- Το άθροισμα του πρώτου και του τρίτου ψηφίου ισούται με το άθροισμα του δευτέρου και του τέταρτου ψηφίου.
- Το γινόμενο του πρώτου ψηφίου με το τέταρτο ψηφίο είναι 10 φορές μεγαλύτερο από το γινόμενο του δεύτερου με το τρίτο ψηφίο.
- Το άθροισμα του πρώτου και του δευτέρου ισούται με το 1/2 του αθροίσματος του τρίτου με το τέταρτο ψηφίο.
Αναρτήσεις
3 σχόλια:
Ωραίο και σύνθετο πρόβλημα, αφού η επίλυσή του απαιτεί ανάλυση και εξέταση περιπτώσεων.
Εάν ο 4ψήφιος αριθμός είναι της μορφής αβγδ (με α διάφορο του 0), τοτε τα ψηφία πρέπει να πληρούν τις σχέσεις:
α+γ=β+δ (1)
α*δ=10*β*γ (2)
α+β=(γ+δ)/2 (3)
Πολύ σημαντικά συμπεράσματα προκύπτουν από τη σχέση (2): Ο αριθμός α*δ είναι είτε πολλαπλάσιο του 10, ή 0. Σε περίπτωση που α*δ=0, από τις τρεις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι όλα τα ψηφία του ζητούμενου αριθμού είναι μηδενικά, όπερ άτοπον.
Συνεπώς, ο αριθμός α*δ είναι πολλαπλάσιο του 10 και αφού τα α,δ είναι ψηφία, υποχρεωτικά το ένα από τα δύο είναι το 5 και το άλλο κάποιο άρτιο, δηλαδή κάποιος από τους αριθμούς 2,4,6,8.
Αντίστοιχα, ο αριθμός β*γ είναι κάποιος από τους αριθμούς 1,2,3,4.
Οφείλουμε να εξετάσουμε περιπτώσεις:
Α) β*γ=1, τότε β=γ=1 και τα α,δ έχουν τις τιμές 2 και 5. Όμως η σχέση (1) δεν επαληθεύεται, άρα φθάνουμε σε άτοπο.
Β) β*γ=2, τότε τα β,γ έχουν τις τιμές 1 και 2 και τα α,δ έχουν τις τιμές 4 και 5. Με τέτοιες τιμές μπορεί να επαληθεύεται η σχέση (1), όχι όμως και η σχέση (3), άρα και πάλι φθάνουμε σε άτοπο.
Γ) β*γ=3, τότε τα β,γ έχουν τις τιμές 1 και 3 και τα α,δ έχουν τις τιμές 6 και 5. Με τέτοιες τιμές δεν επαληθεύεται η σχέση (1), άρα και πάλι φθάνουμε σε άτοπο.
Δ) β*γ=4, εδώ έχουμε και πάλι δυο περιπτώσεις:
Δ1) β=γ=2 και τα α,δ έχουν τις τιμές 8 και 5. Με τέτοιες τιμές δεν επαληθεύεται η σχέση (1), άρα και πάλι φθάνουμε σε άτοπο.
Δ2) τα β,γ έχουν τις τιμές 1 και 4, ενώ και πάλι τα α,δ έχουν τις τιμές 8 και 5. Εδώ μπορεί να επαληθεύονται και οι δυο σχέσεις (1) και (3) για τις τιμές:
α=5
β=1
γ=4
δ=8
Κατά συνέπεια, ο ζητούμενος αριθμός είναι 5148.
Συγχαρητήρια!! Η λύση σωστή και εμπεριστατωμένη. Ευχαριστώ για την ανάλυση.
Έστω αβγδ (με α διάφορο του 0) ο ζητούμενος αριθμός. Τοτε:
α+γ=β+δ (1)
α*δ=10*β*γ (2)
α+β=(γ+δ)/2 (3)
Από την (1): γ=β+δ-α (4)
Από την (3): 2α+2β=γ+δ => γ=2α+2β-δ (5)
Από τις (4) και (5) έχουμε:
2α+2β-δ=β+δ-α => β=2δ-3α (6)
και αντικαθιστώντας το β στην (4) έχουμε:
γ=2δ-3α+δ-α => γ=3δ-4α (7)
Από την (7) προκύπτει ο περιορισμός:
γ≥0 => 3δ-4α≥0 => 3δ≥4α => δ≥3α/2 (8)
Αντικαθιστούμε τώρα τα β και γ, βάσει των (6) και (7), στην (2):
αδ=10(2δ-3α)(3δ-4α)
αδ=10(6δ²-8δα-9δα+12α²)
60δ²-170αδ+120α²-αδ=0
60δ²-171αδ+120α²=0
Λύνουμε την ως άνω εξίσωση ως προς δ:
δ=(171α±√(171²α²-4*60*120α²))/(2*60)
δ=(171α±α√(171²-4*60*120))/120
δ=(171α±α√(29241-28800))/120
δ=(171α±α√(441))/120
δ=(171α±21α)/120
Εξετάζουμε τις δύο λύσεις:
α) δ=(171α-21α)/120=150α/120=5α/4<10 => α<40/5=8 και α=πολλ.4 για να είναι ο δ ακέραιος άρα α=4 και δ=5α/4=5*4/4 => δ=4 (9)
Βασει της (8) πρέπει: δ≥3α/2 => δ≥3*4/2 => δ≥6 που αντιφάσκει προς την (9).
Συνεπως η λύση αυτή απορρίπτεται.
β)δ=(171α+21α)/120=192α/120=8α/5<10 => α<50/8=6,25 και α=πολλ.5 για να είναι ο δ ακέραιος άρα α=5 και δ=8α/5=8*5/5 => δ=8 (10)
Βασει της (8) πρέπει: δ≥3α/2 => δ≥3*5/2 => δ≥7,5 σχέση που ικανοποιείται από
την (10), συνεπώς η λύση α=5, δ=8 είναι αποδεκτή.
Αντικαθιστούμε τώρα τα α=5 και δ=8 στις (6) και (7) και βρίσκουμε:
(6) β=2δ-3α=2*8-3*5=16-15=1
(7) γ=3δ-4α=3*8-4*5=24-20=4
και ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 5148.
ΥΓ. Κάρλο, κάλλιο αργά παρά ποτέ! Ωραία άσκηση, επίτρεψέ μου να καταθέσω μια διαφορετική προσέγγιση.
Δημοσίευση σχολίου