Κυριακή, 30 Οκτωβρίου 2016

Οι Τέλειοι Αριθμοί

Να αποδείξετε ότι οι τέλειοι αριθμοί, εάν είναι άρτιοι, τότε το τελευταίο ψηφίο τους λήγει σε 6 ή σε 8.(Κατ.34)
Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2016/10/blog-post_80.html#more

Λύση

Οι τέλειοι αριθμοί εφόσον είναι άρτιοι,είναι της μορφής
2^(ν−1)*[(2^ν )− 1]
με το «ν» να είναι πρώτος αριθμός. Ας δούμε τις δυνάμεις του 2:
2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32
2^6=64
2^7=128
...
...
Όταν ο έκθετης είναι άρτιος το τελευταίο ψηφίο είναι 4 ή 6. Ενώ όταν ο έκθετης είναι περιττός το τελευταίο ψηφίο είναι 2 ή 8. Ο «ν» είναι πρώτος άρα περιττός συνεπώς το 2^ν τελειώνει σε 2 η 8, το [(2^ν) -1] τελειώνει σε 1 ή 7 και το 2^(ν-1) τελειώνει σε 6 ή 4 αντίστοιχα.
Π.χ. (2^5=32, 2^(5-1)=2^4=16 και 2^3=8, 2^(3-1)=2^2=4)
Έτσι, το γινόμενο 2^(ν−1)*[(2^ν) − 1] θα έχει ψηφίο μονάδων το 6, αφού 1*6=6 ή θα έχει ψηφίο μονάδων το 8, αφού 4*7=28.
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes