Σάββατο, 31 Δεκεμβρίου 2016

Χριστούγεννα 2016!!

0σχόλια
Η Ιστοσελίδα του Papaveri48 εύχεται σε όλους τους φίλους της:
ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ!!
Και
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!!
Με το όραμα της ελεύσεως του Νέου Έτους, είθε ο αναγεννημένος Χριστός να μας βοηθήσει να ξεπεράσουμε τις όποιες δυσκολίες που μπορεί να προκύψουν, λόγω του ότι βρισκόμαστε ακόμα μέσα σ' ένα σκοτεινό τούνελ που μόνο το Άστρο της Βηθλεέμ μπορεί να το φωτίσει για να βρούμε τον φωτεινό δρόμο!!

Πέμπτη, 22 Δεκεμβρίου 2016

Χριστουγεννιάτικο Rebus ΙΙ No.312 (Φράση)

0σχόλια

Οι εικόνες (Α) και (Β), ενοποιημένες δίνουν μια φράση των Χριστουγέννων, που αποτελείται από 11 λέξεις!!

 Λύση

Τρίγωνα κάλαντα μες τη γειτονιά ήρθαν τα Χριστούγεννα και η Πρωτοχρονιά.
Τριγον(ι)α καλα(ς)*ντα** μες τη γειτονιά ήρθαν τα Χριστο(ς)υγεννα και η Πρωτοχρονιά.
*Κοσμάς Καλαϊτζίδης (στην Αμερική μετονομάστηκε σε Αλεξ Κάλας) = επικεφαλής του ποδοσφαιρικού τμήματος του Άρη.
**Μανουέλ ντα Κόστα=Μαροκινός ποδοσφαιριστής του Ολυμπιακού.

Τρίτη, 13 Δεκεμβρίου 2016

Χριστουγεννιάτικο Rebus No.311 (13)

2σχόλια

Λύση

Καλικάντζαρος*
Καλή**Καντζα***Ρος****
*Ελληνική δοξασία (αρχαίας καταγωγής) «δαιμόνιων» που σύμφωνα με σύγχρονη δοξασία εμφανίζονται κατά το Δωδεκαήμερο (25 Δεκεμβρίου - 6 Ιανουαρίου). Σύμφωνα με τη λαϊκή δοξασία τις μέρες αυτές τα «νερά είναι αβάφτιστα» και οι καλικάντζαροι βγαίνουν από τη γη για να πειράξουν τους ανθρώπους και να τους ανακατέψουν τα σπίτια, διότι είναι άτακτοι και τους αρέσουν τα παιχνίδια. Οι καλικάντζαροι έρχονται (βγαίνουν) την παραμονή των Χριστουγέννων, (στη Σκιάθο: με πλοιάριο, στην Οινόη: με χρυσή βάρκα, στην Ικαρία: επί των φλοιών των καρυδιών) από «το κάτω κόσμο» τον Άδη. Συνήθη μέρη που μένουν μετά τον ερχομό τους είναι οι μύλοι, τα γεφύρια, τα ποτάμια και τα τρίστρατα (μεγάλα μονοπάτια) όπου παραμονεύουν μόνο κατά τη νύκτα και φεύγουν με το τρίτο λάλημα του πετεινού. Εκτός του Δωδεκαήμερου τον υπόλοιπο χρόνο μένουν στα έγκατα της γης και πριονίζουν το δέντρο που κρατά τη γη (παραλλαγή του μυθικού Άτλαντα). Βγαίνουν δε στην επιφάνεια κοντά στο τέλος της εργασίας τους, από το φόβο μήπως τελικά η ετοιμόρροπη γη τους πλακώσει (στη Μακεδονία: για να γιορτάσουν πρόσκαιρα τη νίκη τους), όταν δε κατεβαίνουν βρίσκουν το δέντρο ακέραιο και ξαναρχίζουν το πριόνισμα. Το δένδρο των Χριστουγέννων συμβολίζει αυτή ακριβώς την ακεραιότητα και τη Θεϊκή δύναμη και προστασία με την παρουσία του Χριστού.
**Αγία Καλή: Η Οσία Καλή έζησε πριν το 15ο αιώνα μ.Χ. και καταγόταν από την Ανατολή, δηλαδή τη Μικρά Ασία. Η οικογένεια της Οσίας ήταν πλούσια και η περιουσία της δόθηκε σε έργα φιλανθρωπίας. Δεν πρέπει να ήταν μοναχή, αλλά φιλοξενούσε τους άστεγους στο σπίτι της. Η Καλή έζησε τη ζωή της γεμάτη καλοσύνη. Χαρακτηριστικό της γνώρισμα είναι η φιλανθρωπία. Στην Ακολουθία της αναφέρονται και θαύματα της Αγίας. Κάποια φορά που ζύμωσε ψωμί, για να το μοιράσει στους φτωχούς, ο Θεός έκανε ώστε να μην λιγοστεύει το ψωμί που της απόμενε.Αλλά και μετά το θάνατό της η Αγία συνέχισε να ευεργετεί τους ανθρώπους, χαρίζοντας την θεραπεία στους αρρώστους. Είναι τόσα πολλά τα θαύματα των θεραπειών της, ώστε ο υμνογράφος την αποκαλεί «θαυματόβρυτον». Η μνήμη της Οσίας Καλής αναφέρεται, επίσης, στις 15 Μαΐου και το Σάββατο της Διακαινησίμου.
***Ελινα Κάντζα:Μοντέλο.
****Bob Ross:Αμερικανός ζωγράφος.

