Στην Λοξολάνδη διεξήχθη δημοψήφισμα για την φίμωση των ροζ
παπαγάλων. Στο χωριό Άνω Ραχούλα ψήφισαν «κ» άτομα, όπου «κ» είναι τετραψήφιος αριθμός
και παράλληλα τέλειο τετράγωνο, ενώ στο διπλανό χωριό, την Κάτω Ραχούλα, ψήφισαν «λ» άτομα, όπου ο «λ» είναι
επίσης τέλειο τετράγωνο και προκύπτει εάν αυξήσουμε τα ψηφία
του αριθμού «κ» κατά μια μονάδα.
Πόσοι ψήφισαν σε κάθε χωριό; (Κατ.34)
Ο δήμαρχος της Άνω Ραχούλας Μπόρις Καλοχαιρέτας
ρωτήθηκε από τους
δημοσιογράφους για το αποτέλεσμα του δημοψηφίσματος και ως συνήθως
απάντησε κάτι άλλο.
δημοσιογράφους για το αποτέλεσμα του δημοψηφίσματος και ως συνήθως
απάντησε κάτι άλλο.
-«Να σας πω. Η ηλικία μου είναι
ένας πρώτος αριθμός που όταν διαιρεθεί με την ηλικία του εξάχρονου εγγονού μου δίνει πηλίκο 14»
Ποια είναι η ηλικία του δήμαρχου Καλοχαιρέτα; (Κατ.34)
Λύση
(α)Από την Άνω Ραχούλα ψήφισαν 2.025 άτομα και από την Κάτω Ραχούλα ψήφισαν 3.136 άτομα. Εάν κ=α^2 και λ=β^2, τότε από υπόθεση προκύπτει η σχέση: β^2-α^2=1.111 ή (β-α)(β+α)=11*101 Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 11 και 101 είναι πρώτοι αριθμοί και επειδή β-α<β+α διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:(Ι)β-α=1 (1)
β+α=1.111 (2)
(ΙΙ)β-α=11 (1)
β+α=101 (2)
Το σύστημα (Ι) δίνει:
Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) κι’ έχουμε:
β-α=1
β+α=1.111
2β=1.112 ---> β=1.112/2 ---> β=556 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
β-α=1 ---> 556-α=1 ---> α=556-1 ---> α=555 (4)
Και τα δύο αποτελέσματα απορρίπτονται καθώς τα τετράγωνα τους έχουν περισσότερα από 4 ψηφία.
Το σύστημα (ΙΙ) δίνει:
Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) κι’ έχουμε:
β-α=11
β+α=101
2β=112 ---> β=112/2 ---> β=56 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
β-α=11 ---> 56-α=11 ---> α=56-11 ---> α=45 (4)
Οι λύσεις είναι δεκτές καθώς:
45^2=2.025 και 56^2=3.136
Επαλήθευση:
κ=α^2 ---> κ=45^2 ---> κ=2.025
λ=β^2 ---> λ=56&2 ---> λ=3.136
(Ι)β-α=1 ---> 556-555=1
β+α=1.111 ---> 556+555=1.111
(ΙΙ)β-α=11 ---> 56-45=11
β+α=101 ---> 56+45=101
(β)Ο δήμαρχος είναι 89 ετών. Αν «η» η ηλικία του Καλοχαιρέτα, τότε από υπόθεση προκύπτει, βάσει του τύπου της "Ευκλείδειας Διαίρεσης":
Διαιρετέος=(διαιρέτης*πηλίκο)+υπόλοιπο ---> Δ=(δ*π)+υ, όπου υ<δ
έχουμε:
η=14*6+υ, όπου 0≤υ<δ
Διερεύνηση:
Για υ=0, υ=1, υ=2, υ=3, υ=4 έχουμε:
η=84, η=85, η=86, η=87, και η =88
οι αριθμοί «η» που προκύπτουν δεν είναι πρώτοι αριθμοί.
Για υ=5, έχουμε:
η=(14* 6) +5= 89
Ο αριθμός 89 είναι πρώτος αριθμός.
Αναρτήσεις
4 σχόλια:
Ενδιαφέρον το πρώτο πρόβλημα.
α) Αν κ=abcd=1000a+100b+10c+d=m^2 τότε λ=1000(a+1)+100(b+1)+10(c+1)+(d+1)=n^2.
Όμως λ-κ=1000(a+1)+100(b+1)+10(c+1)+(d+1)-(1000a+100b+10c+d)=1111=11*101,
άρα n^2-m^2=11*101 ->(n-m)*(n+m)=11*101, από όπου m=45 και n=56 και άρα οι αριθμοί είναι οι 45^2=2025 και 56^2=3136
και για το β) 89
Επειδή οι αριθμοί κ και λ είναι 4/ψήφιοι και ο λ προκύπτει από τον κ με αύξηση των ψηφίων του κατά μία μονάδα έχουμε ότι:
λ = κ + 1.111
Αν θέσουμε α^2=κ και β^2=λ τότε η ανωτέρω σχέση γράφεται:
β^2 = α^2 + 1.111 ή
β^2 - α^2 = 1.111 ή
(β-α)*(β+α)= 11*101 (ανάλυση σε πρώτους παράγοντες),
από την οποία προκύπτει ότι:
β-α = 11 και β+α = 101.
Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:
2β=122 ή β=56 και α=45.
Οπότε κ=45*45=2025 και λ=56*56=3136.
Στο χωριό Άνω Ραχούλα ψήφισαν λοιπόν 2.025 άτομα, ενώ στο διπλανό χωριό, την Κάτω Ραχούλα, ψήφισαν 3.136 άτομα.
Για την ηλικία του Δημάρχου τώρα.
Αν Η είναι η ηλικία του Δημάρχου τότε από την ταυτότητα της "Ευκλείδειας Διαίρεσης" είναι:
Η = 6*14 + υ, με υ = 0,1,2,3,4,5
Επομένως,
για υ=0 Η=84,
για υ=1 Η=85,
για υ=2 Η=86,
για υ=3 Η=87,
για υ=4 Η=88,
για υ=5 Η=89.
Ο μόνος από τους παραπάνω αριθμούς που είναι πρώτος είναι ο αριθμός 89 που εκφράζει την ηλικία του δημάρχου Καλοχαιρέτα.
Συγχαρητήρια και στους δύο! Οι λύσεις σας είναι σωστές.
Δημοσίευση σχολίου