Κυριακή, 9 Δεκεμβρίου 2018

Το Μερίδιο ΙΙ

0σχόλια
 Τρεις έμποροι, ο Piero, ο  Polo, και ο  Zuanne,  επένδυσαν τα χρήματά τους σε μια εταιρεία, Ο Piero κατέθεσε 112 δουκάτα, ο Polo κατέθεσε 200 δουκάτα και ο Zuanne κατέθεσε 142 δουκάτα. Στο τέλος μιας ορισμένης περιόδου διαπίστωσαν ότι είχαν κερδίσει 563 δουκάτα. Απαιτείται να γνωρίζουμε τι μερίδιο αναλογεί σε κάθε έμπορο, ώστε κανείς να μην αδικηθεί.
Επεξήγηση:
Ένα δουκάτο ισούται με 24 grossi
Πηγή:?

Λύση

Κείμενο που θα κρύβεται.

Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2018

Ανάρρωση

0σχόλια
Αγαπητοί Λύτες,
Μετά από απουσία 35 ημερών επέστρεψα στην οικία μου. Η επέμβαση είχε αίσιο τέλος και βρίσκομαι πλέον στην ανάρρωση.
Από αύριο θα βρίσκομαι ενεργός στις αναρτήσεις των γρίφων.
Ευχαριστώ όλους σε όσους μου ευχήθηκαν καλή επιτυχία!
Φιλικά,
Carlo de Grandi

Δευτέρα, 22 Οκτωβρίου 2018

Επέμβαση

4σχόλια
Αγαπητοί Λύτες,
Επιτακτική ανάγκη με αναγκάζει να λείψω 
ένα διάστημα από τις αναρτήσεις γρίφων 
προς επίλυση.Πρόκειται να χειρουργηθώ 
στο αριστερό ισχίο. Ελπίζω με τη βοήθεια 
του Θεού να πάνε όλα κατ’ ευχήν και να 
έχω αίσιο τέλος σ' αυτή τη δοκιμασία!!
Φιλικά,
Carlo de Grandi

Το Μερίδιο

0σχόλια
Δύο έμποροι, ο Sebastiano και ο Jacomo, ιδρύουν μια εταιρεία.
Ο Sebastiano κατέθεσε 350 δουκάτα την πρώτη Ιανουαρίου του 1472.
Ο Jacomo κατέθεσε 500 δουκάτα, και 14 grossi την πρώτη Ιουλίου του 1472.
Την πρώτη ημέρα του Ιανουαρίου του 1474 διαπιστώνουν ότι έχουν κερδίσει
622 δουκάτα. 
Απαιτείται το μερίδιο του καθενός.
Επεξήγηση:
Ένα δουκάτο ισούται με 24 grossi.
Πηγή
Από το εγχειρίδιο που περιέχει εμπορικά μαθηματικά γραμμένο στην λαϊκή καθομιλουμένη Βενετσιάνικη γλώσσα της εποχής εκείνης με τίτλο «Treviso Arithmetic»,
που εκδόθηκε στο Treviso το 1478, Σε μερικούς καταλόγους βιβλίων αναφέρεται ως «Arte dell’ Abbaco (Art of Calculation)». Μια πλήρη μετάφραση και ανάλυση του «Treviso Arithmetic» μπορείτε να βρείτε στο βιβλίο του Frank Swetz, Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th Century (La Salle, IL: Open Court, 1987). 
Περισσότερες πληροφορίες για το «Treviso Arithmetic»  βλέπε εδώ:  

