Δευτέρα, 11 Ιουνίου 2018

Ο Αριθμός

0σχόλια
Εάν αρχίσεις μ’ έναν αριθμό, μετά αφαιρέσεις το ένα τρίτο του, μετά το ένα τέταρτο του, μετά το ένα πέμπτο του και μετά το 4 κι’ εάν μετά πολλαπλασιάσεις το αποτέλεσμα με τον εαυτό του, παίρνεις 12  παραπάνω από τον αρχικό αριθμό. Βρες το αριθμό.
Πηγή: Από το βιβλίο του Άραβα μαθηματικού Abu-Abdullah Mohammed ibn Musa Al-Khwarizmi (790-850μ.Χ.) με τίτλο: «Hisab al - jabr w ’ al - muqabala», 825μ.Χ.. (34 προβλήματα).

Λύση

Κείμενο που θα κρύβεται.

Σάββατο, 2 Ιουνίου 2018

Οι Γάτες και οι Σκύλοι

2σχόλια
Ο κ. Γιώργος έχει στη φάρμα του αρκετά κατοικίδια ζώα μεταξύ των οποίων γάτες και σκύλους. Οι γάτες είναι περισσότερες από τους σκύλους. Το πρώτο βράδυ ένας μάγος μετεμόρφωσε μια γάτα σε σκύλο και έτσι την επόμενη ημέρα ο αριθμός των γάτων ήταν ίδιος με τον αριθμό των σκύλων. Το δεύτερο βράδυ ο μάγος μετεμόρφωσε ένα σκύλο σε γάτα και η αναλογία των ζώων επανήλθε στην αρχικά κατάσταση. Το τρίτο βράδυ ο μάγος μετεμόρφωσε ένα ακόμη σκύλο σε γάτα και τότε οι γάτες έγιναν διπλάσιες από τους σκύλους.Πόσες γάτες και πόσους σκύλους είχε αρχικά ο κ. Γιώργος στη φάρμα του;
Πηγή:1ος Προκριματικός γύρος του Διαγωνισμού ACALC

Λύση

Αρχικά ο κ. Γιώργος είχε στη φάρμα του 7 γάτες, και 5 σκύλους. Έστω «Γ» οι γάτες και «Σ» οι σκύλοι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
Γ-1=Σ+1 (1)
Γ+1=2*(Σ-1) (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
Γ-1=Σ+1 ----> Γ=Σ+1+1 -----> Γ=Σ+2 (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
Γ+1=2*(Σ-1) ----> Γ=2*(Σ-1)-1 ----> Γ=2Σ-2-1 -----> Γ=2Σ-3 (4)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (4) κι’ έχουμε:
Γ=2Σ-3 ----> Σ+2=2Σ-3 -----> 2Σ-Σ=2+3 ----> Σ=5 (5)
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (2) κι’ έχουμε:
Γ=Σ+2 ----> Γ=5+2 ----> Γ=7(6)
Επαλήθευση:
Γ-1=Σ+1 ----> 7-1=5+1 ----> 7-1=6
Γ+1=2*(Σ-1) 7+1=2*(5-1) ----> 7+1=2*4 ----> 7+1=8 ο.ε.δ.

Πέμπτη, 31 Μαΐου 2018

Οι Στρατιώτες

2σχόλια
Κατά την διάρκεια των διάσημων πολέμων μεταξύ των Αρμενίων και των Περσών, ο πρίγκιπας Zaurak Kamsarakan έκανε αξιοθαύμαστες ηρωϊκές πράξεις. Επιτέθηκε στα Περσικά στρατεύματα τρις φορές σ’ ένα μήνα.
Την πρώτη φορά κατέρριψε το μισό Περσικό στρατό.
Τη δεύτερη φορά, καταδιώκοντας τους Πέρσες, κατέρριψε το ένα τέταρτο του αρχικού πληθυσμού των στρατιωτών.
Τη τρίτη φορά κατέρριψε το ένα ενδέκατο του αρχικού Περσικού στρατού.
Οι Πέρσες στρατιώτες που απέμειναν, οι οποίοι ήταν 280, τράπηκαν σε φυγή προς την Nakhichevan. Από αυτό το υπόλοιπο, να βρείτε από πόσους στρατιώτες αποτελείτο το στράτευμα των Περσών πριν νικηθεί κατά κράτος.
Από το βιβλίο «Προβλήματα και λύσεις του Vardapet Anania του Shirak» του 7ου μ.Χ. αιώνα. Είναι μια συλλογή 24 προβλημάτων.

Λύση

Ο αρχικός Περσικός στρατός αποτελείτο από 1.760 στρατιώτες. Έστω «x» οι στρατιώτες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
(x/2)+(x/4)+)x/11)+280=x (1)
(x/2)+(x/4)+)x/11)+280=x ----> 22x+11x+4x+280*44=44x ---->
44x-37x=12.320 ----> 7x=12.320 ----> x=12.320/7 -----> x=1.760 (2)
Επαλήθευση:
(x/2)+(x/4)+)x/11)+280=x ---->
(1.760/2)+(1.760/4)+(1.760/11)+280=1.760 ---> 880+440+160+280=1.760 ο.ε.δ.

Τετάρτη, 30 Μαΐου 2018

Οι Ημέρες

2σχόλια
Κατά τη διάρκεια της διάσημης εξέγερσης των Αρμενίων εναντίον των Περσών, όταν ο πρίγκιπας Zaurak Kamsarakan σκότωσε τον Saurem, ένας από τους Αρμένιους αξιωματικούς έστειλε έναν απεσταλμένο στον Πέρση βασιλιά για να του ανακοινώσει τα οδυνηρά νέα. Ο απεσταλμένος ταξίδευε 50μίλια την ημέρα. Δεκαπέντε ημέρες αργότερα, όταν το έμαθε αυτό ο Zaurak,έστειλε καβαλάρηδες για να καταδιώξουν και να φέρουν πίσω τον απεσταλμένο. Οι καβαλάρηδες ταξίδευαν 80μίλια την ημέρα. Πόσες ημέρες χρειάσθηκαν για να φέρουν πίσω τους απεσταλμένους;
Από το βιβλίο «Προβλήματα και λύσεις του Vardapet Anania του Shirak» του 7ου μ.Χ. αιώνα. Είναι μια συλλογή 24 προβλημάτων.

Λύση

Οι καβαλάρηδες χρειάσθηκαν 50 ημέρες (25ημέρες για να για να τον συναντήσουν και 25ημέρες η επιστροφή), για να φέρουν πίσω τον απεσταλμένο. Βάση των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Ο απεσταλμένος σε 15 ημέρες ταξιδεύοντας με 50μίλια την ημέρα κάλυψε μια διαδρομή:
15*50=750μιλίων
Η ημερήσια διαφορά των μιλίων που κάλυπταν οι καβαλάρηδες από τον απεσταλμένο ήταν:
80-50=30μίλια την ημέρα.
Άρα για να τον συναντήσουν χρειάσθηκαν:
750/30=25ημέρες.
Για να επιστρέψουν με τον απεσταλμένο χρειάστηκαν 25 ημέρες.
Συνολικά χρειάστηκαν για να πάνε και να επιστρέψουν:
25+25=50ημέρες

Πέμπτη, 24 Μαΐου 2018

Τα Δηνάρια

2σχόλια
Ένας μανάβης αγόρασε ένα συγκεκριμένο ποσό μήλων και πλήρωσε για κάθε 7 μήλα 1 δηνάριο. Την επόμενη ημέρα πούλησε όλα τα μήλα  που αγόρασε τη προηγούμενη ημέρα 1 δηνάριο για κάθε 5 μήλα. Το καθαρό κέρδος από τη πώληση των μήλων  ανερχόταν σε 12 δηνάρια..
(α)Πόσα μήλα αγόρασε;
(β)Πόσα δηνάρια έδωσε για την αγορά των μήλων;
Πηγή:14ο Λύκειο Περιστερίου - Askisopolis

Λύση

Αγόρασε 210 μήλα και πλήρωσε 30 δηνάρια. Έστω «x» τα μήλα που αγόρασε και που τα πούλησε. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
(x/5)-(x/7)=12 (1)
(x/5)-(x/7)=12 ----> 7x-5x=12*35 ----> 2x=420 ----> x=420/2 -----> x=210.μήλα (2)
Επειδή πλήρωσε για κάδε 7 μήλα 1 δηνάριο, για τα 210 μήλα πλήρωσε:
210/7=30 δηνάρια (3)
Πρόβλημα από το βιβλίο του Ιταλού μαθηματικού Leonardo di Pisa- Leonardo Pisano- (Fibonacci) (1170-1250), «Liber Abaci», 1202.

Τρίτη, 22 Μαΐου 2018

Ο Άγνωστος Αριθμός

4σχόλια
Να βρεθεί η τιμή του «x» στην ανωτέρω παράσταση.
Πηγή:http://www.kiosterakis.gr/plus/diaskedastika/grifoi/1637-na-vrethei-o-arithmos-x

Λύση

Η τιμή του «x» είναι 2016. Στο πρώτο μέλος εφαρμόζουμε την ταυτότητα της διαφοράς των τετραγώνων, οπότε έχουμε:
(10^2.014+25+10^2014-25)*(10^2014+25-10^2014+25)=10^x
(2*10^2014)*(25+25)=10^x
2*10^2014*50=10^x
100*10^2014=10^x
10^2*10^2014=10^x
10^2016=10^x
Άρα:
x = 2016

Κυριακή, 20 Μαΐου 2018

10σχόλια
Ένας μοναχός, εδώ και 2 μήνες (δηλαδή 60 ημέρες), έπινε κρυφά ένα ποτήρι κρασί κάθε βράδυ. Αφού έπινε ένα ποτήρι, έριχνε μέσα στο βαρέλι ένα ποτήρι νερό, ώστε να μην πέσει η στάθμη του κρασιού και τον καταλάβουν οι άλλοι μοναχοί. Την 61η ημέρα πιάνεται από τους μοναχούς επ’ αυτοφώρω πριν προλάβει να πιει άλλο ένα ποτήρι. Οι μοναχοί του ζητάνε να πληρώσει 1€ για κάθε ποτήρι κρασί που ήπιε, δηλαδή συνολικά 60€. Όμως ο ηγούμενος, ως σοφότερος από όλους, θεώρησε ότι αυτή η ποινή ήτανε άδικη και πρότεινε να πληρώσει ο μοναχός μόνο όσο κρασί ήπιε, αφού από το δεύτερο ποτήρι και μετά το κρασί ήταν νερωμένο. Εάν το κόστος ενός ποτηριού (250 ml) γεμάτο κρασί είναι 1€ και το βαρέλι περιείχε 100λίτρα κρασί, πόσα χρήματα θα πρέπει να πληρώσει ο μοναχός;

Λύση

Το βαρέλι περιείχε 100lt κρασί, (400*250=100.000ml:1.000ml(1lt=1.000ml)=100lt), δηλαδή 400 ποτήρια.
Το 1ο ποτήρι περιείχε καθαρό κρασί, 250ml.
Το 2ο ποτήρι περιείχε 1-(1/400) του ποτηριού κρασί, αφού το 1/400 είναι νερό.
Το 3ο ποτήρι περιείχε 1-(2/400) του ποτηριού κρασί, αφού τα 2/400 είναι νερό.
........................
Το 60ο ποτήρι περιείχε 1-(59/400) του ποτηριού κρασί, αφού τα 59/400 είναι νερό.
Οπότε ο μοναχός ήπιε συνολικά:
1+(1-1/400)+(1-2/400)+(1-3/400)+...+(1-59/400)=[60-(1/400)]*(1+2+3+...+59)= =[60-(1/400)]*[(1+59)/2]*59=[60-(1/400)]*(60/2)*59=[60-(1/400)]*30*59= =[60-(1.770/400)]=60-4,425=55,575
Άρα ο μοναχός πρέπει να πληρώσει ≈ 55,58€.
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes