Οι Αριθμοί

Το άθροισμα δύο αριθμών με το γινόμενο τους είναι ίσον με 29.400. Να βρεθούν οι δύο αριθμοί. (Κατ.1/Νο.139)

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Ψάχνουμε 2 αριθμούς έστω : x ,y για τους οποίους ισχύει: x+y+xy=29400 (1) H (1) είναι μια διοφαντική εξίσωση φαινομενικά "ζόρικη", αλλά υπάρχει άσσος στο μανίκι (για την ακρίβεια , ένας άσσος στο αριστερό και ένας στο δεξί μανίκι:-)) που την κάνει εύκολη. Ήτοι: προσθέτουμε από έναν άσσο στα δύο μέλη κι έχουμε: x+y+xy+1=29401 Ή : (x+1)*(y+1)=29401 (2) H (2), μας λέει απλά ότι οι ποσότητες x+1 και y+1 είναι παράγοντες του 29401. Αλλά το 29401 είναι πρώτος! Αυτό σημαίνει ότι βρίσκουμε τις λύσεις στους διαιρέτες του 29401 που είναι (1,-1,29401,-29401 (αφού το πρόβλημα δεν αποκλείει τους αρνητικούς αριθμούς). Άρα: x+1=1 ,άρα x=0 , και y=29400 ή: x+1=-1 ,άρα x=-2 και y=-29402 ή: x+1=29401 άρα x=29400 και y=(29401/29401)-1 =0 ή τέλος: x+1=-29401 άρα x=-29402 και y=-2