Λύση

Μετατρέπουμε όλα τα δουκάτα σε grossi:
Sebastiano: 350*24= 8.400grossi
Jacomo: 500*24=.....12,000grossi
Jacomo:...........................14grossi
Σύνολο:...................20.414grossi
Βρίσκουμε το σύνολο της επένδυσης για τον καθένα μέσα στα δύο χρόνια:
Sebastiano:24μήνες*8.400=201.600grossi
Jacomo:18μήνες*12.014=..216.252grossi
Σύνολο:................................417.852grossi
Μετατρέπουμε τα 622 δουκάτα σε grossi:
622*24=14.928grossi
(α)Το μερίδιο από τα κέρδη για τον Sebastiano
Κατάταξη:
Εάν στα 417.852 grossi κέρδισε 14.928 grossi
Στα 201.600 grossi τι μερίδιο «x;» πρέπει να πάρει;
x=(201.600*14.928)/417.852 ----> x= 3.009.484.800 /417.852 ----> x=7.202,27grossi ή x=7.202,27/24=300,09δουκάτα
Μετατρέπουμε τα 0,09 δουκάτα σε grossi
0,09*24=2,16grossi
(β)Το μερίδιο από τα κέρδη για τον Jacomo
Κατάταξη:
Εάν στα 417.852 grossi κέρδισε 14.928 grossi
Στα 216.252 grossi τι μερίδιο «x;» πρέπει να πάρει;
x=(216.252*14.928)/417.852 ----> x= 3.228.209.856 /417.852 ----> x=7.725,73grossi ή x=7.725,73/24=321,91δουκάτα
Μετατρέπουμε τα 0,91 σε grossi:
0,91*24= 21,84grossi
Άρα το μερίδιο του καθενός είναι:
Sebastiano:300δουκάτα και 2,16grossi
Jacomo:.....321δουκάτα και 21,84grossi
Σύνολο:......621δουκάτα και 24,00grossi=621+1=622δουκάτα

Παρασκευή, 19 Οκτωβρίου 2018

Η Επέκταση

3σχόλια

O Πίτερ Μινούιτ δίνει εμπορεύματα στους Ινδιάνους για να εγκαταλείψουν το Μανχάταν, 1624.
Ο Ολλανδός εξερευνητής Peter Minuit (1580/1585 - 1638) «αγόρασε» το νησί Μανχάταν, το 1624, από μία ομάδα ιθαγενών Αμερικανών για μερικές χάντρες και ψευτοκοσμήματα αξίας $24. Φαίνεται ότι αυτή ήταν μια από τις καλύτερες συμφωνίες στην ιστορία. Ας υποθέσουμε όμως, ότι οι ιθαγενείς Αμερικανοί είχαν επενδύσει αυτό το ποσό με επιτόκιο 8% . Τι θα προτιμούσατε να έχετε:
Το Μανχάταν με τα κτήρια του, ή τα χρήματα της επένδυσης των $24;

Λύση

Φυσικά τα χρήματα που επενδύσανε οι ιθαγενείς. Βάσει του τύπου του ανατοκισμού:
Α = p*(1+(r/n))^n*t
Α = Η συνολική αξία της επένδυσης.
p = Το ποσό της επένδυσης (24$)
t = Ο συνολικός χρόνος της επένδυσης (2018-1624=394 έτη)
r = Το επιτόκιο (8%)
n = ο αριθμός των φόρων που το κεφάλαιο ανατοκίζεται.
η συνολική αξία της επένδυσης ανέρχεται σε περίπου 354.200.000.000.000$, ποσό με το οποίο αρκεί να αγοραστεί το Μανχάταν και τα κτήρια του.

Πέμπτη, 18 Οκτωβρίου 2018

Τα Νομίσματα

5σχόλια
Κάποιος πήγε στην αγορά τρεις φορές.
(α)Τη πρώτη φορά, έφερε πίσω τα διπλάσια χρυσά νομίσματα  απ’ όσα είχε πάρει μαζί του.
(β)Τη δεύτερη φορά, πήρε μαζί του το διπλό ποσό του και επέστρεψε με το ίδιο
ποσό συν την τετραγωνική ρίζα του ποσού αυτού επαυξημένου κατά δύο χρυσά νομίσματα
(γ)Όλα αυτά τα διατήρησε  και επέστρεψε στην αγορά με αυτά για τρίτη
φορά και επέστρεψε με το τετράγωνο από αυτά που πήρε μαζί του και 4
επιπλέον χρυσά νομίσματα. Επέστρεψε από την αγορά με επί πλέον 310 χρυσά νομίσματα
Πόσα χρυσά νομίσματα είχε πάρει μαζί του τη πρώτη φορά;
Πηγή:
Από το βιβλίο του Ιταλού γιατρού Girolamo Cardano (1501-1576) με τίτλο
«Artis Magnæ», 1545.

Λύση

Τη πρώτη φορά είχε πάρει μαζί του 7 χρυσά νομίσματα. Έστω «x» τα χρυσά νομίσματα που είχε πάρει μαζί του την πρώτη φορά που πήγε στην αγορά. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
(2x+sqrt(2x+2))^2+4-(2x+sqrt(2x+2))=310 (1)
Θέτουμε «ω», όπου 2x+sqrt(2x+2) και έχουμε:
2x+sqrt(2x+2) = ω (2)
Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε:
ω^2+4-ω=310 ----> ω^2-ω+4-310=0 -----> ω^2-ω-306=0 (3)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
ω={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> ω=(1±sqrt[(1^2)-4*1*(-306]/2*1 ---->
ω=(1±sqrt[1+1.224]/2 ----> ω=(1±sqrt[1.225]/2 ----> ω=(1±35)/2
ω1= (1+35)/2 ----> ω1=36/2 ----> ω1=18 Αποδεκτή. (4)
ω2=(1-35)/2 ----> ω2= -34/2 ----> ω2= -17 Μη Αποδεκτή (5)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:
2x+sqrt(2x+2) = ω ----> 2x+sqrt(2x+2) = 18 ----> sqrt(2x+2)=18-2x
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο κι’ έχουμε:
sqrt(2x+2)=18-2x ----> (sqrt(2x+2))^2=(18-2x)^2 ----> 2x+2=18^2-2*2*18x+2^2x^2 ---->
2x+2=324-72x+4x^2 -----> 4x^2-72x-2x+324-2=0 ----> 4x^2-74x+322=0 (6)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> x=(74±sqrt[(-74^2)-4*4*322]/2*4 ---->
x=(74±sqrt[5.476-5.152]/8 ----> x=(74±sqrt[324]/8 ----> x=(74±18)/8
x1= (74+18)/8 ----> x1=92/8 ----> x1=11,50 Μη Αποδεκτή. (7)
x2=(74-18)/8 ----> x2= 56/8 ----> x2= 7 Αποδεκτή (8)
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (2) κι’ έχουμε:
2x+sqrt(2x+2) = ω ----> 2x+sqrt(2x+2) = -17 ----> sqrt(2x+2) = -17- 2x
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο κι’ έχουμε:
sqrt(2x+2) = -17- 2x ----> (sqrt(2x+2))^2 = (-17- 2x)^2, αδύνατη διακρίνουσα αρνητική
Επαλήθευση:
(2x+sqrt(2x+2))^2+4-(2x+sqrt(2x+2))=310
[2*7+[sqrt[(2*7)+2]]^2+4-[2*7+sqrt[(2*7)+2]]=310
[14+sqrt(14+2)]^2+4-[14+sqrt(14+2)]=310
(14+sqrt(16)]^2+4-[14+sqrt(16)]=310 ----> (14+4)^2+4-(14+4)=310
18^2+4-18=310 ----> 324+4-18=310 ----> 328-18=310 ο.ε.δ.

Τετάρτη, 17 Οκτωβρίου 2018

Ο Αριθμός

2σχόλια
Έναν αριθμό, τον οποίο έχω ξεχάσει, τον διαίρεσα σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος
το έχω επίσης ξεχάσει, Αλλά το δεύτερο μέρος  ήταν ο αριθμός 4 και θυμάμαι
πως εάν το μέρος που έχω ξεχάσει πολλαπλασιαζόταν με τον εαυτό του και
επίσης με το 4, αυτοί οι δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 117. Θα ήθελα να ξέρω
ποιος ήταν ο αρχικός αριθμός και ποιο ήταν το πρώτο μέρος του που ξέχασα.
Πηγή:
Από το βιβλίο του Ουαλού μαθηματικού Robert Record (1510-1558) με τίτλο:
«The Whetstone of Witte – Το Ακονιστήρι της Εξυπνάδας ή Για ν’ Ακονίζετε το Μυαλό σας.», 1557

Λύση

Ο αρχικός αριθμός ήταν το 13 και το πρώτο μέρος του που ξέχασα ήταν ο αριθμός 9. Έστω «α» ο αρχικός αριθμός και «x» το πρωτο μέρος που ξέχασα μετά από την διαίρεση του αρχικού αριθμού σε δύο μέρη. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχου τις εξής εξισώσεις:
α=x+4 (1)
x^2+4x=117 ----> x^2+4x-117=0 (2)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> x=(-4±sqrt[(4^2)-4*1*(-117)]/2*1 ---->
x=(-4±sqrt[16+ 468]/2 ----> x=(-4±sqrt[484]/2 ----> x=(-4±22)/2 ---->
x1= (-4+22)/2 ----> x1=18/2 ----> x1=9 Αποδεκτή. (3)
x2=(-4-22)/2 ----> x2=(-26)/2 ----> x2= -13 Απορρίπτεται.
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α=x+4 ----> α=9+4=13
Επαλήθευση:
x^2+4x=117 ----> 9^2+4*9=117 ----> 81+36=117 ο.ε.δ.
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes