Η Χοροεσπερίδα

Ο αριθμός των ατόμων που χόρεψαν σε μία χοροεσπερίδα με περιττό πλήθος ατόμων, είναι άρτιος ή περιττός αριθμός; (Κατ.34/Νο.761)
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/blog-post_8779.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω Α ο αριθμός όλων των χορών, που χόρεψαν όλοι. Έστω ν οι χορευτές και {α1,α2,α3,...,αν} οι χοροί των ν χορευτών. α)Το Α είναι άρτιος αριθμός, καθώς σε κάθε χορό συμμετέχουν 2 χορευτές. β)α1+α2+α3+..+αν=Α(=άρτιος αριθμός). Επειδή οι α1,α2,α3,...,αν είναι όλοι περιττοί αριθμοί, για να έχουν άρτιο άθροισμα πρέπει το πλήθος τους να είναι άρτιο, άρα ν (=πλήθος χορευτών) άρτιος αριθμός.