Το Ποσοστό

Αν "x" είναι το 150% του "y", τότε τι ποσοστό του "3x" είναι το "4y"; 

(Κατ.34/Νο.533)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/blog-post_9025.html

Λύση

Είναι το ≈89%. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: x=(150/100)y Αντικαθιστούμε τη τιμή του «x» στο 3x κι’ έχουμε: 3x = 3*(150/100)y=(450/100)y=4,50y Κατάταξη: Στα 4,5y αντιστοιχούν στο 100% του 3x στα 4y τι «x» ποσοστό είναι του 3x; 4y*100%=4,50y --> 4/4.50 --> 0,88888888888888888888888888888889 ή ≈89%

Ο Αριθμός

 

 Είμαι ένας τριψήφιος αριθμός. Αν με πολλαπλασιάσεις με το 2, αφαιρέσεις από το γινόμενο το 1 και με διαβάσεις ανάποδα τότε με βρήκες. Ποιος είμαι? (Κατ.1/Νο.133) 

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/02/blog-post_2674.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Μια εναλλακτική λύση είναι η εξής: Ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 397. Εάν ο ζητούμενος αριθμός είναι έστω xyz, ισχύει: 2(100x+10y+z)-1=100z+10y+x κι αυτή γίνεται: 199x+10y-98z-1=0 (1) Oι δυνατές τιμές του x είναι 1,2,3,4 Το 0 αποκλείεται γιατί ο αριθμός τότε θα ήταν διψήφιος και τιμές μεγαλύτερες του 4 επίσης αποκλείονται γιατί τότε το διπλάσιο του xyz θα ήταν μεγαλύτερο του 999 δηλαδή τετραψήφιος αριθμός. Για x=1 η (1) γίνεται: 10y-98z+198=0 Αυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+39 και z=5t+6 , t ακέραιος. Είναι φανερό ότι δεν υπάρχει t που να μας δίνει "0" μικρότερο "y" και "y" μιρότερο 10,άρα η x=1 δεν κάνει. Για x=2 η (1) γίνεται: 10y-98z+397=0 Δεν υπάρχουν γι’ αυτή ακέραιες λύσεις. Για x=3 η (1) γίνεται: 10y-98z+596=0 Αυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+9 και z=5t+7 , t ακέραιος. Για t=0 έχουμε τις αποδεκτές λύσεις για το επιτρεπόμενο εύρος τιμών των y και z, y=9 και z=7 Για x=4 η (1) γίνεται: 10y-98z+795=0 Δεν υπάρχουν γι' αυτή ακέραιες λύσεις. Άρα μοναδική λύση η Χ=3, Υ=9 ,Ζ=7

Ο Κωδικός

 

Παρατηρείστε με προσοχή τις δύο ανωτέρω στήλες του πίνακα. Σε κάθε αριθμό που βρίσκεται στην  πρώτη στήλη υπάρχει ο αντίστοιχος κωδικός αριθμός στη δεύτερη στήλη . Ποιος είναι ο κωδικός αριθμός του αριθμού 5213; (Κατ.1/Νο.132) 
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/01/blog-post_1567.html

Λύση

Ο κωδικός αριθμός είναι ο 10246. Διπλασιάζουμε το κάθε ψηφίο του αριθμού και το κάθε γινόμενο το γράφουμε σε μια σειρά το ένα δίπλα στο άλλο. 236 --> 2*2, 2*3, 2*6 --> 4612, 748 --> 2*7, 2*4, 2*8 --> 14816, 951 --> 2*9, 2*5, 2*1 --> 18102, 3604 --> 2*3, 2*6, 2*0, 2*4 -->61208, 5123 --> 2*5, 2*1, 2*2, 2*3 -->10246 (?)

Ο Αριθμός

Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος αριθμός, που διαιρούμενος...:
Με το 10 αφήνει υπόλοιπο 9;
Με το 9 αφήνει υπόλοιπο 8;
Με το 8 αφήνει υπόλοιπο 7;
Με το 7 αφήνει υπόλοιπο 6;
Με το 6 αφήνει υπόλοιπο 5;
Με το 5 αφήνει υπόλοιπο 4;
Με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3;
Με το 3 αφήνει υπόλοιπο 2;
Με το 2 αφήνει υπόλοιπο 1;
Με το 1 αφήνει υπόλοιπο 0; 
(Κατ.5/Νο.8)
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2011/02/blog-post_8876.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Γενικά, αν ένας ακέραιος ,έστω Z, αφήνει υπόλοιπο Κ-1 όταν διαιρείται με έναν αριθμό Κ, τότε ο Ζ+1 διαιρείται ακριβώς με τον Κ. Π.χ. ο 71 /8 αφήνει υπόλοιπο 7. (8*8 + 7=71). Έτσι ο 72 διαιρείται ακριβώς με το 8. (8*9=72) Άρα στην περίπτωσή μας ο αριθμός Ζ+1 διαιρείται ακεραίως με τους 1, 2, 3,…9, 10. Μια προφανής λύση άρα, είναι και το 10! (αλλά too big to be true!):-) Προφανώς(εξ ορισμού του), ο ελάχιστος αριθμός που ψάχνουμε είναι το Ε.Κ.Π (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) των 1,2,3…,9, 10 που είναι ο αριθμός 2520 (=2*4*5*7*9). Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι : Ζ=2519 Επαλήθευση: 2519/2 = 1259*2 + 1 2519/3= 839*3 +2 …………………………… 2519/9= 279*9 + 8 2519/10= 251*10 + 9 Λύση του Papaveri. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 1,2,3,4,5,6,7,8,9 και 10 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι: Ε.Κ.Π.=1*2^3*3^2*5*7=2.520. Επειδή Ν= (πολλαπλάσιο του 10,9,8,…,2)-1, θα έχουμε Ν=2.520-1= 2.519 --> Ν = 2.519

Άθροισμα 34

Στο ανωτέρω μαγικό τετράγωνο το άθροισμα των αριθμών σε κάθε σειρά, στήλη και διαγώνιο είναι 34 (Μαγική Σταθερά). Επίσης, άθροισμα 34  έχουν και οι αριθμοί στα τετραγωνάκια με τα εξής γράμματα:

ADMP - BCNO - EHIL - FGJK - ABEF - CDGH - IJMN - KLOP.

Να βρεθούν οι αριθμοί που αντιστοιχούν στα γράμματα.

(Μαγικά Τετράγωνα)  
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/34.html

Διαβάστε περισσότερα »

Ματ σε Δύο

 Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.
(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

1.Πα3!(zz),Α επί της διαγωνίου «δ1-θ5» 2.δ3#, 1....,Α επί της διαγωνίου «ζ1-α6» 2.ζ3#, 1....,δ3 2.Πα4#, 1....,ζ3 2.Πθ4# Ένα συμμετρικό ηχώ-ματ.

Το Άθροισμα

Εάν: 

 

να υπολογιστεί το άθροισμα:

 

(Κατ.9Α΄/Νο.17)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/blog-post_6820.html

Διαβάστε περισσότερα »