Ο Τριψήφιος Αριθμός

 

Να βρεθεί ένας τριψήφιος αριθμός που ισούται με το 12πλάσιο του αθροίσματος των ψηφίων του.(Κατ.34/Πρβ. Νο.450)

Λύση

Ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 108. Έστω ο ζητούμενος τριψήφιος αριθμός
"αβγ", ο οποίος παριστάνεται ως (100α+10β+γ). Βάσει των δεδομένων της
εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
100α+10β+γ=12*(α+β+γ)-->100α+10β+γ=12α+12β+12γ -->
100α-12α+10β-12β=12γ-γ --> 88α-2β=11γ -->γ=(88α-2β)/11 (1)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Το «α» δεν μπορεί να λάβει τιμή μεγαλύτερη του «1», διότι προκύπτει ένας πενταψήφιος αριθμός. Δίνοντας στο "β" τις τιμές από το 0 έως το 9, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "α"
είναι ο αριθμός «0». Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στην (1) κι’ έχουμε:
γ=(88α-2β)/11 --> γ=[(88*1)-(2*0)]/11 -->γ=88/11 --> γ=8
Επαλήθευση:
100α+10β+γ = 12*(α+β+γ) -->[(100*1)+(10*0)+8 = 12(1+0+8) -->
100+0+8 = 12*9 --> 108 = 12*9 ο.ε,δ.