Τα Λάχανα

 

Σ’ ένα τετράγωνο χωράφι έχουν φυτευθεί λάχανα, τα οποία είναι τοποθετημένα σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Προσθέτοντας άλλα 311 λαχανα το σχήμα του χωραφιού δεν μεταβάλλεται. Ποσα ήταν αρχικά τα λαχανα; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.519)

Λύση

Λύση του batman1986. Έστω κάθε πλευρά του τετράγωνου χωραφιού έχει χ λάχανα αρχικά Άρα συνολικά υπάρχουν χ*χ=χ^2 λάχανα Προσθέτοντας 311 λάχανα η μορφή του τετραγώνου διατηρείται άρα χ^2+311=ψ^2 Δηλαδή το καινούριο τετράγωνο έχει σε κάθε πλευρά του ψ λάχανα πάλι σε ίσες αποστάσεις(και στο εσωτερικό του προφανώς) Η εξίσωση γράφεται ψ^2-χ^2=311 (ψ-χ)*(ψ+χ)=311 Οι χ καi ψ είναι θετιοί ακέραιοι και ο 311 είναι πρώτος αριθμός άρα ψ-χ=1 και ψ+χ=311 Αθροίζουμε κατά μέλη 2*ψ=312 ψ=156 άρα χ=311-156=155 Οπότε τα συνολικά λάχανα αρχικά ήταν χ^2=(155)^2=24.025. Λύση του Papaveri. Αρχικά τα λάχανα ήταν 24.025. Έστω ότι αρχικά είχαμε «α» λαχανα. και «β» η απόσταση μεταξύ των δυο διαδοχικών λάχανων. Αφού το σχήμα είναι τετράγωνο, θα έχουμε ότι, αν στη μια πλευρά του τετραγώνου έχουμε «x» λαχανα και στην άλλη «ψ», οι αποστάσεις μεταξύ τους στην μια πλευρά θα είναι συνολικά (x-1)*β και στην άλλη (ψ-1)*β. Όμως αφού είναι τετράγωνο, αναγκαστικά έχουμε: (x-1)*β=(ψ-1)*β <=> x-1=ψ-1 <=> x=ψ Άρα συνολικά υπάρχουν x2 λαχανα στον κήπο. Προσθέτοντας 311 λαχανα θέλουμε να μη μεταβληθεί το σχήμα του χωραφιού και να είναι πάλι τετράγωνο... Ομοια όπως και πιο πάνω δείχνουμε ότι αρκεί x2+311= ω2, δηλαδή και ο νέος αριθμός λάχανων να είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού. Έτσι έχουμε: ω2-x2=311 <=> (ω-x)*(ω+x)=311 Όμως ο αριθμός 311 είναι πρώτος, που σημαίνει ότι στο αριστερό μέλος θα πρέπει να έχουμε αναγκαστικά: ω-x=1 (1)και ω+x=311 (2) (αφού ω+x>ω-x εκ των πραγμάτων...) Προσθέτουμε κατα μέλη την (1) και (2) κι’ έχουμε: 2ω=312 --> ω=312/2 --> ω=156 Και συνεπώς ο ζητούμενος x είναι 155 Άρα αρχικά τα λαχανα ήταν x2=1552=24.025.