Ο Τριψήφιος Αριθμός

Το γινόμενο δύο τριψήφιων αριθμών abc και cba ισούται με 396396, όπου a μεγαλύτερο του c. Nα βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός abc. (Κατ.26/Νο.52)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/09/abc.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 924. Έστω abc ο τριψήφιος αριθμός και cba ο αντίστροφός του που είναι της μορφής (100a+10b+c) και (100c+10b+a). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: abc*cba=396.396 --> (100a+10b+c)* (100c+10b+a)=396.396 --> (a*10^2+b*10+c)*(c*10^2+b*10+a)=396.396 --> a*c*10^4+b*c*10^3+c^2*10^2+a*b*10^3+b^2*10^2+ b*c*10+ a^2*10^2+10*a*b+a*c = 396.396 a*c*10^4+10^3*(ab+bc)+10^2(a^2+b^2+c^2)+10*(ab+bc)+a*c=396396 a*c*10^4+10^3*b*(a+c)+10^2(a^2+b^2+c^2)+10*b(a+c)+a*c=396396 Επειδή οι μονάδες πρέπει να είναι 6 πρέπει, a*c=x*6 και a>c (a=9,c=4), (a=8,c=2) (a=6,c=1) (a=3 ,c=2) Δοκιμάζω για a=9, c=4, που μου φαίνεται πιθανότερη η εκδοχή: 9*4*10^4+10^3*b*(9+4)+10^2(9^2+b^2+4^2)+10*b(9+4)+9*4=396.396 36*10.000+1.000*b*13+100*(81+b^2+16)+10*b*13+36=396.396 36*10.000+1.000*b*13+100*(97+b^2)+10*b*13+36=396.396 360.000+13.000*b+9.700+100*b^2+130*b+36=396.396 100*b^2+13.130*b=396.396-360.000-9.700-36 --> 100*b^2+13.130*b=26.660 --> 100*b^2+ 13.130*b-26.660=0 Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε: x=(-β+/-sqrt[(β^2-4αγ)]/2α --> x=-13.130+/-sqrt[(13.130)^2-(4*100*(-26.660))]/2*100 --> x=[-13.130+/-sqrt(172.396.900+ 10.664.000)]/200 --> x=[-13.130+/-sqrt(183.060.900)]/200 --> x=(-13.130+/-13.530)/200 --> x1=(-13.130+13.530)/200 --> x1=400/200 --> x1= 2 (Αποδεκτό) x2=(-13.130-13.530)/200 --> x2= -26.660/200 --> x2= -133,30 (Απορρίπτεται) Επαλήθευση: abc*cba=396.396 --> 924*429=396396

Ματ σε Δύο

Χθες έφυγε για το αιώνιο ταξίδι ο Milan Velimirović (1952-2013), μεγάλος μετρ στη λύση(1984), καιι σύνθεση(2010) του Καλλιτεχνικού Σκακιού και συγγραφέας σημαντικών βιβλίων, με τελευταίο το "Εγκυκλοπαίδεια Σκακιστικών Προβλημάτων - Θέματα και Ορολογία" (Encyclopedia of Chess Problems - Themes and Terms, Chess Informant, Belgrad, 2012), μαζί με τον Kari Valtonen.. Σαν ελάχιστο φόρο τιμής για τη προσφορά του στο καλλιτεχνικό σκάκι θα παρουσιάσω ένα πρόβλημα δικό του. Πήρε το πρώτο βραβείο στο σκακιστικό περιοδικό "StrateGems" το 2000. Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.
(Συνθέσεις Διαφόρων Συνθετών) 

Λύση

Δοκιμή:1.Qf3!? (>2.Qd3#),1... Rg3 2.Bd5# (Bristol),1... Bg3 2.Qc3#, 1... c6 2.Nxd6#,But: 1...Rb5! Κλειδί:1.Qb1! (>2.Qd3#),Rg3 2.Qb5#,1...,Bg3 2.Rb4# (Bristol). 1...,c6 2.Nb6#,1...,Nc2 2.Qa2#, Θέμα: «Bristol»

Οι Δύο Αριθμοί

Κάποιος σκέφτηκε δύο θετικούς ακέραιους αριθμούς, οι δύο αριθμοί είναι μεγαλύτεροι από το 1 και μικρότεροι από το 21, επίσης το γινόμενο είναι μικρότερο του 200, και λέει το άθροισμα των δύο αριθμών σε έναν μαθηματικό «Α» και το γινόμενο τους σε έναν μαθηματικό «Β». Λίγες ημέρες αργότερα συναντιούνται οι δύο μαθηματικοί και κάνουν τον παρακάτω διάλογο: 

Α: «Δεν υπάρχει κανένας τρόπος για να βρείτε το άθροισμα.»

Β: «Μα, το έχω βρει!» 

Α: «Έ, τότε και εγώ γνωρίζω το γινόμενο.»

