Κυριακή, 24 Σεπτεμβρίου 2017

Τα Βιβλία

2σχόλια
Σε ένα φεστιβάλ βιβλίου μοιράστηκαν 124 παραμύθια και 93 μυθιστορήματα. Κάθε δύο παιδιά που συμμετείχαν, πήραν ίσο αριθμό παραμυθιών και ίσο αριθμό
μυθιστορημάτων. Πόσα βιβλία πήρε το κάθε παιδί;

Λύση

Υπάρχουν 31 ζεύγη παιδιών και το κάθε ζεύγος παιδιών πήρε από 4 παραμύθια και από 3 μυθιστορήματα. Έστω «α» τα ζεύγη των παιδιών, «x» τα παραμύθια και «y» τα μυθιστορήματα που παίρνει το κάθε ζεύγος παιδιών. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
x+y=124+93=217 (1)
α*(x+y)=124+93=217 (2)
Αναλύουμε τους αριθμούς 124 και 93 σε γινόμενα πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
124=2^*31=4*31 (3)
93=3*31 (4)
Ο αριθμός 31, που είναι κοινός και στα δύο γινόμενα των πρώτων παραγόντων, αντιστοιχεί στα ζεύγη των παιδιών.
Οι αριθμοί 4 και 3 αντιστοιχούν στα παραμύθια και τα μυθιστορήματα που πήρε κάθε ζεύγος παιδιών. Αντικαθιστούμε τις (3) και (4) στη (2) κι’ έχουμε:
α*(χ+ψ)=124+93=31*4+31*3=31*(4+3)

Κυριακή, 17 Σεπτεμβρίου 2017

Οι Μπάλες

4σχόλια
O Ζήνων έχει 4 κουτιά, βλέπε ανωτέρω σχήμα. Τοποθετεί στο κουτί (α) ν μπάλες. Στην συνέχεια ακολουθεί τα πιο κάτω βήματα:
  • Βάζει τις μισές μπάλες από το (α) στο (β).
  • Βάζει τις μισές μπάλες από το (β) στο (γ).
  • Βάζει τις μισές μπάλες από το (α) στο (γ).
  • Βάζει όλες τις μπάλες από το (α) στο (δ).
  • Βάζει τις μισές μπάλες από το (γ) στο (α).
Σε ποιο κουτί βρίσκονται οι περισσότερες μπάλες:

Λύση

Σε κανένα κουτί δεν υπάρχουν περισσότερες μπάλες. Τελικά όλα τα κουτιά περιέχουν το ίδιο αριθμό από μπάλες μετά την κατανομή. Όλα τα κουτιά θα περιέχουν από δύο μπάλες.
Παραδείγματος Χάριν:
Οι μπάλες που θα περιέχει το κουτί «α» πρέπει να είναι ένας άρτιος
αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 4.
Έστω ότι το κουτί «α» περιέχει 8 μπάλες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α = 8 – 4 μπάλες στο κουτί «β» = υπόλοιπο 4 μπάλες – 2 μπάλες στο κουτί «γ» = υπόλοιπο 2 μπάλες – 2 μπάλες στο κουτί «δ» = υπόλοιπο 0 + 2 μπάλες από το κουτί «γ» = 2 μπάλες.
β = 4 μπάλες από το κουτί «α» - 2 μπάλες στο κουτί «γ»= υπόλοιπο 2 μπάλες.
γ = 2 μπάλες από το κουτί «β» + 2 μπάλες από το κουτί «α» = 4 μπάλες – 2 μπάλες στο κουτί «α» = υπόλοιπο 2 μπάλες.
δ= 2 μπάλες από το κουτί «α».

Πέμπτη, 14 Σεπτεμβρίου 2017

Γιορτές Κρασιού και Πιθανότητες!

2σχόλια
Κατά τη γιορτή του κρασιού πολλοί κάτοικοι ενός χωριού έχουν συγκεντρωθεί στο χώρο της γιορτής και δοκιμάζοντας εκεί τα διάφορα κρασιά δωρεάν έχουν έρθει σε κατάσταση μέθης, ώστε να μην ξέρουν που πηγαίνουν. Με τις συνθήκες αυτές, ποια είναι η πιθανότητα κατά την επιστροφή τους να μη βρει κανείς το σπίτι του, αλλά να μπουν όλοι σε ξένα σπίτια;
Διευκρίνιση:
Υποθέτουμε ότι από κάθε σπίτι συμμετέχει ένα άτομο και όλες 
οι περιπτώσεις είναι ισοπίθανες.
Πηγή:http://thanasiskopadis.blogspot.gr/2017/09/blog-post.html

Λύση

Η πιθανότητα κατά την επιστροφή τους να μη βρει κανείς το σπίτι του, αλλά να μπουν όλοι σε ξένα σπίτια είναι περίπου 36,7%.

