Δευτέρα, 3 Ιουλίου 2017

Οι Δύο Έμποροι *

0σχόλια
Δύο έμποροι μεταβαίνουν μαζί στην αγορά, εκεί συναντούν έναν σαράφη που πουλούσε ένα σμαράγδι προς 10.000 χρυσά νομίσματα. Ο καθένας από τους δύο εμπόρους μέτρησε τα χρήματα που είχε. Και οι δύο διαπίστωσαν ότι τα χρήματα που είχαν δεν επαρκούσαν για την αγορά του σμαραγδιού.
Ο πρώτος λέει στο δεύτερο:
-«Δάνεισε μου το 1/5 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»
Ο δεύτερος τότε του λέει:
-«Όχι, δάνεισε μου  εσύ το 1/7 των χρημάτων σου,  οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»
Ζητείται το ποσό των χρημάτων που είχε έκαστος έμπορος στο πορτοφόλι του. (Κατ.34)
* Πρόβλημα του Νικόλαου Αρταβάσδου του Σμυρναίου, γνωστός ως Ραβδάς, από το έργο  του «Δεύτερη των  Επιστολών», που γράφτηκε το 1341.

Λύση

Ο πρώτος έμπορος είχε 8.235,29 χρυσά νομίσματα και ο δεύτερος είχε 8.823,53 χρυσά νομίσματα. Έστω «x» τα χρυσά νομίσματα του πρώτου εμπόρου και «y» τα χρυσά νομίσματα του δευτέρου εμπόρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
x+(y/5)=10,000 (1)
y+(x/7)=10.000 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
x+(y/5)=10,000 ---> 5x+y=5*10.000 ----> 5x+y=50.000 (3)
Από την (2) συνάγουμε ότι:
y+(x/7)=10.000 ---> 7y+x=7*10.000 ---> 7y+x=70.000 (4)
Από τη (4) συνάγουμε ότι:
7y+x=70.000 ----> x=70.000-7y (5)
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε:
5x+y=50.000 ---> 5*(70.000-7y)+y=50.000 ----> 350.000-35y+y=50.000 ---->
34y=350.000-50.000 ---> 34y=300.000 ----> y=300.000/34 ----> y=8.823,53 (6)
Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε:
x=70.000-7y ---> x=70.000-7*8.823,53 ---> x=70.000- 61764,71 ---> x=8.235,29 (7)
Επαλήθευση:
x+(y/5)=10,000 ----> 8.235,29+(8.823,53/5)=10.000 ----> 8.235,29+1.764,71=10.000
y+(x/7)=10.000 ---> 8.823,53+(8.235,29/7)=10.000 ---> 8.823,53+1.176,47=10.000

Τρίτη, 27 Ιουνίου 2017

Η Πιθανότητα

2σχόλια
Ένας βάτραχος τρώει τρεις μύγες την ημέρα (ας το ονομάσουμε "γεύμα"). Μέχρι να συμπληρώσει το γεύμα του, η πιθανότητα να πιάσει όποια μύγα περάσει από μπροστά του είναι 50%. Μια μύγα είναι έτοιμη να κάνει το μεγάλο τόλμημα, να περάσει από μπροστά του. Ποια είναι η πιθανότητα να την γλυτώσει η μύγα, δεδομένου ότι πέντε μύγες έχουν κάνει ήδη την προσπάθεια; (Κατ.33)

Λύση

Κινδυνεύει στην περίπτωση που στις πέντε μύγες που έχουν περάσει, ο βάτραχος έχει πιάσει 0 ή 1 ή 2 μύγες. Η πιθανότητα αθροιστικά για τα τρία ενδεχόμενα, από τύπο διωνυμικής κατανομής είναι:
P=P0+P1+P2=0.03125+0.15625+0.3125=0.5
Η πιθανότητα να πιαστεί είναι 0.5∗0.5=0.25
Η πιθανότητα να γλυτώσει είναι 1−0.25=0.75
Και ένας “μπακαλίστικος” τρόπος!
Στις πέντε μύγες που έχουν προσπαθήσει, πιθανοτική μαθηματική ελπίδα - έχουν πιαστεί:
5∗0.5=2,5 μύγες.
Άρα το ρίσκο της έκτης μύγας είναι (3−2.5)∗0.5=0.25.
Επομένως γλυτώνει με πιθανότητα:
1−0.25=0.75.

Τρίτη, 16 Μαΐου 2017

Ο Βαθμός

0σχόλια
Σε ένα διαγωνισμό πήραν μέρος 9 άτομα. Όλοι εκτός από 5, πήραν βαθμό 5. Όλοι εκτός από 6, πήραν βαθμό 6. Οι υπόλοιποι πήραν βαθμό 7. Πόσα ήταν τα άτομα που πήραν βαθμό 7; (Κατ.34)

Λύση

Βαθμό 5 πήραν: 9-5=4 μαθητές
Βαθμό 6 πήραν: 9-6=3 μαθητές
Άρα βαθμό 7 πήραν: 9-7=2 μαθητές]

Κυριακή, 7 Μαΐου 2017

Η Τιμή

0σχόλια
Μια παρέα, που αποτελείται από «n» άτομα, παίζει ένα επιτραπέζιο παιγνίδι με τους εξής κανόνες:
(α)Σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα.
(β)Το παιγνίδι ολοκληρώνεται μετά από «n» γύρους.
(γ)Κάθε δυάδα παικτών έχει παίξει μαζί τουλάχιστον ένα γύρο.
Να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του «n».(Κατ.5) 
34η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο Αρχιμήδης», 2017
 Θέμα Νο.4:https://drive.google.com/file/d/0B1wl0ZTW2zvOODk1UmlXOU5XVms/view

Λύση

Αφού σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα, το πλήθος των δυάδων σε κάθε γύρο είναι C(3,2)=(1*2*3)/1*2=3. Επομένως όταν το παιγνίδι ολοκληρωθεί μετά από «n» γύρους θα έχουν παίξει μαζί «3n» δυάδες ατόμων. Για να ικανοποιείται η συνθήκη «γ», της εκφωνήσεως του προβλήματος, δηλαδή, να έχουν παίξει όλες οι δυάδες παικτών μαζί ένα γύρο, πρέπει το «3n» να είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το συνολικό πλήθος των δυάδων, που είναι C(n,2). Δηλαδή, πρέπει να είναι:
C(n,2) μικρότερο ή ίσο με 3n <=> [n*(n-1)]/2 μικρότερο ή ίσο με 3n <=> (n-1)/2≤3 <=> n μικρότερο ή ίσο με 7
Στη συνέχεια θ’ αποδείξουμε ότι η τιμή n=7 είναι η μεγαλύτερη δυνατή, αφού ικανοποιεί τους κανόνες του προβλήματος. Πράγματι, για n=7 έχουμε:
C(n,2) ---> C(7,2)=7!/(2!*5!)=(1*2*3*4*5*6*7)/(1*2*1*2*3*4*5)=(6*7)/(1*2) ---> 42/2=21=3*7
Εάν υποθέσουμε ότι τα επτά μέλη της παρέας είναι οι: Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, και Η, τότε είναι δυνατόν να ορίσουμε επτά τριάδες που θα παίξουν στους επτά γύρους που πρέπει να πραγματοποιηθούν, έτσι ώστε όλα τα μέλη της παρέας ανά δύο να έχουν παίξει ένα παιγνίδι σ’ ένα τουλάχιστον γύρο, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη του προβλήματος. Μια λύση δίνουν οι κατωτέρω τριάδες:
(Α,Β,Γ), (Α,Δ,Ε), (Α,Ζ,Η), (Β,Δ,Η), (Β,Ε,Ζ), (Γ,Δ,Ζ), και (Γ,Ε,Η) ο. ε. δ.

Σάββατο, 6 Μαΐου 2017

Οι Τιμές

2σχόλια
Οι αριθμοί 2.015 και 757 διαιρούμενοι με το θετικό αριθμό «x» δίνουν και οι δύο υπόλοιπο 17. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του «x»; (Κατ.34)

Λύση

Λύση του Voulagx.
Οι δυνατές τιμές του «x» είναι 37 και 74.
2015=χ*κ+17 =>2015-17=χ*κ =>χ*κ=1998=2*(3^3)*37=(2*37)*(3^3)=74*(3^3)(1)
757=χ*λ+17 =>757-17=χ*λ =>χ*λ=740=2*2*5*37=(2*37)*2*5=74*2*5(2)
Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε:
2015-757=χ*(κ-λ) =>χ*(κ-λ)=1258=(2*37)*17=74*17 (3)
Από τις (1),(2) και (3) προκύπτει ότι κοινοί διαιρέτες, μεγαλύτεροι του 17, των αριθμών 1998,740 και 1258 είναι οι 37 και 74, άρα χΕ{37,74}.
Λύση του Θεματοδότη.
Οι δυνατές τιμές του «x» είναι 37 και 74. Σύμφωνα με τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης Δ=δ*π+υ έχουμε τις εξής δύο εξισώσεις:
x*π1+17=2.015 ---> x*π1=1.998(1)
x*π2+17=757 ---> x*π2=740 (2)
Επειδή το «x» είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών 1.998 και 740 έχουμε:
1998=2*(3^3)*37=(2*37)*(3^3)=74*(3^3)(1)
740=2*2*5*37=(2*37)*2*5=74*2*5 (2)
Άρα 1.998=2*3^3*37 και 740=2^2*5*37
Οι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 1.998 και 740 είναι οι: 1, 2, 37, 74
Επειδή το υπόλοιπο είναι μικρότερο του διαιρέτη ("υ" μικρότερο του "x"),θα πρέπει ο διαιρέτης να είναι μεγαλύτερος του 17 ("χ" μεγαλύτερος του 17)
Άρα ο διαιρέτης ισούται με x=37 ή 74.