Ποιοι είναι οι δύο αυτοί αριθμοί; (Κατ.34/Νο.577) 

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/06/blog-post_5082.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Πολύ ενδιαφέρων και δύσκολος γρίφος! Συνδυάζει λογική επαγωγή και Θεωρία Αριθμών. Νομίζω όμως ότι δεν έχει μοναδική λύση. Επιχειρώ μια προσέγγιση: Το γεγονός ότι ο Μαθ.Α δηλώνει αρχικά πως ο Β δεν μπορεί να ξέρει το άθροισμα(δεδομένου ότι ξέρει το γινόμενο) σημαίνει ότι το άθροισμα πρέπει να είναι περιττός αριθμός. Αν ήταν άρτιος, θα μπορούσε να εκφραστεί σαν άθροισμα δύο πρώτων (η εικασία του Γκόλντμπαχ,(Christian.Goldbach), και εδώ, αναπόδεικτη μεν ,αλλά ισχύει σίγουρα για τους αριθμούς που εξετάζουμε και για πολύ μεγαλύτερους) κι αν το γινόμενο μπορούσε να παραγοντοποιηθεί σε δύο πρώτους ο Β θα μπορούσε να ξέρει το άθροισμα, γιατί το γινόμενο θα ήταν κατά μοναδικό τρόπο παραγοντοποιήσιμο σε δύο πρώτους. Π.χ αν οι αριθμοί ήταν 3 και 5 ,το γινόμενο 15 αναλύεται μόνο σε 3Χ5. ή π.χ το γινόμενο 65 θα σήμαινε μοναδικό άθροισμα 5 και 13. Επίσης δεν μπορεί ,για τον ίδιο λόγο, ο ένας αριθμός να είναι 2 , ή καλύτερα, το άθροισμα των αριθμών μείον 2 (Σ-2) πρέπει να είναι σύνθετος αριθμός.(μη πρώτος). Άρα το γεγονός ότι ο Β μετά την αρχική δήλωση του Α δηλώνει ότι ξέρει τους αριθμούς, σημαίνει ότι το γινόμενο αποσυντίθεται κατά μοναδικό τρόπο σε 2 αριθμούς με άθροισμα περιττό. Για να συμβαίνει όμως αυτό σημαίνει ότι το γινόμενο ισούται με μία δύναμη του 2 (εκτός από το ίδιο το 2 ,γιατί όπως προείπα θα ήξερε από την αρχή..) επί έναν πρώτο . Γ=p X (2^n) (Γ=γινόμενο, p=πρώτος) Το γεγονός τώρα ότι μετά ξέρει και ο Α τους αριθμούς, σημαίνει λοιπόν ότι το άθροισμά του Σ είναι μοναδικά παραγοντοποιήσιμο σαν p + 2^n (εκτός από 2) ΚΑΙ επίσης (όπως δείξαμε αρχικά) Σ-2 σύνθετος. Άρα απομένει να δούμε ποια αθροίσματα είναι της μορφής: Σ= Σύνθετος +2 και να ελέγξουμε ποιο γινόμενο παραγοντοποιειται με πρώτο (p) + δύναμη του 2. 1η περίπτωση: 15 (=σύνθετος) +2=17 = 13(πρώτος)+4 , 13*2^2=52 (μοναδ.παράγοντες εντός διαστήματος 4 και 13) .ΟΚ Άρα οι αριθμοί είναι 13 και 4 Το "κακό" είναι ότι και οι αριθμοί 13 και 16 ικανοποιούν τις προϋποθέσεις που θέλουμε.. 13=πρώτος, 16=2^4 και 29=27(σύνθετος)+2 και 29-4=25(σύνθετος) 13 Χ16=208=13 Χ 2^4 Άλλο ζεύγος -λύση δεν υπάρχει στο διάστημα 2-20. ΥΓ:Θα μπορούσε να προστεθεί στην εκφώνηση ας πούμε, "το γινόμενο είναι μικρότερο από 200" οπότε θα υπήρχε μοναδική λύση: 4 ,13

Το Μήκος του Σκοινιού

Ένα πρόβατο είναι δεμένο με ένα σκοινί σ’ έναν πάσσαλο που βρίσκεται στην κορυφή μιας ισόπλευρης τριγωνικής επιφάνειας. Η επιφάνεια έχει εμβαδόν 100τ.μ. Το μήκος του σκοινιού είναι τόσο ώστε το πρόβατο να μπορεί να βοσκήσει μόνο στην μισή επιφάνεια. Πόσο είναι το μήκος του σκοινιού; (Κατ.34/Νο.576)

Πηγή:

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Το μήκος του σκοινιού είναι περίπου 9,77m Εφόσον το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, αποτελεί το 1/6 κανονικού εξαγώνου με κέντρο την κορυφή όπου είναι δεμένο το πρόβατο. Το ίδιο σημείο είναι και κέντρο του κύκλου με ακτίνα ρ= το μήκος του σκοινιού, και που χωρίζεται -ανά ίδιο τρίγωνο αντίστοιχα- σε 6 ίσια κομμάτια πίτσα.:-)(κυκλικούς τομείς) Άρα το 1/6 του εμβαδού του κύκλου είναι 50 τ.μ. Ο τύπος του εμβαδού του κύκλου είναι: Ε=π*ρ^2, 6*100/2=π*ρ^2, 600/2= π*ρ^2, 300=π*ρ^2, ρ=(300/3,14)^(1/2), ρ=( 95,54140)^(1/2), ρ=(95,54140)^(0,5), ρ=9,77452, ρ= ≈9,77μέτρα.

Τα Σκαλοπάτια

Τέσσερεις φίλοι, ο Γιώργος, ο Κώστας. Ο Πέτρος, και ο Βασίλης, παίζουν ανεβαίνοντας τα σκαλιά του σπιτιού του Βασίλη. 
Ο Γιώργος ανεβαίνει δυο -δυο τα σκαλιά.
Ο Κώστας ανεβαίνει τρία - τρία τα σκαλιά.
Ο  Πέτρος ανεβαίνει τέσσερα -τέσσερα τα σκαλιά.
Και ο Βασίλης ανεβαίνει πέντε - πέντε τα σκαλιά. 
Εάν μόνο στο πρώτο και στο τελευταίο σκαλί βρέθηκαν και οι τέσσερεις μαζί, να βρείτε:
(α) Πόσα σκαλιά έχει το σπίτι του Βασίλη;
(β) Σε πόσα σκαλιά πάτησε μόνο ένας; (Κατ.5/Νο.70)

Πηγή:Θέματα Παγκύπριου Διαγωνισμού Ε' - ΣΤ' τάξης Δημοτικού,2012

Λύση

Λύση του Ν. Λέντζου. Το Ε.Κ.Π.(2,3,4,5)=60. α)Επειδή όλοι ξεκίνησαν από το πρώτο σκαλοπάτι θα βρεθούν μαζί και οι τέσσερεις στο εξηκοστό πρώτο (60+1) σκαλοπάτι. Επομένως το σπίτι του Βασίλη είχε 61 σκαλοπάτια.β)Τα σκαλοπάτια που πάτησε μόνο ένας ήταν είκοσι. 3ο, 4ο, 6ο, 10ο, 15ο, 22ο, 23ο, 26ο, 27ο, 28ο, 34ο, 35ο, 36ο, 39ο, 40ο, 47ο, 52ο, 56ο, 58ο, 59ο.

Ατελής Διαίρεση

Πόσοι από τους φυσικούς αριθμούς, από το 1 έως το 2.013,  δεν διαιρούνται ούτε με το 5, ούτε με το 7; (Κατ.34/Ν0.575)
Πηγή: Παγκύπριος Διαγωνισμός Α΄ Γυμνασίου,2012

Λύση

Λύση του Ν. Λέντζου. Αυτοί που δεν είναι πολλαπλάσια ούτε του 5 ούτε του 7. Τα πολλαπλάσια του 5, είναι 402(=2.010/5) Τα πολλαπλάσια του 7, είναι 287(=2.009/7) Τα κοινά πολλαπλάσια των 5 και 7, είναι 57(=1.995/35). Επομένως, αυτοί που διαιρούνται είτε με το 5, είτε με το 7 είναι 402+287-57=632. Οι υπόλοιποι 2.013-632=1.391 αριθμοί δεν διαιρούνται ούτε με το 5, ούτε με το 7.

Η Έκπτωση

Ένα μολύβι μάρκας «Α» στο χαρτοβιβλιοπωλείο του Παπαδόπουλου κοστίζει 0,50€. Ο Παπαδόπουλος  στα πλαίσια μια επιθετικής εμπορικής πολιτικής έκανε μια γενναία  έκπτωση  στην τιμή των μολυβιών  μάρκας «Α». Το ίδιο απόγευμα  ένας πελάτης  αγόρασε όλα τα μολύβια μάρκας «A» πληρώνοντας 31,93€. Ποια είναι η έκπτωση που έκανε ο Παπαδόπουλος  στην τιμή του μολυβιού της συγκεκριμένης μάρκας, πόσο τοις % και πόσα ήταν μολύβια που πούλησε; (Κατ.34/Νο.574)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2013/02/blog-post_20.html

Λύση

Εάν η μειωμένη τιμή του μολυβιού είναι «x» λεπτά (x<50) και «ψ» είναι το πλήθος των μολυβιών μάρκας «Α», τότε ισχύει: x*ψ=3.193. Αναλύοντας το αριθμό 3.193 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων έχουμε: 3.193=31*103, όμως το 103 είναι μεγαλύτερο του 50 εξ’ ορισμού (x<50), άρα x=31, οπότε η έκπτωση είναι: x=0,50-0,31=0,19 λεπτά (έκπτωση 0,19/0,50=38%)