Όπου e= 2,71828 (μαθηματική σταθερά)

Τετάρτη, 13 Σεπτεμβρίου 2017

Τα Μίλια

2σχόλια
Δύο ταχυδρόμοι, ο Α και ο Β, απέχουν 59μίλια ο ένας από τον άλλο και ξεκινούν το πρωί το ταξίδι για να συναντηθούν. Ο Α διανύει 7μίλια μέσα σε δύο ώρες και ο Β διανύει 8 μίλια μέσα σε τρεις ώρες. Εάν ο Β ξεκινάει το ταξίδι του μία ώρα αργότερα σε σχέση με τον Α, πόσα μίλια θα έχει διανύσει ο Α μέχρι να συναντήσει τον Β;

Λύση

Ο «Α» μέχρι να συναντήσει τον «Β» θα έχει διανύσει 35μίλια. Έστω «x» τα μίλια που θα έχει διανύσει ο Α μέχρι να συναντήσει τον Β, οπότε (59 − x) είναι τα μίλια που θα διανύσει ο Β μέχρι το σημείο συνάντησης. Ο Α ταξιδεύει 7μίλια μέσα σε 2 ώρες, οπότε τα «x» μίλια θα τα διανύσει σε (2x)/7 ώρες. Ο Β ταξιδεύει 8μίλια μέσα σε 3 ώρες, οπότε τα (59−x) μίλια θα τα διανύσει σε:
[3*(59-x)/8]=(177-3x)/8 ώρες (1).
Ωστόσο ο ταχυδρόμος Β σύμφωνα με την εκφώνηση ξεκινάει μία ώρα αργότερα από τον Α, οπότε:
1+(177-3x)/8=(2x)/7 (2)
1+(177-3x)/8=(2x)/7 ---> [8*1+(177-3x)]/8=(2x)/7 ---> [8+(177-3x)]/8=(2x)/7 ---> [7*(8+177-3x)]=8*2x ---> 7*(185-3x)=8*2x ---> 1.295-21x=16x ---> 16x+21x=1.295 ---> 37x=1.295 ---> x=1.295/37 ---> x=35
∆ηλαδή, ο Α θα διανύσει 35μίλια μέχρι να συναντήσει τον Β.
Διευκρίνιση:
Από το βιβλίο του Claude -Gaspard Bachet (1581-1638) με τίτλο «Problemes plaisans et delectables qui se font par les nombres», 1612. Πρόκειται για την πρώτη συλλογή διασκεδαστικών μαθηματικών που τυπώθηκε. Τα αριθμητικά προβλήματα που περιλαμβάνει δεν είναι όλα πρωτότυπα, κάποια είναι παρμένα από προγενέστερες συλλογές όπως η Παλατινή Ανθολογία και οι συλλογές του Αλκουίνου, του Μοσχόπουλου και του Tartalia

Δευτέρα, 4 Σεπτεμβρίου 2017

Ένα Μυθικό Πρόβλημα Μοιρασιάς

4σχόλια
ύψος 40,6 εκ., περίπου 530-510 π.Χ.
Βρετανικό Μουσείο, 1837,0609.42 / Β226
Παριστάνει τους:
Κένταυρος Φόλος – Ηρακλής και Ερμής
Σε ένα από τα πολλά ταξίδια του ο Ηρακλής,  ο μυθικός ήρωας, στο βουνό των
Κενταύρωντο Πήλιο, βρέθηκε αντιμέτωπος με μια παρέα 5 Κενταύρων,  τον 
Χείρωνα, τον Φόλο, τον Νέσσο, τον Άγχιο, και τον Άγριο, οι όποιοι ήταν
έτοιμοι να πιαστούν στα χέρια ή στα...πόδια αν προτιμάτε, γιατί δεν μπορούσαν
να μοιραστούν μια ποσότητα κρασιού. Ο ήρωας προσφέρθηκε  να τους βοηθήσει.
Αυτοί λοιπόν του έδειξαν 45 φλασκιά με κρασί και του διευκρίνησαν τα εξής:
Εννέα φλασκιά ήταν γεμάτα με κρασί. (4/4=100μονάδες)
Εννέα  περιείχαν κατά τα τρία τέταρτα κρασί. (3/4=75μονάδες)
Εννέα  περιείχαν κατά το ένα δεύτερο κρασί. (2/4=50μονάδες)
Εννέα  περιείχαν κατά το ένα τέταρτο κρασί. (1/4=25μονάδες)
Και εννέα  φλασκιά ήταν άδεια. (0/4=0μονάδες)
Οι Κένταυροι έπρεπε  να μοιραστούν τόσο το κρασί όσο και τα φλασκιά.
Δηλαδή έπρεπε ο κάθε Κένταυρος να πάρει:
- Την ίδια ποσότητα κρασιού.
- Τον ίδιο αριθμό φλασκιών και ειδικότερα να πάρει από κάθε είδος φλασκιού
(ως προς   την ποσότητα) τουλάχιστον ένα.
-Επίσης κανένα ζεύγος Κενταύρων να μην πάρει τον ίδιο αριθμό από κάθε είδος
φλασκιού (δεν θα μπορούσαν για παράδειγμα δυο Κένταυροι να πάρουν από 2
φλασκιά γεμάτο κρασί).
Ο Μυθικός ήρωας αφού σκέφτηκε  λίγο κατόρθωσε να κάνει την μοιρασιά.
Εσείς μπορείτε;

Παρασκευή, 1 Σεπτεμβρίου 2017

Οι Άντρες

3σχόλια
Ένας βασιλιάς διέταξε έναν αυλικό του να μαζέψει άντρες για το στρατό από 30 χωριά,
ως εξής:
-«Από κάθε χωριό που θα φεύγεις θα παίρνεις τόσους άντρες , όσοι ήταν αυτοί που πήγαν. ∆ηλαδή, στο πρώτο χωριό που θα φτάσεις μόνο σου, φεύγοντας θα πάρεις μαζί σου άλλον ένα. Στο δεύτερο χωριό θα φτάσετε δύο άτομα, άρα φεύγοντας από το χωριό θα πάρεις  μαζί σου άλλους δύο, σύνολο 4 κ. ο. κ. ε.»
Πόσους άντρες συνολικά θα συγκεντρώσει  ο αυλικός από τα 30 χωριά που θα επισκεφθεί;
Σημείωση:
Από το έργο «Propositiones ad Acuendos Juvenes» - “Προβλήματα για να τροχίζουν το μυαλό των νέων”, του Albinus Flaccus Alcuin (735-804), πρόβλημα Νο.13.

Λύση

Ο αυλικός από τα 30 χωριά θα συγκεντρώσει 1.073.741.823 άντρες. Βάσει του τύπου του αθροίσματος της γεωμετρικής προόδου Σn=[α*(ω^n-1)]/(ω-1) βρίσκουμε το σύνολο των 30 όρων της γεωμετρικής προόδου:
Σn=[α*(ω^n-1)]/(ω-1)=[1*(2^(30)-1]/2-1=[1*(2^(30)-1)]/1=[(1*1.073.741.824) -1]=
1.073.741.824-1=1.073.741.823
Στο 1ο χωρίο πήγε μόνος του και έφυγαν 2 άτομα =2^1.
Στο 2ο χωριό πήγαν 2 άτομα και έφυγαν 4 άτομα = 2^2.
Στο 3ο χωριό πήγαν 4 άτομα και έφυγαν 8 άτομα = 2^3.
......................
......................
......................
Στο 30ο χωριό πήγαν 536.870.912 = 2^29 άτομα και έφυγαν 1.073.741.824 άτομα = 2^30.
Από το 30ο χωριό θα φύγουν 1.073.741.824 άτομα. Ο αυλικός θα πάει στον βασιλιά του
(2^n-1)=[(2^30)-1] = (1.073.741.824 -1) = 1.073.741.823 άντρες.

Πέμπτη, 31 Αυγούστου 2017

Ο Αριθμός

2σχόλια
Ένας αριθμός διαιρούμενος με το 3 αφήνει υπόλοιπο 2, διαιρούμενος με το 5 αφήνει υπόλοιπο 3, και διαιρούμενος με το 7 αφήνει υπόλοιπο 2. Ποιος είναι ο αριθμός;
Σημείωση:
Από το τρίτομο βιβλίο με τίτλο «Κλασσική Αριθμητική του Sun – Tsu ή Suan – Tse.

Λύση

Είναι ο αριθμός 23. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 3, 5, και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π.( 3,5,7)=3*5*7=105
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξής εξiσώσεις:
x=3y+2 (1)
x=5z+3 (2)
x=7u+2 (3)
όπου y, z, και u, φυσικοί ακέραιοι αριθμοί.
Ο κανόνας που εφάρμοζαν οι Κινέζοι σ’ αυτή τη περίπτωση, τον οποίο ονόμαζαν Ta-yen,δε διαφέρει κατ’ ουσία από εκείνον ο οποίος εδόθη κατόπιν από τον Gauss (§§ Disq. Aritm. 32-36). Κατ’ εφαρμογή αυτού του κανόνος, προσδιορίζονται (δοκιμαστικώς;) τρεις αριθμοί, «k», «l», και «m», τέτοιοι ώστε να έχουμε:
5*7*k ≡1(mod.3) (4)
7*3*l ≡1(mod.5) (5)
3*5*m ≡1(mod.7) (6)
Αποδεκτές τιμές για τις μεταβλητές «k», «l», και «m» είναι:
«k=2», «l=1», και «m=1»
Αντικαθιστούμε τις τιμές των μεταβλητών στις (4), (5), και (6) κι’ έχουμε:
5*7*2=70 (7)
7*3*1=21 (8)
3*5*1=15 (9)
Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα των ανωτέρω γινομένων με τα υπόλοιπα των διαιρέσεων 2, 3, και 2 κι’ έχουμε:
5*7*2=70*2=140 (10)
7*3*1=21*3=63 (11)
3*5*1=15*2=30 (12)
Προσθέτουμε τα αποτελέσματα των ανωτέρω γινομένων κι’ έχουμε:
140+63+30=233
Από το ανωτέρω άθροισμα αφαιρούμε το Ε.Κ.Π. των διαιρετών 3, 5, και 7, όσες φορές είναι δυνατόν φθάνοντας στο ζητούμενο αριθμό 23, ή πιο σωστά, στο ελάχιστο από αυτά, κι’ έχουμε: 233-105=128-105=23
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes