Ο Βοσκός

 

Ένας βοσκός θέλει με 40 λίρες να αγοράσει 40 ζώα τριών ειδών: πρόβατα, κριάρια και αρνιά. Εάν κάθε πρόβατο πωλείται 2 λίρες, κάθε κριάρι 4 λίρες και κάθε αρνί 0,50 λίρα, πόσα θα αγοράσει από το κάθε είδος; (Κατ.34/πρβ. Νο.456)

Λύση

Το πρόβλημα έχει δύο λύσεις. Με τη πρώτη λύση αγόρασε 11 πρόβατα, 1 κριάρι και 28 αρνιά. Με τη δεύτερη λύση αγόρασε 4 πρόβατα, 4 κριάρια και 32 αρνιά. Έστω «α» τα πρόβατα, «β» τα κριάρια και «γ» τ’ αρνιά. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α+β+γ=40(1)
2α+4β+0,50γ=40(2)
Λύνουμε την(1) ως προς "γ" κι’ έχουμε:
α+β+γ=40-->γ=[40-(α+β)](3)
Αντικαθιστούμε τη(3) στη(2)κι’έχουμε:
2α+4β+0,50γ=40-->2α+4β+0,50[40-(α+β)]=40-->
2α+4β+20-0,50α-0,50β=40-->1,50α+3,50β=40-20-->
1,50α+3,50β=20-->1,50α=20-3,50β-->
α=(20-3,50β)/1,50(4)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε τη διερεύνηση των ριζών Η τιμή του "β" πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίδοντας στο"β" τις τιμές από το 1 έως το 9 βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που ικανοποιούν τη συνθήκη του προβλήματος είναι β=1 και β=4,οπότε έχουμε δύο λύσεις.
Αντικαθιστούμε τις τιμές του "β" στη (4) κι’ έχουμε:
α=(20-3,50β)/1,50-->α=[20-(3,50*1β)]/1,50-->
α=(20-3,50)/1,50--> α=16,50/1,50-->α=11(5)
α=(20-3,50β)/1,50-->α=[20-(3,50*4)]/1,50-->
α=(20-14)/1,50-->α=6/1,50-->α=4(6)
Αντικαθιστούμε τις τιμές του "α" και «β» στη(3) κι’ έχουμε:
γ=[40-(α+β)]-->γ=[40-(11+1)]-->β=40-12-->γ=28(7)
γ=[40-(α+β)]-->γ=[40-(4+4)]-->β=40-8-->γ=32(8)
Επαλήθευση:
α+β+γ=40 -->11+1+28=40 ή
α+β+γ=40 -->4+4+32=40
2α+4β+0,50γ=40-->2*11+4*1+0,50*28=40-->22+4+14=40 ή
2α+4β+0,50γ=40-->2*4+4*4+0,50*32=40-->8+16+16=40
ο.ε.δ.