Γύρω από ένα τραπέζι πρέπει να καθίσουν επτά άτομα. Ανάμεσά τους όμως υπάρχουνκαι δύο αχώριστα ζευγάρια. Μπορείτε να βρείτε πόσοι δυνατοί συνδυασμοί μπορούν
να γίνουν, ώστε και τα επτά άτομα ν’ αλλάξουν αμοιβαία τις θέσεις τους;
Μια διευκρίνηση:
Τα δύο ζευγάρια είναι αχώριστα και δεν μπορούν ούτε ένα λεπτό να χωριστεί το ένα από
το άλλο. Γι' αυτό κατά την αλλαγή των αμοιβαίων θέσεων πρέπει να βρίσκονται ενωμένοι.
Αναρτήσεις
6 σχόλια:
Προσπαθώ να το λύσω σε ευθεία γραμμή.
Τα αχώριστα ζευγάρια είναι τα ΑΒ ΓΔ. Μπορούν να καθίσουν με 8 τρόπους.
Οι υπόλοιποι τρεις είναι οι Ε Ζ Η. Μπορούν να καθίσουν με 6 τρόπους.
Οι τρεις αυτοί μπορεί να είναι πριν, ανάμεσα ή μετά τα ζευγάρια με 10 τρόπους.
Συνολικά 8*6*10 = 480 τρόποι.
Για λύση γύρω από τραπέζι, ας απαντήσει άλλος.
@alkinoos
Ας περιμένουμε λοιπόν!!
Το 480 προκύπτει και ως εξής:
Αν θεωρήσουμε τα δύο ζευγάρια ως μία οντότητα το καθένα τότε είναι σαν να έχουμε όλες τις πιθανές διατάξεις 5 αντικειμένων που είναι:
5! = 120
Τώρα όμως κάθε ζευγάρι μπορεί να κάτσει με 2 τρόπους (π.χ. ΑΒ και ΒΓ ή ΓΔ και ΔΓ) άρα κάθε μετάθεση από τις 120 που υπολογίσαμε πιο πριν έχει 2 x 2 = 4 παραλλαγές ανάλογα με το πως κάθονται τα δύο ζευγάρια. Έτσι το σύνολο των συνδυασμών είναι 4 x 120 = 480.
Τώρα για την περίπτωση στον κύκλο εκτός από τις 480 περιπτώσεις της ευθείας είναι επίσης έγκυρες (λόγω κύκλου) και οι περιπτώσεις που τα δύο μέλη ενός ζευγαριού βρίσκονται στην άκρη της ευθείας (οπότε όταν ενώσουμε τα δύο άκρα της θα βρεθούν δίπλα-δίπλα) π.χ. Α-Ε-Ζ-Η-Γ-Δ-Β.
Πόσες είναι αυτές οι περιπτώσεις?
Αν τοποθετήσουμε ένα ζευγάρι (π.χ. το ΑΒ) στην στις δύο άκρες της ευθείας (άρα στον κύκλο δίπλα-δίπλα) τότε με τον προηγούμενο συλλογισμό τα άλλα 3 άτομα και το ένα ζευγάρι (ΓΔ) μπορούν να κάτσουν με 4! = 24 τρόπους. Πολλαπλασιάζουμε επί 2 για τις μεταθέσεις του ζευγαριού ΓΔ και επί 2 για τις μεταθέσεις του άλλου ζευγαριού (ΑΒ) κι έχουμε σύνολο 96 μεταθέσεις. Τοποθετώντας στις άκρες το άλλο ζευγάρι (ΓΔ) προκύπτουν ακόμη 96 μεταθέσεις άρα έχουμε:
480 + 96 + 96 = 672.
Σωστά κ. Papaveri? :-)
@Δημήτρης Σκυριανόγλου
Πολύ σωστά. κάτι ήξερε ο Alkinoos, γι' αυτό το άφησε να το λύσουν οι μαθηματικοί.
ΟΚ, αν και δεν είμαι μαθηματικός αλλά πληροφορικός (ή πληροφορικάριος) :-)
@Δημήτρης Σκυριανόγλου
Δεν έχει σημασία.Και πληροφορικός (ή πληροφορικάριος),πάλι απαιτούνται μαθηματικά να γνωρίζεις:-)
Δημοσίευση σχολίου