Η Ώρα

Κάποιος έφυγε από το σπίτι του το απόγευμα μεταξύ 16:00-17:00 και επέστρεψε στο διάστημα 17:00-18:00 διαπιστώνοντας ότι ο λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης άλλαξαν ακριβώς θέση. Τι ώρα ήταν όταν βγήκε έξω; (Κατ.34/Νο.637)

Πηγή: India Mathematical Olympiad 1986

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/08/blog-post_1579.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Εάν «Χ» και «Υ» οι ενδείξεις των δεικτών μετά τις 17 ώρες(ή 25 λεπτά) και 16 ώρες(ή 20 λεπτά) αντίστοιχα τότε: Υ= (25+Χ)/12 (1) και Χ = (20+Υ)/12 (2) Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε: Χ = (20+Υ)/12 --> 12Χ=20+Y --> 12X=20+(25+X)/12 --> 12*12X=20*12+25+X --> 144X=240+25+X --> 144X-X=265 --> 143X=265 --> X=265/143 (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε: Υ= (25+Χ)/12 --> 12Y=25+X --> 12Y=25+265/143 --> 143*12Y=25*143+265 --> 1.716Y= 3.575+265 --> 1.716Y= 3.840 --> Y=3.840/1.716 Απλοποιούμε τους όρους του κλάσματος με το 12 κι’ έχουμε: Y=3.840/1.716 --> Y=320/143 (4) Οι ζητούμενες ώρες είναι: 17 ώρες και 320/143 λεπτά η μία ένδειξη. 16 ώρες και 265/143 λεπτά η άλλη ένδειξη. ήτοι: 17:22:14 και 2.66/10 του δευτερολέπτου. 16:26:51 και 1.19/10 του δευτερολέπτου. Λύση του Cardani mediolanensis. Είμαι σίγουρος πως εκείνος ο ασχημομούρης ο Φοντάνα δεν θα το έλυνε! Σε οποιαδήποτε ώρα ,έστω x , με x της μορφής π.χ xω,λω (π.χ 4,5 σημαίνει 4:30') ο ωροδείκτης σχηματίζει άνγκολο= 2π*x/12 και ο λεπτοδείκτης σχηματίζει γωνία 2π*(λω) Ο λεπτοδείκτης είναι 12 φορές ταχύτερος από τον ωροδείκτη,γαρ. Αν συμβολίσουμε με κ1 το κλασματικό μέρος της ώρας που έφυγε και με κ2 το αντίστοιχο της ώρας που επέστρεψε ,δηλαδή κ1,κ2 από 0 έως 1,ισχύει: Ωρα αναχώρησης=4+κ1 Ωρα άφιξης= 5+κ2 Αρα έχουμε: (4+k1)/12=k2 kai (5+k2)/12=k1 ή 12κ2-κ1=4 12κ1-κ2=5 Συστέμα με σολουτσιόνι: k1=64/143 και κ2=53/143 Άρα η ώρα που βγήκε εξω ήταν 4+64/143 της ώρας=4 και 26 και 51 και κάτι δευτερόλεπτα. η ώρα που επέστρεψε ήταν= 5+53/143 της ώρας=5 και 22 και 14 και κάτι δευτερόλεπτα)