Ο Κωδικός Αριθμός

Ένας φυλακισμένος βρίσκεται στο κελί του.  Ο μόνος τρόπος να ελευθερωθεί  είναι να  ακολουθήσει τις οδηγίες που βλέπει στον τοίχο για να βρει τον κωδικό που ανοίγει την πόρτα. Έχει όμως μόνο μία προσπάθεια να το επιτύχει αυτό, διαφορετικά η πόρτα θα σφραγίσει για πάντα. Κοιτάζει στον τοίχο και διαβάζει τα παρακάτω:

ΟΔΗΓΙΕΣ

«Στο διπλανό δωμάτιο υπάρχει μια ζυγαριά με δύο τάσια. Πάνω στο ένα τάσι της υπάρχει ένα  σφραγισμένο σακί που περιέχει έναν άγνωστο αριθμό από βόλους, οι οποίοι ζυγίζουν όλοι τον ίδιο ακέραιο αριθμό γραμμαρίων. Αν ήξερες το συνολικό βάρος των βόλων θα μπορούσες να υπολογίσεις πόσοι βόλοι είναι. Ο αριθμός των βόλων είναι ιδιαίτερα σημαντικός για σένα γιατί είναι ο ίδιος με τον κωδικό που ανοίγει την 
πόρτα. Δίπλα σου υπάρχουν κάποια βαρίδια, τα οποία ζυγίζουν όλα τον ίδιο ακέραιο αριθμό γραμμαρίων και το συνολικό τους βάρος είναι 4κιλά. Αν σου επιτρεπόταν να κάνεις δοκιμές με αυτά τα βαρίδια πάνω στη ζυγαριά, θα κατάφερνες τελικά να βρεις με σιγουριά το συνολικό βάρος των βόλων χωρίς να ανοίξεις το σακί. Θεώρησε το βάρος του σακιού αμελητέο.»

Ο φυλακισμένος  κοίταξε τα βαρίδια και μετά από λίγη σκέψη ήταν απόλυτα σίγουρος πως γνώριζε τον κωδικό που ανοίγει την πόρτα. Ποιος ήταν αυτός ο κωδικός; (Κατ.4/Νο.50)
Πηγή:http://grifigr.blogspot.gr/2010/11/blog-post_5260.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Yποθέτωντας πως ο κωδικός είναι τουλάχιστον 2-ψήφιος, για να μπορεί να τον βρεί μόνο από το συνολικό βάρος του σακιού, δηλαδή το γινόμενο, πρέπει αυτό να παραγοντοποιείται μοναδικά σαν γινόμενο δύο ή ενός μόνο διακριτών πρώτων. Όλοι οι άρτιοι διαιρέτες του 4000γρ. δίνουν πολλαπλότητα επιλογών στην ανάλυσή τους σε γινόμενο πρώτων. Μοναδικός αριθμός που ικανοποιεί τη συνθήκη της μοναδικότητας που χρειαζόμαστε είναι το 125=5^3=5*25 Αρα τα βαράκια μας είναι είτε 125άρια ή 5άρια ή 25άρια. Σε κάθε περίπτωση το βάρος κάθε βόλου είναι 5γρ. και ο αριθμός τους 25, που είναι και ο ζητούμενος κωδικός.