Κυριακή, 4 Δεκεμβρίου 2016

Το Μήκος

0σχόλια
Τι μήκος έχει η ανωτέρω χρυσή αλυσίδα που έχει 8 ίδιους κρίκους; (Κατ.34)
Πηγή:IΖ΄ Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016  Α΄ & Β΄ Γυμνασίου

Παρασκευή, 2 Δεκεμβρίου 2016

Ο Αριθμός

4σχόλια
Βρείτε ένα φυσικό αριθμό, για τον οποίο, εάν μετακινήσουμε το πρώτο ψηφίο στο τέλος του αριθμού, δηλαδή, π.χ. 35 ---> 53, ο αριθμός που θα προκύψει θα είναι ο μισός του αρχικού. (Κατ.34)

Λύση

Λύση του papadim.
Έχω μια ενδιαφέρουσα τριπλέτα αριθμών Α, Β, Γ τέτοια ώστε:
Αν μετακινήσουμε το πρώτο ψηφίο του Α στο τέλος παίρνουμε τον Β που είναι ο μισός του Α. Ενώ, αν μετακινήσουμε το πρώτο ψηφίο του Β στο τέλος παίρνουμε τον Γ που είναι ο μισός του Β.
Συγκεκριμένα:
Α = 210526315789473684
Β = 105263157894736842
Γ = 052631578947368421

Σάββατο, 26 Νοεμβρίου 2016

Το Άθροισμα των Ηλικών

2σχόλια
Το γινόμενο των ηλικιών μιας μητέρας και των τριών παιδιών της ισούται με 41.041.
i)Να βρείτε το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών.
ii)Μετά από πόσα χρόνια το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών
θα είναι ίσο με την ηλικία που θα έχει τότε η μητέρα τους; (Κατ.34)
Πηγή:5ος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ο Επιμενίδης», Α΄ Γυμνασίου 29-10-2016

Λύση

Αναλύουμε τον αριθμό 41.041 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
41.041=7*11*13*41
Επομένως οι ηλικίες των τριών παιδιών είναι 7, 11, και 13 αντιστοίχως και της μητέρας η ηλικία είναι 41.
Το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών είναι:
7+11+13=31
Παρατηρούμε ότι για κάθε χρόνο που περνάει, η ηλικία της μητέρας αυξάνεται κατά μια μονάδα, ενώ το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών αυξάνεται κατά 3 μονάδες.
Επομένως η διαφορά είναι:
41-31=10 μονάδες.
Η οποία μειώνεται κατά 2 μονάδες.
Άρα σε:
10:2=5 χρόνια το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών θα είναι ίσο με την ηλικία που θα έχει τότε η μητέρα τους.
Αλλιώς, με χρήση μεταβλητών έχουμε:
41+x=31+3x ----> 41-31=3x-x ----> 2x=10 ----> x=10/2 ----> x=5
Επαλήθευση:
41+x=31+3x ----> 41+5=31+3*5 ----> 46=31+15

Τετάρτη, 9 Νοεμβρίου 2016

Αγώνες Ξιφασκίας

0σχόλια
Από αριστερά προς τα δεξιά:
Athos, Porthos, Aramis, d’Artagnan
Σχέδιο του Μορίς Λελουάρ, 1894
Ο Άθως, ο Πόρθος, ο Άραμις και ο ντ' Αρτανιάν κατέλαβαν τις τέσσερις πρώτες θέσεις στους βασιλικούς αγώνες ξιφασκίας.
Το άθροισμα των θέσεων που κατέλαβαν ο Άθως, ο Πόρθος και ο ντ' Αρτανιάν ήταν 6.
Το άθροισμα των θέσεων που κατέλαβαν ο Πόρθος και ο Άραμις ήταν επίσης 6.
Ποιες ήταν οι θέσεις κάθε σωματοφύλακα, αν γνωρίζουμε ότι ο Πόρθος είχε καλύτερη θέση από τον Άθω; (Κατ.34)
Πηγή:Περιοδικό Quantum (Τόμος 8/Tεύχος 2 Μάρτιος/Απρίλιος,2001)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2016/10/blog-post_87.html

Λύση

Η μόνη τριάδα που το άθροισμα της ισούται με 6 είναι η 1, 2, 3. Άρα ο τέταρτος ήταν ο Άραμις. Οι δύο θέσεις που μας δίνουν άθροισμα έξι είναι αναγκαστικά οι θέσεις 2, και 4. Άρα αφού ο Άραμις είναι τέταρτος τότε ο Πόρθος είναι ο δεύτερος. Ο Άθως είναι μετά τον Πόρθο, άρα θα είναι τρίτος και έτσι πρώτος θα είναι ο ντ' Αρντανιάν.
Κατάταξη:
(1) ντ' Αρντανιάν
(2) Πόρθος
(3)Άθως
(4) Άραμις

ντ' Αρτανιάν(1)+Πόρθος(2)+Άθως(3)=6
Πόρθος(2)+Άραμις(4)=6
Ή
Από την πρώτη συνθήκη έπεται ότι ο Άραμης κατέλαβε την τέταρτη θέση.
Από την δεύτερη συνθήκη έπεται ότι ο Πόρθος ήταν δεύτερος.
Από την τρίτη συνθήκη έπεται ότι ντ’ Αρτανιάν ήταν πρώτος και ο Άθως ήταν τρίτος.

Κυριακή, 30 Οκτωβρίου 2016

Οι Τέλειοι Αριθμοί

0σχόλια
Να αποδείξετε ότι οι τέλειοι αριθμοί, εάν είναι άρτιοι, τότε το τελευταίο ψηφίο τους λήγει σε 6 ή σε 8.(Κατ.34)
Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2016/10/blog-post_80.html#more

Λύση

Οι τέλειοι αριθμοί εφόσον είναι άρτιοι,είναι της μορφής
2^(ν−1)*[(2^ν )− 1]
με το «ν» να είναι πρώτος αριθμός. Ας δούμε τις δυνάμεις του 2:
2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32
2^6=64
2^7=128
...
...
Όταν ο έκθετης είναι άρτιος το τελευταίο ψηφίο είναι 4 ή 6. Ενώ όταν ο έκθετης είναι περιττός το τελευταίο ψηφίο είναι 2 ή 8. Ο «ν» είναι πρώτος άρα περιττός συνεπώς το 2^ν τελειώνει σε 2 η 8, το [(2^ν) -1] τελειώνει σε 1 ή 7 και το 2^(ν-1) τελειώνει σε 6 ή 4 αντίστοιχα.
Π.χ. (2^5=32, 2^(5-1)=2^4=16 και 2^3=8, 2^(3-1)=2^2=4)
Έτσι, το γινόμενο 2^(ν−1)*[(2^ν) − 1] θα έχει ψηφίο μονάδων το 6, αφού 1*6=6 ή θα έχει ψηφίο μονάδων το 8, αφού 4*7=28.

Παρασκευή, 28 Οκτωβρίου 2016

Επείγουσα Ανακοίνωση

0σχόλια
Αγαπητοί φίλοι,
Πρόκειται να υποβληθώ σ’ εγχείρηση και θα χρειαστώ τρεις φιάλες αίμα Όποιος μπορεί να πάει σε οποιδήποτε νοσοκομείο μέχρι την 8η Νοεμβρίου 2016, και να δηλώσει ότι πρόκειται για το “Λαϊκό Νοσοκομείο” για το “Ορθοπεδικό Τμήμα” υπέρ CARLO de GRANDI/Κάρλο ντε Γκράντι.
Η ομάδα αίματός μου είναι: ” 0 IV RH (-)”
Επίσης να μ’ ενημερώσεται ανώνυμα στα σχόλια σε ποιο νοσοκομείο πήγε ο καθένας.
Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Φιλικά,
Carlo de Grandi

Σάββατο, 15 Οκτωβρίου 2016

Οι Τρόποι ΙΙ

0σχόλια
Τρεις οικογένειες θέλουν ν'  αγοράσουν από ένα σπίτι η κάθε μία  Μπορούν να  επιλέξουν ανάμεσα σε 4 σπίτια, που βρίσκονται συνεχόμενα το ένα πλάι στο  άλλο σ' ένα δρόμο. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν οι τρεις οικογένειες να αγοράσουν τα σπίτια τους; (Κατ.34)
Πηγή:IΖ΄ Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016  Α΄ & Β΄ Γυμνασίου

Λύση

Με 24 διαφορετικούς τρόπους μπορούν οι 3 οικογένειες να αγοράσουν τα σπίτια τους.
Βάσει του τύπου των μεταθέσεων: Μο=1*2*3*...*μ=μ! έχουμε:
Μο=1*2*3*...*μ ---> Μο=1*2*3*4(σπίτια)=6*4=24 τρόπους.

Τετάρτη, 28 Σεπτεμβρίου 2016

Οι Μαθητές

2σχόλια
Οι μαθητές ενός σχολείου μπορούν να παραταχθούν σε σειρές των 3, 4, και 7 μαθητών, χωρίς να περισσεύει κανένας. Αν όμως παραταχθούν σε σειρές των 11μαθητών, χρειάζεται ακόμη ένας μαθητής για να συμπληρωθούν οι σειρές. Πόσοι  είναι οι μαθητές του σχολείου; (Κατ.5)
Πηγή:IΖ΄ Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016  Ε΄ & ΣΤ΄ Δημοτικού

Λύση

Λύση του Γεώργιου Βούλγαρη Μαθηματικού.
Ο αριθμός των μαθητών είναι ένα πολλαπλάσιο των αριθμών 3, 4, και 7 που αν αυξηθεί κατά μια μονάδα γίνεται πολλαπλάσιο του 11.Τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3, 4, και 7 είναι: 84,168,252,... Από αυτά, το 252 αν αυξηθεί κατά μια μονάδα θα γίνει 253 τ’ οποίο είναι πολλαπλάσιο του 11.Άρα οι μαθητές είναι 252.
Λύση του Ευθύμη Αλεξίου.
Είναι 3*4*7=84 και αν X ο αριθμός των μαθητών τότε είναι X=84k και αν προσθέσουμε έναν μαθητή τότε 11/(84k+1)
Είναι όμως 84 ≡ 7mod11 ---> 7k+1=πολλ.11
Με μικρότερο k=3: 7k+1=πολλ.11 ---> 3*7+1=22 ---> 22/11=2
αλλά και κάθε k=3+11n
οπότε για k=3 είναι Χ=84*3=252 και το αμέσως μεγαλύτερο πλήθος μαθητών είναι X=84*(3+11*1)=1176 όμως τέτοιο πλήθος μαθητών σε Ελληνικό Σχολείο, θεωρώντας ότι το πρόβλημα αναφέρεται σε Ελληνικό Σχολείο, πόσο μάλλον για μεγαλύτερα πλήθη, δεν υπάρχει. Θεωρούμε σαν μόνη δεκτή και ρεαλιστική λύση το X=252.
Λύση του Συντάκτη.
Οι μαθητές του σχολείου είναι 252. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 3, 4, και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π.(3,4,7)=22*3*7=84
Άρα οι μαθητές είναι 84*3=252
3 σειρές επί 28 μαθητές = 84 μαθητές.
4 σειρές επί 21 μαθητές = 84 μαθητές.
7 σειρές επί 12 μαθητές = 84 μαθητές
Σύνολο: 84*3=252 μαθητές.
Συνεπώς ο (Ν-1) ισούται μ’ ένα πολλαπλάσιο του 84: (Ν-1)=84, (Ν-1)=168, (Ν-1)=252.
Και Ν = (Πολλαπλάσιο +1), δηλαδή Ν=84+1=85, Ν=168+1=169, Ν=252+1=253.
11 σειρές επί 23 μαθητές = 253 μαθητές

Τρίτη, 30 Αυγούστου 2016

Οι Τρόποι

2σχόλια
Σ’ ένα νησί του Αιγαίου υπάρχουν δύο ξενοδοχεία. Με πόσους τρόπους μπορούν να επιλέξουν ξενοδοχείο τρεις Γερμανοί τουρίστες, που μόλις έφτασαν για διακοπές στο όμορφο αυτό νησί;

Λύση

Λύση του μαθηματικού Γεωργίου Βούλγαρη.
Με 8 τρόπους. Έστω 1, 2, και 3 οι τουρίστες και Α, και Β τα ξενοδοχεία, οπότε έχουμε:
1,και 2 στο Α ο 3 στο Β
1,και 2 στο Β ο 3 στο Α
1,και 3 στο Α ο 2 στο Β
1,και 3 στο Β ο 2 στο Α
2,και 3 στο Α ο 1 στο Β
2,και 3 στο Β ο 1 στο Α
1,2,3 στο Α
1,2,3 στο Β

Τετάρτη, 10 Αυγούστου 2016

Η Ισορροπία

0σχόλια
Στην ανωτέρω εικόνα, οι δύο ζυγαριές (Σχ.1 και Σχ.2) ισορροπούν. Πόσους κύκλους πρέπει να βάλουμε στο αριστερό τάσι της ζυγαριάς  (Σχ.3), για να ισορροπήσουν τα έξι τετράγωνα; (Κατ.9Β΄)
Πηγη:IΖ΄ Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016  Ε΄ & ΣΤ΄ Δημοτικού

Σάββατο, 23 Ιουλίου 2016

Το Ποσοστό

0σχόλια
Στ' ανωτέρω σχήματα τι ποσοστό της επιφάνειας καλύπτει η πράσινη επιφάνεια; (Κατ.34)

Λύση

Λύση χωρίς το ορθογώνιο πλαίσιο (Σχ.1)
Το ποσοστό επιφανείας που καλύπτει το πράσινο τμήμα είναι 25%. Εάν ενώσουμε τα δυο πράσινα τριγωνάκια, έχουμε ένα τετράγωνο. Συνεπώς τα πράσινα τετράγωνα είναι 2.Το ρομβόσχημο σχήμα έχει επίσης 6 λευκά τετράγωνα. Συνολικά όλο σχήμα έχει επιφάνεια ισοδύναμη με 8 τετράγωνα. Εξ αυτών, τα δυο είναι πράσινα. Άρα η πράσινη επιφάνεια είναι τα 2/8=1/4=0,25 ή 25% της όλης επιφάνειας.
Λύση με το ορθογώνιο πλαίσιο (Σχ.2)
Λύση του μαθηματικού Γεωργίου Βούλγαρη.
Το ποσοστό επιφανείας που καλύπτει το πράσινο τμήμα είναι 16,66%. Εάν ενώσουμε τα δυο πράσινα τριγωνάκια, έχουμε ένα τετράγωνο. Συνεπώς τα πράσινα τετράγωνα είναι 2. Το εσωτερικό ρομβόσχημο σχήμα έχει επίσης 6 λευκά τετράγωνα. Το κάθε ένα από τα γωνιακά μεγάλα τρίγωνα, εάν χωριστεί στη μέση με τη διάμεσο και εν συνεχεία ενώσουμε τα δυο τρίγωνα κατά την υποτείνουσα σχηματίζει ένα τετράγωνο, οπότε το όλο σχήμα έχει επιφάνεια ισοδύναμη με 12 τετράγωνα. Εξ αυτών, τα δύο είναι πράσινα. Άρα η πράσινη επιφάνεια είναι τα 2/12=1/6= 0,1666= 16,66% της όλης επιφάνειας
Σημείωση:
Είναι απαραίτητο να συμπεριλάβουμε στην επιφάνεια ολόκληρο το σχήμα και ο όχι μόνο το εσωτερικό ρομβόσχημο.

Δευτέρα, 11 Ιουλίου 2016

Ο Γαλαξίας

1 σχόλια
O Δανός αστρονόμος, John Hoffen, το 1870, ανακάλυψε έναν νέο γαλαξία κοντά στον γαλαξία της Ανδρομέδας και τον ονόμασε «Μέδουσα»», μια από τις τρεις Γοργόνες της Μυθολογίας, κόρη του Φόρκυ ή Φορκέα και της Κητούς, αδελφή των Γοργόνων Σθενώ και Ευρυάλη, και των Γραιών Δεινώ, Ενυώ και Πεφρηδώ, ήταν στην αρχή Κενταύρισσα, λόγω του σχήματος που είχε. Για την ανακάλυψη αυτή τιμήθηκε από την Ακαδημία της Δανίας μ’ ένα βραβείο που συνοδευόταν από μια επιταγή μ’ έναν εξαψήφιο αριθμό. Το πρώτο ψηφίο του αριθμού ήταν ίδιο με το τέταρτο ψηφίο, το δεύτερο ψηφίο του αριθμού ήταν ίδιο με το πέμπτο ψηφίο και το τρίτο ψηφίο του αριθμού ήταν ίδιο με το έκτο ψηφίο. Το ποσό αυτό ήθελε να το διανείμει στα επτά παιδιά του, τα έντεκα εγγόνια του και τα δεκατρία δισέγγονα του
(α)Ποια είναι η αξία της επιταγής;
(β)Μπορούσε να μοιράσει αυτό το ποσό σε ακέραια ποσά;
(γ)Από πόσα άστρα αποτελείται ο νέος αυτός γαλαξίας;
 Διευκρίνιση για την ερώτηση (γ)
Είναι ένας πρώτος αριθμός και το τελευταίο ψηφίο του είναι ο αριθμός 1. 
Για να δοθεί η λύση να βοηθήσω λίγο. Είναι ένας πρώτος αριθμός και από αποτελείται από διαδοχικά 1 και 0  αρχίζει και τελειώνει σε 1….(Κατ.34)

Λύση

Η αξία της επιταγής ήταν 101.101$. Ναι, μπορεί να μοιράσει την αξία της επιταγής σε ακέραια ποσά. Τα επτά παιδιά του θα πάρουν το καθ’ ένα από 14.443$. Τα έντεκα εγγόνια του θα πάρουν το καθ’ ένα από 1.313$. Και το 13 δισέγγονα του θα πάρουν το καθ’ ένα από 101$. Ο γαλαξίας αποτελείται από 101 άστρα. Έστω «x» η αξία της επιταγής που πήρε ο αστρονόμος John Hoffen, η οποία αξία εξ ορισμού ισούται με «x=αβγαβγ» και είναι της μορφής (10^5α+10^4β+10^3γ+10^2α+10^1β+γ). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
10^5α+10^4β+10^3γ+10^2α+10^1β+γ --->
10^5α+10^2α+10^4β+10^1β+10^3γ+ γ--->
10^2α(10^3+1)+10β(10^3+1)+γ(10^3+1)--->
(10^3+1)(10^2α+10β+γ) --->
(10^3+1)(100α+10β+γ) ---> (1.000+1)(αβγ) ---> 1.001αβγ (1)
Μετατρέπουμε τον αριθμό 1.001 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
1.001=7*11*13
Άρα η (1) γίνεται:
1.001αβγ ---> 7*11*13αβγ (2)
Με διερεύνηση βρίσκουμε ότι το «αβγ» αντιστοιχεί στον πρώτο αριθμό 101.
Για τη διερεύνηση βλέπε εδώ:
https://app.box.com/s/tbygnirml1uljgt2aonw7dgbd7v5h2zn

Σάββατο, 2 Ιουλίου 2016

Η Ισορροπία

5σχόλια
Θέλουμε να ισορροπήσουμε την ανωτέρω ζυγαριά, χρησιμοποιώντας τα τέσσερα αυτά βάρη που είναι από 1kg. έως 40kg. (ακέραιοι αριθμοί). Ποιο είναι το μεγαλύτερο βάρος, με τ' οποίο μπορούμε να ισορροπήσουμε την ζυγαριά;
Διευκρίνιση:
Στο ένα τάσι θα βάλουμε το ένα βάρος και στο άλλο τάσι τα τρία βάρη. (Κατ.34)

Λύση

Το μεγαλύτερο βάρος προκύπτει, εάν βάλουμε στο ένα τάσι το βάρος των 40κιλών και στο άλλο τάσι 3 βάρη, που με διάφορους συνδυασμούς να έχουμε ως αποτέλεσμα 40κιλά. Άρα το μεγαλύτερο βάρος συνολικά είναι 80κιλά.
Π.χ. 1+3+36=40 ---> 40=40 ---> 80Κg.

Κυριακή, 26 Ιουνίου 2016

Το Δημοψήφισμα και Η Ηλικία

4σχόλια
Στην Λοξολάνδη διεξήχθη  δημοψήφισμα για την φίμωση των ροζ παπαγάλων. Στο χωριό Άνω Ραχούλα ψήφισαν «κ» άτομα, όπου «κ» είναι τετραψήφιος αριθμός και παράλληλα τέλειο τετράγωνο, ενώ στο διπλανό χωριό, την Κάτω Ραχούλα, ψήφισαν «λ» άτομα, όπου ο «λ» είναι  επίσης τέλειο τετράγωνο και  προκύπτει  εάν αυξήσουμε τα ψηφία του αριθμού «κ» κατά μια μονάδα.
Πόσοι ψήφισαν σε κάθε χωριό; (Κατ.34)
Ο δήμαρχος  της Άνω Ραχούλας  Μπόρις Καλοχαιρέτας ρωτήθηκε από τους
δημοσιογράφους για το αποτέλεσμα του δημοψηφίσματος και ως συνήθως
απάντησε κάτι άλλο.
-«Να σας πω. Η ηλικία μου είναι ένας πρώτος αριθμός  που όταν διαιρεθεί με την ηλικία του εξάχρονου  εγγονού μου δίνει πηλίκο 14»
Ποια είναι η ηλικία του δήμαρχου Καλοχαιρέτα; (Κατ.34)
Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2016/06/blog-post_25.html

Λύση

(α)Από την Άνω Ραχούλα ψήφισαν 2.025 άτομα και από την Κάτω Ραχούλα ψήφισαν 3.136 άτομα. Εάν κ=α^2 και λ=β^2, τότε από υπόθεση προκύπτει η σχέση: β^2-α^2=1.111 ή (β-α)(β+α)=11*101 Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 11 και 101 είναι πρώτοι αριθμοί και επειδή β-α<β+α διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:
(Ι)β-α=1 (1)
β+α=1.111 (2)
(ΙΙ)β-α=11 (1)
β+α=101 (2)
Το σύστημα (Ι) δίνει:
Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) κι’ έχουμε:
β-α=1
β+α=1.111
2β=1.112 ---> β=1.112/2 ---> β=556 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
β-α=1 ---> 556-α=1 ---> α=556-1 ---> α=555 (4)
Και τα δύο αποτελέσματα απορρίπτονται καθώς τα τετράγωνα τους έχουν περισσότερα από 4 ψηφία.
Το σύστημα (ΙΙ) δίνει:
Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) κι’ έχουμε:
β-α=11
β+α=101
2β=112 ---> β=112/2 ---> β=56 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
β-α=11 ---> 56-α=11 ---> α=56-11 ---> α=45 (4)
Οι λύσεις είναι δεκτές καθώς:
45^2=2.025 και 56^2=3.136
Επαλήθευση:
κ=α^2 ---> κ=45^2 ---> κ=2.025
λ=β^2 ---> λ=56&2 ---> λ=3.136
(Ι)β-α=1 ---> 556-555=1
β+α=1.111 ---> 556+555=1.111
(ΙΙ)β-α=11 ---> 56-45=11
β+α=101 ---> 56+45=101
(β)Ο δήμαρχος είναι 89 ετών. Αν «η» η ηλικία του Καλοχαιρέτα, τότε από υπόθεση προκύπτει, βάσει του τύπου της "Ευκλείδειας Διαίρεσης":
Διαιρετέος=(διαιρέτης*πηλίκο)+υπόλοιπο ---> Δ=(δ*π)+υ, όπου υ<δ
έχουμε:
η=14*6+υ, όπου 0≤υ<δ
Διερεύνηση:
Για υ=0, υ=1, υ=2, υ=3, υ=4 έχουμε:
η=84, η=85, η=86, η=87, και η =88
οι αριθμοί «η» που προκύπτουν δεν είναι πρώτοι αριθμοί.
Για υ=5, έχουμε:
η=(14* 6) +5= 89
Ο αριθμός 89 είναι πρώτος αριθμός.

Κυριακή, 19 Ιουνίου 2016

Οι Τρεις Παρτίδες

4σχόλια
Τρεις παίκτες παίζουν τρεις παρτίδες.
Στη πρώτη παρτίδα ό πρώτος χάνει, τόσα χρήματα, ώστε διπλασιάζει τα χρήματα των δύο άλλων.
Στη δεύτερη παρτίδα ο δεύτερος χάνει τόσα χρήματα, ώστε διπλασιάζει τα χρήματα των δύο άλλων.
Τέλος στη τρίτη παρτίδα ο τρίτος χάνει τόσα χρήματα, ώστε διπλασιάζει τα χρήματα των\ δύο άλλων.
 Στο τέλος του παιχνιδιού ο καθ’ ένας είχε 1.000 δρχ. Να βρείτε πόσα χρήματα
είχε ο καθ’ ένας πριν την έναρξη των παρτίδων. (Κατ.34)
Πηγή:Σχολή Ικάρων 1947

Λύση

Λύση του μαθηματικού Γεωργίου Βούλγαρη.
Έστω ότι ο παίκτης «Α» είχε αρχικά «α» χρήματα, ο παίκτης «Β» είχε αρχικά «β» χρήματα και ο παίκτης «Γ» είχε αρχικά «γ» χρήματα.
Προφανώς ισχύει:
α+β+γ=3.000 (1)
Επειδή στην 3η παρτίδα οι παίκτες «Α» και «Β» διπλασίασαν τα χρήματα τους και ο καθ’ ένας είχε από 1.000δρχ., πριν την 3η παρτίδα είχαν από 500δρχ. ο καθ’ ένας.Άρα ο παίκτης «Γ» έχασε στην 3η παρτίδα: 500+500=1.000δρχ. Και αφού του έμειναν και 1.000δρχ. ακόμα, σημαίνει ότι πριν την 3η παρτίδα είχε 2.000δρχ. Στο ποσό αυτό ο «Γ» έφτασε διπλασιάζοντας το αρχικό ποσό δυο φορές, οπότε αρχικά ξεκίνησε με 500δρχ. Δηλαδή (γ=500). Ο παίκτης «Α», τώρα, μετά την πρώτη παρτίδα διπλασίασε δυο φορές τα χρήματα του και έφτασε τις 1.000δρχ. Άρα μετά την πρώτη παρτίδα του είχαν απομείνει 250δρχ. Δηλαδή από το αρχικό ποσό, αφαιρούμε τα ποσά των χρημάτων «β» και «γ» (αυτά που έχασε) και προκύπτουν 250δρχ.Δηλαδη:
α-(β+γ)=1.000-(250+500)=1.000-750=250 (2)
Προσθέσουμε κατά μέλη τις (1) και (2) κι’ έχουμε:
α+β+γ=3.000
α-β-γ=250
2α=3.250 ---> α=3.250/2 ---> α=1.625
Αντικαθιστούμε τις τιμές «α» και «γ» στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ=3.000 ---> 1.625+β+500=3.000 ---> β=3.000-1.625-500 ---> β=3.000-2.125---> β= 875
Επαλήθευση:
α+β+γ=3.000 ---> 1.625+875+500=3.000

Τετάρτη, 8 Ιουνίου 2016

Πάσχα 2016!!

2σχόλια
Ανάσταση του Κ.Η.Ι.Χ και  Πρωτομαγιά 2016
*      Ελληνικά: "Χριστός Ανέστη!"
*      Λατινικά: "Christus resurrexit! Resurrexit vere!"
*      Ιταλικά: "Gesù Cristo è risorto! È veramente risorto!"
*      Αγγλικά: "Christ is Risen! Truly He is Risen!" or
*      Αγγλικά:"Christ is Risen! He is Risen indeed!"
*      Γαλλικά: "Le Christ est ressuscité! Il est vraiment ressuscité!"
 * * * * * * * * * 
Χριστός Ανέστη! Η ιστοσελίδα «Papaveri1948” εύχεται σε όλους Χρόνια Πολλά!, και Καλό Μήνα.  Είθε, ο Αναστημένος Χριστός να μας βοηθήσει να ξεπεράσουμε την οικονομική κρίση, στην οποία έχουμε περιέλθει, και να ζήσουμε καλύτερες ημέρες!

Παρασκευή, 3 Ιουνίου 2016

Ο Θεσσαλικός Κάμπος

2σχόλια
O Θεσσαλικός κάμπος έχει έκταση 5.100τετραγωνικά χιλιόμετρα και ο πληθυσμός της γης είναι 7 δισεκατομμύρια. Για να σταθεί όρθιος ένας άνθρωπος απαιτείται χώρος ενός τετραγώνου πλευράς 50εκατοστών.
Ερώτηση:
Χωράει όρθιος ή ξαπλωμένος ο ανθρώπινος πληθυσμός στο Θεσσαλικό κάμπο; (Κατ.34)
Πηγή:Περιοδικό Ευκλείδης τεύχος #74

Λύση

Λύση του μαθηματικού Νίκου Λέντζου.
Ένα τετραγωνικό χιλιόμετρο ισοδυναμεί με ένα εκατομμύριο τετραγωνικά μέτρα, συνεπώς η έκταση του Θεσσαλικού κάμπου είναι 5.100.000.000 τετραγωνικά μέτρα.
Εξ άλλου κάθε άνθρωπος για να σταθεί όρθιος χρειάζεται χώρο:
0,50Χ0,50=0,25 τετραγωνικά μέτρα.
και όλος ο ανθρώπινος πληθυσμός χρειάζεται χώρο:
0,25Χ7.000.000.000=1.750.000.000 τετραγωνικά μέτρα.
Κάθε άνθρωπος (με ύψος 2 μέτρα) ξαπλωμένος χρειάζεται χώρο:
2Χ0,50=1 τετραγωνικό μέτρο. και όλος ο ανθρώπινος πληθυσμός χρειάζεται χώρο:
1Χ7.000.000.000=7.000.000.000 τετραγωνικά μέτρα.
1.750.000.000τ.μ. είναι μικρότερο του 5.100.000.000τ.μ. είναι μικρότερο του 7.000.000.000 τ.μ. Επομένως ο ανθρώπινος πληθυσμός χωράει όρθιος στο Θεσσαλικό κάμπο, όχι όμως και ξαπλωμένος.

Σάββατο, 21 Μαΐου 2016

Η Ανάμειξη

2σχόλια
Ένας οινοποιός ήθελε να παρασκευάσει 400lit. κρασί 12ο (12 αλκολικών βαθμών "baume"). Για να το παρασκευάσει ανέμειξε κρασί 10ο baume με κρασί 15ο baume. Πόσα λίτρα κρασιού ανέμειξε από το κάθε είδος;(Κατ.34)

Λύση

Θ’ αναμείξει 240lit. από το κρασί των 10 βαθμών και 160lit. από το κρασί των 15 βαθμών. Έστω «x» τα λίτρα από το του κρασί των 10 βαθμών που ανέμειξε, τότε τα λίτρα από το κρασί των 15 βαθμών που ανέμειξε θα είναι (400-x) (1). Η ποσότητα του αλκοόλ σε λίτρα για κάθε είδος κρασιού είναι:
Των 10 βαθμών ---> x*(10/100)
Των 15 βαθμών --> (400-x)*(15/100)
Των 12βαθμών --> 400*(12/100)
Η ποσότητα του αλκοόλ πριν και μετά την ανάμειξη είναι ίδια, δηλαδή:
x*(10/100) +(400-x)*(15/100) = 400*(12/100) ---> 10x+15*400-15x=12*400 --->
6.000-5x = 4.800 ---> 5x = 6.000-4.800 ---> 5x =1.200 --->
x =1.200/5 --->
x = 240lit. των 10βαθμών (2)
Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε:
400-x = 400-240 = 160lit των 15βαθμών

Τρίτη, 17 Μαΐου 2016

Rebus No.310 (8)

4σχόλια
Μετά την εκτέλεση των πράξεων να βρείτε πια λέξη σχηματίζεται.
Πηγή: http://www.grifoi.gr/diagonismos/o-grifos-tis-evdomadas/

Λύση

Πάσσαλος*
Η λέξη που σχηματίζεται, μετά από την εκτέλεση των πράξεων, είναι «Πάσσαλος».
Εκτέλεση Πράξεων:
Πένα-Ένα = Π
Ασσος*(3/5) = Ασσ
Αλάτι-Άτι = Αλ
Οστό*(1/2) = Οσ
*1.Ξύλινη, μεταλλική (ή κι από άλλα υλικά) μακρόστενη κατασκευή με μυτερή άκρη, που χρησιμοποιείται για να περιφράξουμε κάτι ή γενικά στην οικοδομική.
2.Χοντρό ραβδί από ξύλο ή από μέταλλο που η άκρη του είναι μυτερή.
3.Παλούκι

Σάββατο, 14 Μαΐου 2016

Οι Περιστροφές

2σχόλια
Ένα ορθογώνιο περιστρέφεται περί την κορυφή του "A" τρεις φορές, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.
  • (α)Σε ποια θέση θα βρίσκεται το σημείο "A" μετά από τις τρεις περιστροφές;
  • (β)Πόσο θα είναι το μήκος της διαδρομής που θα έχει διανύσει; (Κατ.27)
 Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2016/05/blog-post_71.html

Πέμπτη, 5 Μαΐου 2016

Ο Βιβλιοφάγος

3σχόλια
Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης είναι τοποθετημένοι, ξεκινώντας ως συνήθως από αριστερά προς τα δεξιά και σε αύξουσα αριθμητική σειρά, οι δεκαέξι τόμοι της «ΙΣΤΟΡΙΑΣ του ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΕΘΝΟΥΣ».  Ένα σκουλήκι ονόματι «βιβλιοφάγος»»,  της οικογένειας «bibliofagus», έχει εμφανιστεί και τρυπάει τους τόμους, τον ένα μετά τον άλλον στη σειρά χωρίς διακοπή, εξ ου και το όνομά του, σε διάστημα δύο ημερών το τόμο. Εάν υποθέσουμε ότι ο «βιβλιοφάγος» ξεκινά από το εμπροσθόφυλλο (= μπροστινό εξώφυλλο) του πρώτου τόμου, μετά πόσες ημέρες θα φθάσει στο οπισθόφυλλο (= πίσω εξώφυλλο) του δέκατου έκτου τόμου; (Κατ.27)
  • Το ανωτέρω πρόβλημα το έστειλε ο φίλος και λύτης της ιστοσελίδας μαθηματικός  Νίκος Λέντζος. Τον ευχαριστώ!!

Σάββατο, 23 Απριλίου 2016

ΠΑΣΧΑ 2016!!

0σχόλια
"Η προσαγωγή του Χριστού ενώπιον του Πιλάτου, όπου καταδικάζεται σε σταυρικό θάνατο."
Η ιστοσελίδα του "Papaveri48" εύχεται σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα!!

Το Λάθος

2σχόλια
Κατά την περίοδο των εκπτώσεων ένας έμπορος ρούχων ζήτησε από την υπάλληλο  του να μειώσει τις τιμές των 1.000 κομματιών διαφόρων ρούχων που είχε στο μαγαζί του κατά 20%. Η υπάλληλος όμως έκανε λάθος, και αντί να μειώσει τις τιμές των ρούχων κατά 20%, μείωσε τις τιμές των ρούχων κατά 20 €. Με τον τρόπο αυτό ο έμπορος θα ζημιώνονταν, εάν πουλούσε όλα τα ρούχα, κατά 8.000 €. Ποια ήταν η αρχική μέση αξία των 1.000 κομματιών; (Κατ.34)
Πηγή:Περιοδικό «Απολλώνιος», τεύχος #4

Λύση

Λύση του μαθηματικού Νίκου Λέντζου.
H μείωση που θα έκανε ο υπάλληλος θα ήταν:
20 x 1.000 = 20.000 ευρώ
και θα προξενούσε ζημία 8.000 ευρώ, αυτό σημαίνει ότι από την πώληση όλου του εμπορεύματος η έκπτωση θα ήταν:
20.000 - 8.000 =12.000 ευρώ.
Αν «Α» ήταν η αρχική η αξία όλου του εμπορεύματος τότε:
Αx20%=12.000 ευρώ ή Α = 60.000 ευρώ
Η μέση τιμή Τ κάθε κομματιού είναι:
Τ= 60.000:1000 = 60ευρώ.
Συνοπτικά:
Κομμάτια: 1.000
Μέση τιμή Τ κάθε κομματιού: 60 ευρώ.
Αρχική αξία εμπορευμάτων: 60.000 ευρώ.
Συνολική έκπτωση του εμπορεύματος (20%): 12.000 ευρώ.
Μείωση τιμής πώλησης 20 ευρώ/τμχ = 20.000 ευρώ.
Ζημία: 20.000-12.000 = 8.000 ευρώ.
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes