Ο Έμπορος

Ένας καταστηματάρχης, που πουλάει ηλεκτρονικούς υπολογιστές,
αγόρασε 45 ίδια tablets των 7ιντσών και πλήρωσε 5.400€.

(i)Εάν αγόραζε tablets των 10ιντσών, που ήταν κατά 30€ ακριβότερα
το καθ’ ένα, πόσα tablets θ’ αγόραζε με τα ίδια χρήματα;

(ii)Εάν πουλήσει τα 20 tablets των 7ιντσών, που αγόρασε, με κέρδος
25%και τα υπόλοιπα  25  tablets με κέρδος 20%, πόσα χρήματα θα
εισπράξει κανονικά;

(iii)Με τα χρήματα που θα εισπράξει συνολικά, πόσα το πολύ tablets των
10ιντσών θα μπορέσει ν’ αγοράσει, εάν η τιμή τους έχει ελαττωθεί κατά 4%;

Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDalVsNks4SHpRY0k/view

5^ος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ο ΕΠΙΜΕΝΙΔΗΣ», Α΄Γυμνασίου, 29/10/2016

Λύση

(i)Για κάθε tablets πλήρωσε 5.400:45=120€
Επομένως, τα μεγαλύτερα tablets κοστίζουν:
120+30=150€
το καθ’ ένα, δηλαδή, θ’ αγόραζε:
5.400 :150=36 tablets
(ii)Τα 20 tablets, τα πουλάει προς:
120*(125/100)=120*(125:25/100:25)=120*(5/4)=30*5=150€
Ενώ τα υπόλοιπα 25 tablets τα πουλάει προς:
120*(120/100)=120*(120:20/100:20)=120*(6/5)=144€
Επομένως θα εισπράξει συνολικά:
(20*150)+(25*144)=3.000+3.600=6.600€
(iii)Η μειωμένη τιμή των μεγάλων tablets ισούται με:
150-(150*0,04)=150-6=144€
Ή 150*(96/100)= 14.400/100=144€
Ενώ η διαίρεση 6.660/144:
Δίνει πηλίκο 45 και υπόλοιπο 120, δηλαδή θα μπορούσε ν’ αγοράσει το πολύ 45 tablets των 10ιντσών τα οποία αξίζουν:
45*144=6.480€
και θα του περίσσευαν 120€ από την είσπραξη των 45 tablets.

Η Αλαβάρδα*

http://www.stougiannidis.gr/AENAON/ASY/58.pdf

Αλαβάρδα* : Είδος μεσαιωνικού όπλου που ήταν συγχρόνως, τσεκούρι, πέλεκυς, και δόρυ.

 Κατά την διάρκεια του Α΄ Παγκόσμιου Πολέμου(1914-1918) στην κοιλάδα
του Πο στην Βόρειο Ιταλία, βρέθηκαν ένας σκελετός, μια στραπατσαρισμέ-
νη στολή και μια αλαβάρδα*.Οι αρχαιολόγοι αποφάνθηκαν ότι αυτά τα αντι-
κείμενα ανήκαν σε Γάλλο αξιωματικό. Το μήκος, σε ακέραιο αριθμό ποδών
της αλαβάρδας, πολλαπλασιασμένο επί τον αριθμό των ημερών του μήνα
που σκοτώθηκε ο Γάλλος αξιωματικός,πολλαπλασιασμένο  με τον μισό
αριθμό των ετών που μεσολάβησαν  από τον θάνατο του αξιωματικού έως
την ανακάλυψη του σκελετού και πολλαπλασιασμένο με το μισό της ηλικίας
του αξιωματικού  την χρόνια που πέθανε, μας δίνει τον αριθμό 451.066.

Σε ποια μάχη σκοτώθηκε ο αξιωματικός;

Α. Τορίνο, Φεβρουάριος 1522

Β. Κρεμόνα,  Μάρτιος 1712

Γ. Παβία,  Φεβρουάριος 1512

Δ. Μαρένγκο,  Ιανουάριος 1800

Ε. Καστιλιόνε, Αύγουστος  1796

*Αλαβάρδα: Τύπος αγχέμαχου όπλου με καταγωγή από την Κίνα. Η εισαγωγή
του στον Ευρωπαϊκό χώρο χρονολογείται στον 14^ο αιώνα μ.Χ. Έχει μήκος
περίπου 1,8 μ. μαζί με το κοντάρι της και η κεφαλή της αποτελείται από τρία
τμήματα: μία αιχμηρή άκρη (δόρυ), έναν πέλεκυ και μία αρπάγη. Κατά τους
ύστερους μεσαιωνικούς χρόνους χρησιμοποιήθηκε κυρίως από τους Γερμανούς
και τους Ελβετούς στρατιώτες. Επέζησε περισσότερο από τα άλλα αγχέμαχα
όπλα μετά την εμφάνιση των πυροβόλων, χάρη στα εντυπωσιακά, συμβολικά
και διακοσμητικά της στοιχεία. Γι’ αυτά ακριβώς τα χαρακτηριστικά
χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα από την Ελβετική φρουρά  του Πάπα στο
Βατικανού.

Πηγή:http://www.stougiannidis.gr/AENAON/ASY/58.pdf

Πηγή:http://wikipedia.qwika.com/en2el/Halberd
Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.com/2016/07/blog-post_17.html#more

Αλίευσα το πρόβλημα από το εξαιρετικό βιβλίο του Α. Πουλου «Ο 
Οιδίποδας και η Σφίγγα».Πως να λύνω προβλήματα μαθηματικών 
διαγωνισμών και προβλημάτω. Πρόβλημα από τον Tony Gardiner, 
μαθηματικό - συγγραφέα, πρωτεργάτη στην διοργάνωση των 
μαθηματικών διαγωνισμών των σχολείων της Μεγάλης Βρετανίας 
και γνωστό κατασκευαστή  προβλημάτων.(Α. Δρούγας)

Λύση

Αν αναλύσουμε τον αριθμό 451.066 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων λαμβάνουμε:
451.066=2 * 7 * 11 * 29 * 101
Οι μήνες που προτείνονται ως απαντήσεις έχουν 31 ημέρες (Ιανουάριος, Μάρτιος, Αύγουστος,) ενώ ο Φεβρουάριος 28 ή 29 αν είναι δίσεκτο*. Άρα σωστή απάντηση είναι αυτή του Φεβρουαρίου του δίσεκτου έτους. Ο αξιωματικός ήταν 22 ετών και το μήκος της αλαβάρδας ήταν 7πόδια. Συνεπώς η σωστή απάντηση είναι η Γ .
*Υπενθυμίζω ότι δίσεκτα έτη είναι τα έτη που διαιρούνται με το 4 αλλά όχι με το 100 ή αυτά που διαιρούνται με το 400.

Χριστούγεννα – Πρωτοχρονιά

Είναι γνωστό πως ;;όποια ημέρα πέσουν τα Χριστούγεννα την ίδια ημέρα
πέφτει και η Πρωτοχρονιά. Το 2000 τα Χριστούγεννα έπεσαν Δευτέρα και
η Πρωτοχρονιά Σάββατο. Πώς έγινε αυτό;
Πηγή:https://blogs.sch.gr/isiglavas/archives/748

Λύση

Ό,τι ημέρα πέσουν τα Χριστούγεννα την ίδια μέρα πέφτει και η Πρωτοχρονιά, όμως πρόκειται για δύο μέρες που δεν ανήκουν ημερολογιακά στο ίδιο έτος. Η Πρωτοχρονιά και τα Χριστούγεννα του ίδιου έτους δεν πέφτουν την ίδια μέρα. Η Πρωτοχρονιά του 2013 ήταν Τρίτη και τα Χριστούγεννα του 2013 θα είναι Τετάρτη.

Τα Στρατιωτάκια

Ο Λευτέρης  και ο Θωμάς έχουν και οι δύο μαζί συνολικά 376
στρατιωτάκια. Εάν διαιρέσουμε τον αριθμό των στρατιωτών
του Λευτέρη με τον αριθμό των στρατιωτών του Θωμά
βρίσκουμε πηλίκο 11 και ένα υπόλοιπο που είναι το
μεγαλύτερο δυνατόν. Πόσα στρατιωτάκια έχει ο καθένας; 

Πηγή:http://dimitris-ver.blogspot.com/2013/05/blog-post_1.html

Λύση

Ο Λευτέρης έχει 347 στρατιωτάκια και ο Θωμάς 29 στρατιωτάκια. Έστω «α» τα στρατιωτάκια του Λευτέρη και «β» τα στρατιωτάκια του Θωμά. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α + β =376(1)
Βάσει του τύπου Δ=(δ * π) + υ της Ευκλείδειας διαιρέσεως έχουμε:
α =(β*11)+(β-1) (2)
Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε:
α + β =376 ----> (β*11)+(β-1)+β=376 ----> 11β+β-1+β=376 ----> 13β=376+1 ---->
13β=377 ----> β=377/13 ----> β=29
Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στην (1) κι’ έχουμε:
α + β =376 ----> α+29=376 ----> α=376-29 -----> α=347
Επαλήθευση:
α + β =376 ----> 347+29=376
α =(β*11)+(β-1) ----> 347=(29*11)+(29-1) ----> 347=319+28 ο.ε.δ.

Ο Τέλειος Αριθμός

Μπορείτε να βρείτε έναν τέλειο αριθμό μικρότερο του 10;
Πηγή:Τέλειος αριθμός - Βικιπαίδεια

Λύση

Τέλειος αριθμός μικρότερος του 10, είναι το 6. Πράγματι, οι διαιρέτες του 6 είναι το 3,2,1 και 3+2+1=6
Το 28 είναι ο επόμενος τέλειος αριθμός. Οι διαιρέτες του είναι το 14, 7, 4, 2, 1, και το άθροισμά τους δίνει πράγματι 28.
Ο τρίτος είναι το 496.
Τέλειος λέγεται ένας φυσικός αριθμός όταν το άθροισμα των διαιρετών του, εκτός του αριθμού, είναι ίσο τον αριθμό δηλ. ο n είναι τέλειoς αν και μόνο αν σ(n) = 2n.
Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι ο 6. Οι διαιρέτες του 6 είναι οι 1, 2, 3 και το άθροισμα αυτών είναι ίσο με 6 (1+2+3=6). Άλλοι τέλειοι αριθμοί είναι οι:
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 και ο 8128. Αυτοί είναι και οι μόνοι γνωστοί τέλειοι κατά την αρχαιότητα.
Οι επόμενοι τέλειοι αριθμοί είναι:
33.550.336
8.589.869.056
137.438.691.328
2.305.843.008.139.952.128
2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176
191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216.

Ο Αριθμός

Ποιος αριθμός  από τους ανωτέρω δεν ταιριάζει, και γιατί, με τους υπόλοιπους
αριθμούς, Ο Α, ο Β, ο Γ, ο Δ, ή ο Ε;

Πηγή:http://dimarath.blogspot.com/2019/01/blog-post_95.html

Λύση

Ο αριθμός στο τετραγωνάκι Γ. Σε όλα τα υπόλοιπα τετραγωνάκια, ο τετραψήφιος αριθμός εάν χωρισθεί σε ζευγάρια το καθένα αποτελεί τετράγωνο ακέραιων φυσικού αριθμού.
(A)1649 ---> 16=4^2 και 49=7^2
(Β)2581 ----> 25=5^2 και 81=9^2
(Γ)1634 ----> 16=4^2 και 34=??
(Δ)6409 ----> 64=8^2 και 09=3^2
(Ε)4904 ----> 49=7^2 και 04=2^2

Η Έκπτωση

Ένα μηχανικό µολύβι µάρκας Α στο βιβλιοπωλείο του Α. Μαρκετίδη κοστίζει 50
λεπτά. Ο Α. Μαρκετίδης στα πλαίσια µιας επιθετικής εµπορικής πολιτικής
έκανε µια γενναία έκπτωση στην τιµή των µολυβιών µάρκας Α. Το ίδιο
απόγευµα ένας πελάτης αγόρασε όλα τα µολύβια µάρκας A στο µαγαζί του
Α. Μαρκετίδη και πλήρωσε 31,93 ευρώ.

Ποια είναι η έκπτωση που έγινε στην τιμή του µολυβιού της µάρκας Α ;

Πηγή:https://www.scribd.com/document/

Λύση

Η έκπτωση είναι 19 λεπτά Αν η μειωμένη τιμή του μηχανικού μολυβιού είναι x λεπτά (x < 50) και y είναι το πλήθος των μηχανικών μολυβιών μάρκας Α (y>1) τότε έχουμε:
x*y = 3.193 λεπτά.
Όμως ο αριθμός 3.193 αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ως εξής:
3.193 = 31*103
Όμως, 103 > 50
άρα: x=31
οπότε η έκπτωση είναι 19 λεπτά (50-31=19)