Ματ σε Δύο

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

1.Ιδ5!(>2.Πε6# και 2.Ιδ3# 1...,Α:Α 2.Ιδ3# 1...,Π:Α 2.Πε6# 1...,Πδ6 2.Ιδ3# Θέμα: «Novotny»

Οι Μπανάνες

«Μέσα στις φωτεινές και αναζωογονητικές παρυφές του δάσους, τις γεμάτες από αναρίθμητα δένδρα, με τα κλαδιά τους λυγισμένα από το βάρος των λουλουδιών και των φρούτων, δέντρα όπως νεραντζιές, λεμονιές, φλαμουριές, μπανανιές, παλμίρες και μάγκο, μέσα στις παρυφές τις γεμάτες ήχους, από πλήθος παπαγάλων, πιθήκων και κούκων που βρισκόταν κοντά σε πηγές γεμάτες νούφαρα, με τις μέλισσες να βουίζουν γύρω από αυτά, ένας αριθμός από κουρασμένους ταξιδιώτες μπήκαν με χαρά. Εκεί υπήρχαν 63 ίσοι τον αριθμό, σωροί από μπανάνες και επτά άλλοι σωροί από τα ίδια φρούτα, που μοιράστηκαν ίσα σε 23 ταξιδιώτες, έτσι ώστε να μην υπάρχει υπόλοιπο. Πείτε μου τώρα το αριθμητικό μέτρο του κάθε σωρού από μπανάνες» (Κατ.34/Νο.548)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/01/blog-post_5731.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Είναι ένα από τα διάσημα διοφαντικά(indeterminate) προβλήματα του Ινδού μαθηματικού Μαχαβίρα. (από τους πρώτους που επιχείρησε να ασχοληθεί με τετρ.ρίζες αρνητικών αριθμών) To αναφέρει (χωρίς λύση!) ο D. Smith στο κλασικό του σύγγραμμα «History of Mathematics» Eδώ μπορείτε να δείτε όλο το βιβλίο, η σχετική αναφορά βρίσκεται στη σελίδα 163 http://archive.org/stream/historyofmathema033304mbp#page/n177/mode/2up/search/forest Η λύση ουσιαστικά ανάγεται στην λύση της διοφαντικής εξίσωσης: 63 x + 7 = 23y (x οι μπανάνες κάθε σωρού και y οι ταξιδιώτες) ή 63 x - 23 y + 7 = 0 Εφαρμόζω με τα ακόλουθα βήματα τον γενικευμένο Ευκλείδειο αλγόριθμο Βήμα 1: 1 * 63 + 0 * (-23) = 63 Βήμα 2: 0 * 63 + 1 * (-23) = -23 Βήμα 3: 1 * 63 + 3 * (-23) = -6 Βήμα 4: (-3) * 63 + (-8) * (-23) = -5 Βήμα 5: 4 * 63 + 11 * (-23) = -1 Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία με 7 ,έχουμε: 28 * 63 + 77 * (-23) = -7 Προσθέτοντας και αφαιρώντας: 63 * (-23) t έχουμε: (28 + (-23) t) * 63 + 77 - 63 t) * (-23) = -7 Έτσι το σύνολο των λύσεων προκύπτει ως: x= 28-23t y=77-63t Mε τον μετασχηματισμό κ=1+t έχουμε τελικά: X=5+23k Y=14+63k (για κ=0, η μικρότερη δυνατή λύση είναι χ=5 και y=14)

Οι Εκπτώσεις

Μετά από τρεις διαδοχικές εκπτώσεις, κατά 20% η κάθε μία, ενός προϊόντος, πόσο τοις εκατό θα είναι η  τελική τιμή του προϊόντος σε συνάρτηση με την αρχική και πόσο τοις εκατό η συνολική μείωση; (Κατ.34/Νο.547)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/12/blog-post_7007.html

Λύση

Η τελική τιμή θα είναι 51.20%. 100%*(-20%)=80% 80%*(-20%)=80%-16%=64% 64%*(-20%)=64%-12,80%=51,20% Η συνολική μείωση είναι 48,80%. 20%+20%*80%+20%*(20%*80%)=20%+16%+12,80%=48.80%. Ή 100%-51,20%=48,80%

Usain Bolt

Το σημερινό παγκόσμιο ρεκόρ στο sprint των 100m είναι 9:58s και πραγματοποιήθηκε από τον Τζαμαϊκανό Usain Bolt στις 16 Αυγούστου 2009 στο παγκόσμιο πρωτάθλημα στίβου στο Βερολίνο. Με πόσα χιλιόμετρα έτρεχε την ώρα; (Κατ.34/Νο.546)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/04/100-m.html

Λύση

Έτρεχε με 37,5783χλμ/ώρα. Η μία ώρα έχει 3.600 δευτερόλεπτα, οπότε έχουμε: Κατάταξη: Στα 9,58 δευτερόλεπτα έτρεξε 100μέτρα Στα 3.600 δευτερόλεπτα πόσα x; μέτρα x = 100*3600/9,58=37.578.29μ.--> 37,5783χλμ/ώρα

Ο Κωδικός Αριθμός

Ένας ταξιδιώτης ήθελε να ανοίξει τη βαλίτσα του, αλλά είχε ξεχάσει τον κωδικό αριθμό της κλειδαριάς. Θυμόταν όμως μόνο πέντε στοιχεία. 
Αυτά ήταν: 
Το άθροισμα των πέντε αριθμών, που αποτελούν το κωδικό, είναι  
ίσον με 30. 
Ο πέμπτος και ο τρίτος αριθμός έχουν άθροισμα 14. 
Ο τέταρτος αριθμός είναι κατά μια μονάδα μεγαλύτερος από τον δεύτερο 
αριθμό. 
Ο πρώτος αριθμός είναι κατά μια μονάδα μικρότερος από το διπλάσιο του 
δεύτερου αριθμού. 
Ο δεύτερος και ο τρίτος αριθμός έχουν άθροισμα 10. 
Ποιος είναι ο πενταψήφιος κωδικός αριθμός; (Κατ.34/Νο.545)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/03/blog-post_8090.html

Λύση

Ο πενταψήφιος κωδικός είναι ο 74658. Έστω "αβγδε" ο πενταψήφιος αριθμός που είναι της μορφής 10.000α+1.000β+100γ+10δ+ε. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: α+β+γ+δ+ε=30 (1) ε+γ=14 (2) δ=β+1 (3) α=2β-1 (4) β+γ=10 (5) Από τη (2) συνάγουμε ότι: ε+γ=14 --> ε=14-γ (6) Αντικαθιστούμε τις τιμές των(3),(4),και(6)στην (1) κι' έχουμε: α+β+γ+δ+ε=30 --> 2β-1+β+γ+β+1+14-γ=30 --> 4β=30-14 --> 4β=16 --> β=16/4 --> β=4 (7) Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στις(3),(4),και (5) κι' έχουμε: δ=β+1 --> δ=4+1 --> δ=5(8) α=2β-1 --> α=[(2*4)-1] --> α=8-1 --> α=7(9) β+γ=10 --> 4+γ=10 --> γ=10-4 --> γ=6 (10) Αντικαθιστούμε τη τιμή του "γ" στην (6) κι' έχουμε: ε=14-γ --> ε=14-6 --> ε=8(11) Επαλήθευση: α+β+γ+δ+ε=30 --> 7+4+6+5+8=30 ο.ε.δ.

Ματ σε Δύο

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν μα σε δύο κινήσεις.(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

1.Πθ1!(zz),Ρη3 2.Βθ2# 1...,Ρε5 2.Βθ2# 1...,Ρη5 2.Βδ2# 1...,Ρε3 2.Ιδ5# Θέμα: «Star -Flight»

Η Εφημερίδα

Μια εφημερίδα αποτελείται από 8  μεγάλα φύλλα διπλωμένα στη μέση. Η εφημερίδα έχει 32 σελίδες συνολικά. Το πρώτο φύλλο περιέχει τις σελίδες 1, 2, 31, και 32. Παίρνουμε ένα φύλλο που περιέχει τη σελίδα 25. Ποιες είναι οι άλλες σελίδες που περιέχει αυτό το φύλλο; (Κατ.27/Νο.341) 

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/12/blog-post_4152.html

Λύση

Το συγκεκριμένο φύλλο, είναι το τέταρτο φύλλο, και περιέχει τις σελίδες 7,8 και 25,26. Πρώτο φύλλο: Σελίδες 1,2 και 31,32, Δεύτερο φύλλο: Σελίδες 3,4 και 29,30, Τρίτο φύλλο: Σελίδες 5,6 και 27,28, Τέταρτο φύλλο: Σελίδες 7,8 και 25,26, Πέμπτο φύλλο: Σελίδες 9,10 και 23,24, Έκτο φύλλο: Σελίδες 11,12 και 21,22, Έβδομο φύλλο: Σελίδες 13,14 και 19,20, Όγδοο φύλλο: Σελίδες 15,16 και 17,18