Ο Αριθμός

Εάν αρχίσεις μ’ έναν αριθμό, μετά αφαιρέσεις το ένα τρίτο του, μετά το ένα τέταρτο του, μετά το ένα πέμπτο του και μετά το 4 κι’ εάν μετά πολλαπλασιάσεις το αποτέλεσμα με τον εαυτό του, παίρνεις 12  παραπάνω από τον αρχικό αριθμό. Βρες το αριθμό.

Πηγή: Από το βιβλίο του Άραβα μαθηματικού Abu-Abdullah Mohammed ibn Musa Al-Khwarizmi (790-850μ.Χ.) με τίτλο: «Hisab al - jabr w ’ al - muqabala», 825μ.Χ.. (34 προβλήματα).

Λύση

Ο αριθμός είναι ο 56,723. Έστω «x» ο αριθμός. Βάσει των δεδομένων της εκφώνηση του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
[x-[(x/3)+(x/4)+(x/5)+4]]^2=x+12 (1)
[x-[(x/3)+(x/4)+(x/5)+4]]^2=x+12
[x-[(20x+15x+12x+4*60]/60]^2=x+12
[x-[(47x+240)/60]^2=x+12
[(60x-47x-240)/60]^2=x+12
[(13x-240)/60]^2=x+12
13^2x^2-2*13*240x+240^2/60^2=x+12
169x^2-6.240x+57.600/3.600=x+12
169x^2-6.240x+57.600=3.600(x+12)
169x^2-6.240x+57.600=3.600x+43.200
169x^2-6.240x+57.600-3.600x-43.200=0
169x^2-9.840x+14.400=0 (2)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α --> x = 9.840±sqrt[(-9.840)^2-4*169*14.400]/2*169 --->
x = -9.840±sqrt[96.825.600-9.734.400]/338 --> x =[9.840±sqrt[(87.091.200)]/338 -->
x = (9.840±9.332)/338
x1=(45+5)/2 --> x1=50/2 --> x1=25
x2=(45-5)/2 --> x2=40/2 --> x2=20
x1=(9.840+9.332)/338 ----> x1=19.172/338 ----> x1=56,723
x2=(9.840-9.332)/338 ----> x2= 508/338 ----> x2=1,5029
Επαλήθευση:
[x-[(x/3)+(x/4)+(x/5)+4]]^2=x+12
[56,723-[(56,723/3)+(56,723/4)+(56,723/5)+4]]^2=56,723+12
[56,723-(18,91+14,18+11,35+4)]^2=68,723
(56,723-48,44)^2=68,723
8,283^2=68,723