Ρίχνουμε όλα τα πιόνια του σκακιού σ’ ένα κουτί και τ’ ανακατεύουμε
καλά. Στη συνέχεια βγάζουμε τυχαία ανά δύο τα πιόνια. Εάν είναι
ιδίου χρώματος π.χ. λευκά τα βάζουμε σε μια άκρη, ή μαύρα τα βάζουμε
σε μια άλλη άκρη. Εάν είναι διαφορετικού χρώματος (λευκό και μαύρο)
τα βάζουμε σ’ ένα άλλο κουτί. Πόσες είναι οι πιθανότητες, αφού βγάλουμε
και τα 32 κομμάτια από το κουτί, οι δύο σωροί των πιονιών να είναι
αριθμητικά ίσοι; (Ανθ. Σκακ. Παρ./Πρβ.70)
β) Οι Διαφορετικές Θέσεις
Σε μια άδεια σκακιέρα βρίσκονται, σε τυχαίες θέσεις, ένας
Λευκός Πύργος και ένας Μαύρος Πύργος χωρίς ν’
αλληλοαπειλούνται. Πόσες διαφορετικές θέσεις μπορούν
να σχηματίσουν οι δύο Πύργοι σχηματίζοντας κάθε φορά
μια νέα θέση; (Ανθ. Σκακ. Παρ./Πρβ.71)
γ) Κρυπτοαριθμητικό Σκάκι
Αντικαταστήστε τα κομμάτια του σκακιού με αριθμούς, από το 0
έως το 9,ώστε να μας δίνουν τ’ αθροίσματα που ευρίσκονται
οριζόντια και κάθετα. Όπου ίδια σύμβολα ίδιοι αριθμοί.
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Πρβ.78)
Αναρτήσεις
13 σχόλια:
Λοιπόν, θα ξεκινήσω από το β):
Για κάθε τετράγωνο που επιλέγει ο λευκός πύργος ο μαύρος μπορεί να επιλέξει ένα από υπόλοιπα 49 τετράγωνα στα οποία δε θα απειλείται από το λευκό. Συνεπώς η απάντηση είναι: 64x49=3136
Το γ) δεν το έχω δει, το αφήνω προς το παρόν...
Πάμε στο α):
Κατ' αρχήν η απάντηση: Σύμφωνα με τους υπολογισμούς μου η πιθανότητα οι σωροί να είναι ίσοι είναι 39,27%
Σκεπτικό:
Κατ' αρχήν για να απλοποιήσουμε την κουβέντα ας μη θεωρήσουμε σκακιστικά κομμάτια αλλά βόλους, 16 άσπρους και 16 μαύρους.
Τραβώντας στη σειρά τους 32 βόλους από τη σακούλα σχηματίζονται 16 ζευγάρια. Κάθε ζευγάρι αποτελείται είτε από δύο ομοιόχρωμους βόλους είτε από δύο ετερόχρωμους.
Οι δυνατές περιπτώσεις είναι οι εξής:
Στα 16 ζευγάρια μπορεί να έχουμε
1. 16 ομοιόχρωμα - 0 ετερόχρωμα
2. 14 ομοιόχρωμα - 2 ετερόχρωμα
3. 12 ομοιόχρωμα - 4 ετερόχρωμα
4. 10 ομοιόχρωμα - 6 ετερόχρωμα
5. 8 ομοιόχρωμα - 8 ετερόχρωμα
6. 6 ομοιόχρωμα - 10 ετερόχρωμα
7. 4 ομοιόχρωμα - 12 ετερόχρωμα
8. 2 ομοιόχρωμα - 14 ετερόχρωμα
9. 0 ομοιόχρωμα - 16 ετερόχρωμα
Στην περίπτωση (1) οι δυνατές διατάξεις των 16 (16-0) ζευγών είναι:
(16 ανά 16) = 16!/(16! * 0!) = 1
Στην περίπτωση (2) οι δυνατές διατάξεις των 16 (14-2) ζευγών είναι:
(14 ανά 16) = 16!/(14! * 2!) = 120
Στην περίπτωση (3) οι δυνατές διατάξεις των 16 (12-4) ζευγών είναι:
(12 ανά 16) = 16!/(12! * 4!) = 1820
Στην περίπτωση (4) οι δυνατές διατάξεις των 16 (10-6) ζευγών είναι:
(10 ανά 16) = 16!/(10! * 6!) = 8008
Στην περίπτωση (5) οι δυνατές διατάξεις των 16 (8-8) ζευγών είναι:
(8 ανά 16) = 16!/(8! * 8!) = 12870
Στην περίπτωση (6) οι δυνατές διατάξεις των 16 (6-10) ζευγών είναι:
(6 ανά 16) = 16!/(6! * 10!) = 8008
Στην περίπτωση (7) οι δυνατές διατάξεις των 16 (4-12) ζευγών είναι:
(4 ανά 16) = 16!/(4! * 12!) = 1820
Στην περίπτωση (8) οι δυνατές διατάξεις των 16 (2-14) ζευγών είναι:
(2 ανά 16) = 16!/(2! * 14!) = 120
και τέλος, Στην περίπτωση (1) οι δυνατές διατάξεις των 16 (0-16) ζευγών είναι:
(0 ανά 16) = 16!/(0! * 16!) = 1
Είναι φανερό ότι οι περιπτώσεις 1-9, 2-8, 3-7 και 4-6 είναι απόλυτα συμμετρικές.
Αθροίζοντας τα αποτελέσματα για τους δυνατούς συνδυασμούς κάθε περίπτωσης βρίσκουμε το νούμερο 32768 που είναι το συνολικό πλήθος όλων των 32άδων που αποτελούνται από 16 ζεύγη βόλων. Κάνοντας τη διαίρεση:
12870/32768 προκύπτει το 39,27%
(Το 12870 είναι οι δυνατοί συνδυασμοί διάταξης των ζευγαριών στην περίπτωση (5), 8 ομοιόχρωμα - 8 ετερόχρωμα ζευγάρια που είναι αυτή που μας ενδιαφέρει)
Δεν ξέρω αν υπάρχει απλούστερη λύση ή αν η λύση μου έχει "τρύπα" και κάτι μου έχει ξεφύγει. Περιμένω την επιβεβαίωση του blogger :-)
Διαβάζοντας ξανά την εκφώνηση, σκέφτηκα ότι ίσως δεν έλυσα το σωστό πρόβλημα. Η δική μου λύση αναφέρεται στο πρόβλημα:
Τραβάω ένα-ένα τα κομμάτια.Αν, ανά δύο, είναι του ίδιου χρώματος τα βάζω στη μία άκρη, αν είναι διαφορετικού τα βάζω στην άλλη. Ποια είναι η πιθανότητα στο τέλος να έχω δύο σωρούς με ίδιο αριθμό κομματιών (δηλ να έχω τραβήξει 8 ομοιόχρωμα και 8 ετερόχρωμα ζευγάρια).
Αν το πρόβλημα (όπως μου φαίνεται τώρα που ξαναδιαβάζω την εκφώνηση) είναι ότι αν τραβήξω ετερόχρωμο ζευγάρι το βάζω στην άκρη (δε με ενδιαφέρει) ενώ αν τραβήξω ομοιόχρωμο τότε βάζω αλλού τα λευκά ζευγάρια και αλλού τα μαύρα και θέλω να δω με ποια πιθανότητα οι δύο σωροί από άσπρα και μάυρα ζευγάρια θα είναι ίσοι τότε η πιθανότητα οι δύο σωροί να είναι ίσοι είναι: 99,996948% δηλ. σχεδόν βεβαιότητα.
Από την ανάλυση που έκανα πιο πάνω φαίνεται ότι ο αριθμός των ομοιόχρωμων ζευγαριών είναι πάντα ζυγός (δε μπορεί να είναι μονός). Όταν όμως ο αριθμός είναι ζυγός τότε τα μισά ζευγάρια είναι αναγκαστικά άσπρα και τα άλλα μισά μαύρα (δε μπορεί να έχουμε π.χ. 2 άσπρα ζευγάρια, αναγκαστικά θα προκύψουν και δύο μαύρα αργότερα κατά την ανάσυρση των κομματιών από τη σακούλα).
Η μόνη περίπτωση να μην είναι ίσοι οι δύο σωροί είναι να μην έχουμε καθόλου ομοιόχρωμα ζευγάρια δηλ. η περίπτωση (1) στη ανάλυση πιο πάνω. δηλ 1/32768 = 99,996948%
Αν θεωρήσουμε ότι και με μηδέν κομμάτια ο κάθε ένας οι δύο σωροί είναι ίσοι, τότε η πιθανότητα να είναι γενικά ίσοι είναι 1 δηλ. 100%
Ελπίζω να είμαι σωστός :-)
Δημήτρη συγχαρητήρια. Η απάντησή σου στο γρίφο (α) είναι πολύ σωστά τεκμηριωμένη και εύστοχη. Όσο για το γρίφο (β) η απάντησή σου είναι λάθος.
Πάντως πλησιάζεις για τη σωστή απάντηση.
Και σου χω πει Δημητράκη να μην μπλέκεις με υψηλά μαθηματικά, δε μ' ακούς :-) Το 100% ήταν φως φανάρι με μπακαλίστικη λογική.
Για το κρυπτογραφικό τώρα, κατευθυνόμενος αρχικά από την πρώτη κάθετη στήλη και την δεύτερη οριζόντια, μου προκύπτει
Β=5, Π=7, Α=8, Ι=2. Δεν αναλύω τους συνδυασμούς που έκανα για να μην κουράσω.
Πολύ σωστά Παναγιώτη.
@Φαρμακοτρίφτης (νομίζω όλοι συνεννοούμαστε σε ποιόν απευθύνομαι :-)) :
Κατ' αρχήν κάτι θα είχες να μάθεις από συνδυαστική αν μελετούσες τη λύση μου :-)
Επίσης αν με παρακολουθούσες λίγο περισσότερο θα έβλεπες ότι η λύση με τα "υψηλά μαθηματικά" δεν αναφέρεται στο πρόβλημα όπως το έθεσε ο papaveri αλλά σε ένα πιο δύσκολο συναφές πρόβλημα (εκεί φταίω εγώ που δεν διάβασα την εκφώνηση του προβλήματος με ακρίβεια. Πάντως χάρηκα γιατί θυμήθηκα λίγα πράγματα από συνδυαστική που μου άρεσε από τα χρόνια του πανεπιστημίου). Με νιώθεις? :-)
@papaveri:
Ειλικρινά δε μπορώ να καταλάβω που έχει "τρύπα" ο συλλογισμός μου για το (β). Τι σημαίνει νέα θέση? Καταλαβαίνω ότι π.χ. η θέση με λευκό πύργο στο α1 και μαύρο στο θ8 είναι διαφορετική από τη θέση με μαύρο πύργο στο α1 και λευκό στο θ8. Αν είναι έτσι τότε η λύση μου εξακολουθεί να μου φαίνεται σωστή. Αν οι δύο θέσεις λογίζονται ίδιες τότε οι δυνατές θέσεις είναι ακριβώς οι μισές από όσες υπολόγισα δηλ. 3136/2=1568
Δημήτρη θα αναρτήσω την απάντηση για να καταλάβεις το περιεχόμενο της εκφώνησης.
ΛΥΣΗ
Ο Λευκός Πύργος καταλαμβάνει 64 τετράγωνα. Ο Μαύρος Πύργος καταλαμβάνει63 τετράγωνα*. Άρα έχουμε: 64x63=4.032 διαφορετικές θέσεις!!
*(Ο Μαύρος Πύργος καταλαμβάνει 63 τετράγωνα μόνο, διότι εάν καταλάβει το 64ο θα αιχμαλωτισθεί από τον Λευκό Πύργο.)
Καλό θα ήταν να μην υπάρχουν εμπάθειες μεταξύ μας, διότι η ιστοσελίδα αυτή δημιουργήθηκε για να ξεφεύγουμε από την καθημερινότητα με τα τόσα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε . Γι' αυτό μη κάνουμε τη ζωή μας πιο δύσκολη απ' ότι είναι.
Να ξεκινήσω από το τελευταίο. Με τον Παναγιώτη είμαστε φίλοι μέσω καλλιτεχνικού σκακιού αλλά και μέσω της συνεργασίας μας στο "Σκάκι για Όλους". τα πειράγματα είναι συχνά μεταξύ μας κι έτσι δεν υπάρχει παρεξήγηση ούτε εμπάθεια (αν και θα ήθελα στον επόμενο διαγωνισμό να του ρίξω τουλάχιστον 5 πόντους στο κεφάλι... :-)).
Τώρα στο πρόβλημα β). Συγνώμη αλλά το 64x63 δεν είναι σωστό. Το 64x63 είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί τοποθέτησης δύο πύργων (ενός λευκού και ενός μαύρου) πάνω στη σκακιέρα άσχετα αν ο ένας απειλεί τον άλλο ή όχι (ο πρώτος πύργος μπορεί να διαλέξει ανάμεσα σε 64 τετράγωνα ενώ ο δεύτερος ανάμεσα σε 63 αφού ένα τετράγωνο έχει καταλάβει ο πρώτος).Μήπως η διατύπωση του προβλήματος είναι διαφορετική? Αν οι δύο πύργοι δεν απειλούνται επιμένω ότι η λύση είναι 64x49.
Δημήτρη εννοούσα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς. Ζητώ συγγνώμη για την λανθασμένη διατύπωση.
Έ, όχι και εμπάθειες με το Δημήτρη, μόνο και μόνο επειδή τον σκίζω στο καλλιτεχνικό! Θεός φυλάξοι!
Φίλε Δημήτρη, τα ξέρουμε κι εμείς τα περί συνδυαστικής, αλλά προσπαθούμε πρώτα με σοφιστικέ μεθόδους, όπως είναι η αριθμητική του δημοτικού :-))
Εντάξει παιδιά, μη δέρνετε. Όντας νέος στο Blog δεν έχω μάθει ακόμα τις συνήθειές σας. Εν καιρώ θα μάθω.
Μπράβο στον κύριο Papaveri.
Συγνωμη που βρίκες την πτθανοτητα να μην ειναι ισοι?
Καταρχας κάθε 1 διπλο τράβιγμα ειτε βγάλει ομοχρομο είτε ετερόχρομο πάλι ο ίδιος αριθμος θα μείνει άσπρα με μαυρα.
Ακομα και τα 15 πρωτα τραβιγματα (αρα υποχρεωτικα και το 16) να ειναι ετεροχρομα, θα μεινουν απο 0 πιονια. Ομως 0=0.
Αυτη είναι και η μοναδική περιπτωση να μην εχει πιονια. Φυσικα λέει και τα 32, αρα και να φυγει ποιο γρηγορα καποιο χρώμα πάλι ισα θα ειναι.
Δημοσίευση σχολίου