καθεξής. Για το πρόβλημα αυτό:
1+2=3
2+3=5
και ούτω καθ’ εξής.
Τώρα συνεχίζουμε μέχρι στις 6:10. Χρησιμοποιώντας την ακολουθία είναι
πολύ εύκολο:
6:00, 1 κλήση
6:01, 2 κλήσεις
6:02, 1+2= 3 κλήσεις
6:03, 2+3= 5 κλήσεις
6:04, 3+5= 8 κλήσεις
6:05, 5+8= 13 κλήσεις
6:06, 8+13= 21 κλήσεις
6:07, 13+21= 34 κλήσεις
6:08, 21+34= 55 κλήσεις
6:9, 34+55= 89 κλήσεις
6:10 55+89= 144 κλήσεις
Προσθέτοντας όλα τα παραπάνω βρίσκουμε το σύνολο:
1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144= 375
Άρα έως τις 6:10 έγιναν 375 τηλεφωνήματα. Για να βρούμε τι ώρα θα έχει
πάει όταν ενημερωθούν και τα 1.220 άτομα του σχολείου συνεχίζουμε την
ακολουθία:
6:11 89+144= 233 κλήσεις
6:12 144+233=377 κλήσεις
6:13 233+377=610 κλήσεις
Αθροίζοντας όλα τα νούμερα έχουμε:
233+377+610=1.220 κλήσεις
Επομένως στις 6:13 είχαν γίνει τα τελευταία τηλεφωνήματα για να
κληθούν και τα 1.220 άτομα.