Τα Μίλια

Δυο ταχυδρόμοι, ο Α και ο Β, που απέχουν μεταξύ τους 59μίλια, ξεκινούν ένα πρωί για να συναντηθούν. Ο Α καλύπτει 7μίλια σε δυο ώρες, ενώ ο Β καλύπτει 8μίλια σε τρεις ώρες. Αν Β ξεκινά μια ώρα αργότερα από τον Α, βρείτε πόσα μίλια θα διανύσει ο Α μέχρι να συναντηθούν; (Κατ.34)
Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2015/10/blog-post_26.html
Πηγη: Isaac Newton, "Universal arithmetic or, a treatise of arithmetical composition and resolution", 1720

Λύση

Ο ταχυδρόμος «Α» θα διανύσει 35 χιλιόμετρα μέχρι να συναντήσει τον ταχυδρόμο «Β». Χρησιμοποιούμε τον παρακάτω συμβολισμό και γράφουμε τις δοσμένες αριθμητικές τιμές εντός παρενθέσεων:
α) (7/2) είναι η ταχύτητα του Α.
β) (8/3) είναι η ταχύτητα του Β.
γ) (1) πόσες ώρες καθυστέρει ο Β να ξεκινήσει.
δ) (59) η απόσταση (ΑΒ) των δυο σημείων αφετηρίας.
Αν χ και y οι αποστάσεις από τα σημεία αφετηρίας των Α ,Β με το σημείο συνάντησης έχουμε τις εξισώσεις:
x+y =δ (1)
(x/α)-(y/β)=γ (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
x+y=δ ---> y=δ-x (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
(x/α)-(y/β)=γ ---> (x/α)-(δ-x)/β=γ ---> βx-αδ+αx=γαβ ---> βx+αx=γαβ+αδ ---> x(β+α)=α(γβ+δ) ---> x=α(γβ+δ)/(β+α) (4)
Αντικαθιστούμε στη (4) τα (α, β, γ, και δ) με τις αντίστοιχες τιμές κι’ έχουμε:
x=α(γβ+δ)/(β+α) ---> x=(7/2)*(1*(8/3)+59)/[(8/3)+(7/2)] ---> x=(7/2)*[(8/3)+59]/[(8/3)+(7/2)] ---> x=(7/2)*[(8+59*3)/3]/[(8/3)+(7/2)] --->. x=[(7/2)*(8+177)/3]/[(2*8)+(3*7)]/(3*2) ---> x=[(7/2)*(185)/3]/[(16+21)/6] ---> x=[(7*185)/2*3]/(37/6) ---> x=(1.295/6)/(37/6) ---> x=(1.295*6)/(37*6) ---> x=1295/37 ---> x=35 (5)
Αντικαθιστούμε στη (3) τα (δ, και x) με τις αντίστοιχες τιμές κι’ έχουμε:
y=δ-x ---> y=59-35 ---> y=24 (6)
Επαλήθευση:
x+y =δ ---> 35+24=59
(x/α)-(y/β)=γ ---> [35/(7/2)]-[24/(8/3)]=1 ---> [(35*2)/7]-[(24*3)/8]=1 ---> (70/7)-(72)/8=1 ---> 10-9=1 ο.ε.δ.