Οι Ηλικίες

2σχόλια
Οι μαθητές μιας τάξης σε κάποιο σχολείο ρώτησαν τον καθηγητή τους:
-«Κύριε καθηγητά,  πόσων ετών είστε και ποια είναι η ηλικία των παιδιών σας;»
Ο καθηγητής δεν έχασε την ευκαιρία, για να τους προβληματίσει, τους είπε:
-«Εάν πολλαπλασιάστε την ηλικία που είχα πριν 5 χρόνια με την ηλικία που θα έχω μετά από 5 χρόνια, το γινόμενο ισούται με 1.200. Όσον αφορά την ηλικία των δύο παιδιών μου, αυτά είναι δίδυμα. Εάν πολλαπλασιάστε ή προσθέσετε τις ηλικίες τους θα βρείτε τον ίδιο αριθμό.» (Κατ.34)
Πηγή:Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.9, σελ.102, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Λύση

Η ηλικία του καθηγητή είναι 35 ετών και των παιδιών του 2 ετών το καθ’ ένα αφού είναι δίδυμα. Έστω «α» η ηλικία του καθηγητή, Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
α)Για την ηλικία του καθηγητή:
(α-5)*(α+5)=1.200 (1)
α^2-5α+5α-25=1.200 ---> α^2=1.200+25 ---> α^2=1.225
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:
α^2=1.225 ---> ---> α=35 (2)
Επαλήθευση:
(α-5)*(α+5)=1.200 ---> (35-5)*(35+5)=1.200 ---> 30*40=1.200 - ο.ε.δ.
β)Για την ηλικία των παιδιών του:
Έστω «β» η ηλικία έκαστου παιδιού και «ω» η εμφάνιση του ίδιου αριθμού της ηλικίας λόγω του ότι είναι δίδυμοι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
ω=β*β (1)
ω=β+β (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
ω=β*β ---> ω=β^2 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
ω=β+β ---> β^2=2β ---> (β^2)/β=2 ---> β=2 (4)
Επαλήθευση:
ω=β*β ---> ω=2*2 ---> ω=4
ω=β+β ---> ω=2+2 ---> ω=4 - ο.ε.δ.

Παρασκευή, 5 Μαΐου 2017

Οι Αριθμοί των Σελίδων

2σχόλια
Ο καθηγητής των μαθηματικών πρότεινε στους μαθητές του να λύσουν ορισμένες ασκήσεις για να εμπεδώσουν την ενότητα που διδάχθηκαν.
Οι μαθητές ρώτησαν τον καθηγητή:
-«Σε ποια σελίδα του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;»
Ο καθηγητής τους απάντησε:
-«Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες που το γινόμενο των αριθμών των δύο
αντικριστών σελίδων ισούται με 506.»
Σε ποιες σελίδες του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;(Κατ.34)
Πηγή: Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.6, σελ.101, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Λύση

Λύση του Voulagx.
Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες 22 και 23. Οι αριθμοί των αντικριστών σελίδων είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Έστω «χ» και «χ+1» οι αριθμοί των σελίδων. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
χ*(χ+1)=506 ---> χ^2+χ-506=0 (1)
χ=(-1+sqrt(1+4*506))/2, αρνητική ρίζα, οπότε απορρίπτεται.
χ=(-1+sqrt(1+2024))/2=(-1+sqrt(2025))/2=(-1+sqrt(81*25))/2
χ=(-1+9*5)/2=(-1+45)/2=44/2=22.
Λύση του Θεματοδότη.
Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες 22 και 23 του βιβλίου των μαθηματικών. Έστω «α» ο ένας αριθμός της σελίδας και (α+1) ο άλλος αριθμός της σελίδας. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
α*(α+1)=506 ---> α^2+α=506 ---> α^2+α-506=0 (1)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
x=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α ---> x=[-1±sqrt[(1)^2-4*1*(-506)]/2*1 --->
x=[-1±sqrt[1+2.024]/2 ---> x=[-1±sqrt[2.025]/2 ---> x= (-1±45)/2
x1= (-1+45)/2 ---> x1=44/2 ---> x1=22
x2= (-1-45)/2 ---> x2= -46/2 ---> x2= -23 αρνητική ρίζα, οπότε απορρίπτεται.
Δεκτή μόνο η ρίζα «x1».
Αντικαθιστούμε την τιμή του «x1» στην (1) κι’ έχουμε:
α*(α+1)=506 ---> 22*(22+1)=506 ---> 22*23=506 ο.ε.δ.
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes