Κυριακή, 29 Απριλίου 2012

Μαγική Εικόνα

2σχόλια
Να προστεθεί η Λευκή Βασίλισσα και παίζοντας τα λευκά να κάνουν ματ σε μία κίνηση και στα δύο διαγράμματα:
α) Διάγραμμα Α.
β) Να περιστραφεί η σκακιέρα προς τα δεξιά, κατά μήκος του νοητού κάθετου άξονα, κατά 180ο. (Ανθ. Σκακ. Παρ1./Σ.7/Νο.271)

Λύση

α)Διάγραμμα Όπως παρατηρείτε η Λευκή Βασίλισσα δεν μπορεί να τοποθετηθεί πουθενά αλλού παρά μόνο στη πρώτη οριζόντια γραμμή, λόγω του ότι τα λευκά πιόνια βρίσκονται στην αρχική τους θέση. Ούτε κανένα πιόνι δεν προήχθη σε βασίλισσα για τον ίδιο ανωτέρω λόγω. Τέλος η Βασίλισσα και ο Λευκός Βασιλιάς δεν θα διασταυρωθούν, έτσι υπάρχουν μόνο τέσσερα τετράγωνα που πρέπει να τοποθετηθεί νόμιμα η Βασίλισσα, στα τετράγωνα «α1» ή «β1» ή «γ1» ή «ζ1». Τα μόνο ενδεδειγμένα τετράγωνα είναι τα τετράγωνα «α1», και «ζ1», ώστε ο Λευκός παίζοντας 1.β3 ή 1.ε3 απειλεί σαχ και ματ. β)Ανεστραμμένη Εικόνα Ισχύει το ίδιο ανωτέρω σκεπτικό για την τοποθέτηση της Βασίλισσας, έτσι υπάρχουν μόνο τέσσερα τετράγωνα που πρέπει να τοποθετηθεί νόμιμα η Βασίλισσα, στα τετράγωνα «α1» ή «β1» ή «γ1» ή «δ1». Το μόνο ενδεδειγμένο τετράγωνο είναι το τετράγωνο «γ1», ώστε ο Λευκός παίζοντας 1.δ3 απειλεί σαχ και ματ.

Τα Σφαιρίδια

2σχόλια
 
Θέλουμε να γεμίσουμε ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων 10x10x5 cm με σφαιρίδια ακτίνας 1 cm. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός σφαιριδίων που μπορούμε να βάλουμε στο κουτί; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.516)

Λύση

Λύση του Batman1986. Θα βάλουμε τα σφαιρίδια ανά επίπεδα δηλαδή ανά διαφορετικό ύψος Στο πρώτο επίπεδο έχουμε 5 σειρές με 5 σφαιρίδια η καθεμία(αφού η διάμετρος του καθενός είναι 2cm άρα αν τα βάλουμε κατά μήκος και πλάτος έχουμε 5*2=10 πόντους άρα χωράνε οριακά).Άρα σύνολο 5*5=25 Στο 2ο επίπεδο ισχύει ακριβώς το ίδιο άρα μέχερι τώρα έχουμε 25+25=50 σφαιρίδια... Προς το παρόν το ύψος που έχουμε χρησιμοποιήσει είναι 4 από τους 5 πόντους Άρα μας μένει 1cm.Θεωρητικά δεν χωράνε άλλες μπάλες αλλά το μοντάρουμε ώστε να πιάνουν ύψος 1 πόντο. Αυτό γίνεται αν τις βάλουμε στο κέντρο 4 εφαπτομένων μπαλών του 2ου επιπέδου Αυτά τα σημεία είναι συνολικά 16 Άρα χωράνε συνολικά 50+16=66 μπάλες..

Σάββατο, 28 Απριλίου 2012

Ματ σε Μια Κίνηση

3σχόλια
 Από την αρχική θέση των κομματιών στην σκακιέρα αφαιρέστε από τα Λευκά όλα τα κομμάτια εκτός από τον Βασιλιά, την Βασίλισσα και τον Πύργο στο «α1» ή στο «θ1» και από τα Μαύρα αφαιρέστε όλα τα κομμάτια εκτός από τον Βασιλιά και δύο πιόνια, ώστε τα Λευκά να κάνουν ματ σε μια κίνηση. Υπάρχουν δύο λύσεις.
Παραλλαγή
Σε μια άδεια σκακιέρα τοποθετήστε τα εξής κομμάτια:
Λευκά: Τον Βασιλιά, την Βασίλισσα, κι’ ένα Πιόνι.
Μαύρα: Τον Βασιλιά και δύο μαύρα Πιόνια.
με τέτοιο τρόπο, ώστε τα Λευκά να κάνουν ματ σε μια κίνηση.
(Ανθ. Σκακ. Παρ1./Σ.5/Νο.265)

Αύξηση φόρου

2σχόλια
 Το υπουργείο Οικονομικών αύξησε τον φόρο προστιθέμενης αξίας (ΦΠΑ) από 17,50% σε 20%, στις 4 Ιανουαρίου του 2011. Μία τηλεόραση, πριν τις 4 Ιανουαρίου 2011, κόστιζε 1.000 ευρώ συμπεριλαμβανομένου του ΦΠΑ 17,50%. Πόσο θα κοστίζει τώρα η τηλεόραση με την αύξηση του φόρου; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.515)

Πέμπτη, 26 Απριλίου 2012

Ρετρό - Ανάλυση

2σχόλια
 
Στην ανωτέρω θέση ν’ απαντηθούν οι εξής δύο ερωτήσεις:
  • Πως προέκυψε η ανωτέρω θέση; Και...
  • Τι απάντησαν τα Λευκά, ώστε να κάνουν ματ τα Μαύρα στην επόμενη κίνηση;
Για την επίλυση των ερωτήσεων χρειάζεται, λίγη φαντασία και γνώση των κανόνω
του σκακιού. (Ανθ. Σκακ. Παρ1./Σ.7/Νο.269)

Τετάρτη, 25 Απριλίου 2012

Η Θέση Γρίφος!

7σχόλια
 
Ζυρίχη, 1986. Ο παγκόσμιος πρωταθλητής Kasparov και ο μεγάλος του αντίπαλος Karpov, ταξιδεύουν για τη Λουκέρνη. Ξαφνικά τους πλησιάζει ένας άγνωστος και τους προκαλεί να λύσουν τον εξής γρίφο:
«Μια παρτίδα ξεκινά, από την αρχική θέση, με την κίνηση «ε4» και τελειώνει στην 5η κίνηση, όπου ένας Ίππος "τρώει" ένα Πύργο και κάνει ματ!»
Ο γρίφος απασχόλησε τους δύο πρωταθλητές σε όλο το ταξίδι και τις δυο επόμενες μέρες στο ξενοδοχείο. Δεν μπόρεσαν να βρουν τη λύση!!! Πριν Φύγουν εμφανίζεται πάλι ο άγνωστος και δίνει στον Kasparov ένα φάκελο σφραγισμένο, όπου μέσα είχε τη λύση. Του ζητά να του τον επιστρέψει με τη λύση γραμμένη απ' έξω από τον φάκελο,  χωρίς φυσικά να τον έχει ανοίξει. Δεν πήρε απάντηση για πολλούς μήνες. Μια μέρα ο άγνωστος έλαβε ένα μήνυμα με έναν αριθμό  τηλεφώνου που του έλεγε ότι πρέπει να τηλεφωνήσει στον Kasparov αμέσως ! Ο άγνωστος τηλεφώνησε στον Kasparov, ο οποίος του είπε:
- " Θα σε σκοτώσω φίλε μου. Ξέρεις τι μου έχεις κάνει; Μ’ έχεις φέρει σε πολύ δύσκολη θέση".
Εκείνη τη στιγμή ο Kasparov ήταν μαζί με τον Botvinnik, προηγούμενος παγκόσμιος πρωταθλητής, στη σχολή τους. Ο Kasparov έδωσε στους μαθητές το γρίφο για να τον λύσουν. Όταν κι’ αυτοί δεν βρήκαν άκρη, του ζήτησαν τη λύση. Τι να τους πει; Ούτε κι’ αυτός την είχε βρει. Και το χειρότερο... ο φάκελος είχε χαθεί !!!
Ο άγνωστος τους είπε να προσπαθήσουν μια μέρα ακόμα. Αλλά και πάλι δεν βρήκαν την λύση. Όταν ο άγνωστος του έδωσε τελικά τη λύση δεν μπορούσε να πιστέψει ότι τρεις παγκόσμιοι πρωταθλητές και μια ολόκληρη σχολή δεν μπόρεσαν να βρουν τη λύση. Μήπως εσείς μπορείτε; (Ανθ. Σκακ. Παρ1./Σ.6/Νο.268)

Λύση

Πρόκειται για έναν από τους πιο δύσκολους γρίφους στην ιστορία του σκακιού... και βέβαια, προϋποθέτει τις εξής δύο παραδοχές (που δεν εμφανίζονται καθαρά στην εκφώνηση): 1. Το ματ το κάνει ο μαύρος στον λευκό (σύνολο κινήσεων 5λ + 5μ = 10, κι όχι ο λευκός στον μαύρο 5λ + 4μ = 9) 2. Υπάρχει η συνεργασία του άσπρου (σε βαθμό κακουργήματος)... 1.ε4,Ιζ6 2.Βε2,Ιxε4 3.ζ3,Ιη3 4.Βxε7+,ΒxΒε7+ 5.Ρζ2,ΙxΠθ1# Οι κινήσεις 2 & 3 του λευκού μπορούν να γίνουν κι αντίστροφα (δηλ. πρώτα η 2.ζ3... και μετά η 3.Βε2...). 1.ε4,δ6 2.ζ4,Ιζ6 3.Ρζ2,Ιη4 4.Ρη3,Ιζ2 5.Ιζ3,Ι:Πθ1 #

Ο Καθρέπτης

2σχόλια
Στον τοίχο κρέμεται ένας καθρέφτης. Το κάτω άκρο του βρίσκεται σε ύψος
ενός μέτρου από το δάπεδο. Πόσο μακριά πρέπει να απομακρυνθούμε από
τον καθρέπτη για να δούμε μέσα στον καθρέφτη τα παπούτσια μας;
Διευκρίνιση:
Θεωρήστε ότι το ανθρώπινο μάτι είναι σε ύψος 1,5μέτρo από το πάτωμα.  
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.514)

Λύση

Λύση του Ν.Lntzs.
Δυστυχώς δεν θα μπορέσουμε όσο και να απομακρυνθούμε. Αν όμως οπωσδήποτε θέλουμε να τα δούμε (όχι μέσα από τον καθρέπτη βέβαια), θα σκύψουμε και θα τα δούμε. Αν θέλουμε να τα δούμε μέσα από τον καθρέπτη θα ανέβουμε σε ένα σκαμπό, ύψους τουλάχιστο 50 εκατ. ή εναλλακτικά θα κατεβάσουμε τον καθρέπτη 25 εκατ. Υπάρχει βέβαια και η λύση να τα βγάλουμε και να τα δούμε είτε άμεσα, είτε να τα σηκώσουμε 50 εκατ. τουλάχιστον (πάνω περίπου από το γόνατο), για να τα δούμε μέσα από τον καθρέπτη.

Κυριακή, 22 Απριλίου 2012

Πασχα 2012!!

3σχόλια
Η Ανάσταση του Κ.Η.Ι.Χ.

Ελληνικά: "Χριστός Ανέστη!" 

Λατινικά: "Christus resurrexit! Resurrexit vere!"

Ιταλικά: "Cristo è risorto! È veramente risorto!"

Αγγλικά: "Christ is Risen! Truly He is Risen!" or 

Αγγλικά:"Christ is Risen! He is Risen indeed!"

Γαλλικά: "Le Christ est ressuscité! Il est vraiment ressuscité!"  

* * * * * * * * *
 Χριστός Ανέστη! Εύχομαι σε όλου Χρόνια Πολλά!
Είθε, ο Αναστημένος Χριστός να μας βοηθήσει  να 
ξεπεράσουμε την οικονομική κρίση, στην οποία 
έχουμε περιέλθει και να ζήσουμε καλύτερες ημέρες!

Παρασκευή, 20 Απριλίου 2012

Η Διαφωνία

3σχόλια
 Σε κάποια σκακιστική λέσχη ο Κώστα και ο Γιάννης έπαιζαν σκάκι. Κάποια στιγμή ένας που παρακολουθούσε την παρτίδα, άθελά του, έσπρωξε το τραπέζι με αποτέλεσμα να πέσουν στο πάτωμα η Λευκή Βασίλισσα και ο Μαύρος Βασιλιάς.
- «Εάν θυμάμαι καλά ο Βασιλιάς μου βρισκόταν στο τετράγωνο 
[α2]», είπε ο Γιάννης.
-  «Αποκλείεται,», απάντησε ο Κώστας, «Πως έφθασε εκεί; Αφού 
τα πιόνια μου «β2», «γ2», «δ2» και ο Αγ1 δεν κινήθηκαν από 
την αρχική τους θέση ακόμα, πως πέρασε ο Βασιλιάς σου;»
- «Έχεις δίκιο.», συμφώνησε ο Γιάννης, «Όμως που βρισκόταν ο Βασιλιάς μου;»
- «Να σου πω.», είπε ο Κώστας, «Εγώ θυμάμαι καλά ότι η Βασίλισσά μου βρισκόταν στο τετράγωνο (...). Με το δεδομένο αυτό σε όποιο νόμιμο τετράγωνο κι’ εάν βρισκόταν ο Βασιλιάς σου, εγώ κάνω ματ σε μία κίνηση».
Σε ποια θέση πρέπει να τοποθετήσουμε την Λευκή Βασίλισσα, ώστε όταν στην συνέχεια τοποθετήσουμε τον Μαύρο Βασιλιά, σε οποιαδήποτε νόμιμη θέση, τα Λευκά να κάνουν ματ σε μια κίνηση; (Ανθ. Σκακ. Παρ1./Σ.6/Νο.267)

Εταιρεία Καθαρισμού Κτιρίων

5σχόλια
Ο Ανδρέας, η Βασιλεία και ο Μάρκος έχουν μια επιχείρηση καθαρισμού παραθύρων πολυώροφων κτιρίων. Πολύ συχνά καλούνται από ένα εμπορικό κέντρο για τον καθαρισμό των παραθύρων των κτιρίων του. Έχουν διαπιστώσει ότι και οι τρεις μαζί μπορούν να ολοκληρώσουν το έργο αυτό σε 6 ώρες λιγότερο χρόνο, από την περίπτωση που θα το καθάριζε μόνος του ο Ανδρέας, 1 ώρα λιγότερο από την περίπτωση που θα το καθάριζε μόνη της η Βασιλεία και ½ ώρα λιγότερο από την περίπτωση που θα το καθάριζε μόνος του ο Μάρκος. Την επόμενη φορά που θα πρέπει να πλένουν τα παράθυρα του εμπορικού κέντρου μόνο ο Ανδρέας και η Βασιλεία θα είναι σε θέση να εργαστούν. Πόσο χρόνο θα τους πάρει για να ολοκληρώσουν τον καθαρισμό; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.513)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2012/03/blog-post_314.html

Πέμπτη, 19 Απριλίου 2012

Το Σχολείο

6σχόλια
Τα χωρά, στη περιοχή της Θεσσαλίας, Ταμασίου, Φουρνά, και Ξυνιάδα βρίσκονται στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ, βλέπε ανωτέρω σχήμα. Το χωριό Ταμασίου έχει 100 μαθητές, το χωριό Φουρνά έχει 200 μαθητές και το χωριό Ξυνιάδα έχει 300 μαθητές. Που πρέπει να κτιστεί το σχολείο, ώστε η συνολική απόσταση που καλύπτουν όλοι οι μαθητές για να πάνε σχολείο να είναι η ελάχιστη; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.512)
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2012/04/blog-post_7851.html

Λύση

Η Λύση του N Lntzs.
Ο φίλος batman1986 έκανε ένα λάθος, με αποτέλεσμα και η απάντησή
του να μην είναι σωστή. Έκανε μια αυθαίρετη παραδοχή " Για να μην
αδικηθεί κανένα χωριό το σχολείο θα πρέπει να χτισθεί ..." και
παρέσυρε και σένα να την δεχτείς ως σωστή. Επί πλέον το κέντρο
(Περίκεντρο - Ορθόκεντρο - Βαρύκεντρο - Έγκεντρο) του ισοπλεύρου
τριγώνου ισαπέχει των κορυφών αυτού όση και η ακτίνα R του
περιγεμμένου κύκλου αυτού που είναι R=(α*sqrt(3))/3,όπου α η
πλευρά του τριγώνου (και όχι (root(3)/4)*α αναφέρθηκε).
Το ερώτημα είναι:
"Που πρέπει να κτιστεί το σχολείο, ώστε η συνολική απόσταση που
καλύπτουν όλοι οι μαθητές για να πάνε σχολείο να είναι η ελάχιστη;".
Το πρόβλημα εγώ το αντιμετώπισα με μελέτη ακροτάτων συνάρτησης.
Συγκεκριμένα θεώρησα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και
τοποθέτησα σε αυτό τα τρία χωριά. Εικότερα το χωριό Γ με τους 300
μαθητές στη αρχή των αξόνων Ο(0,0) το χωριό Β με του 200 μαθητές
στον άξονα χ΄χ με Β(α,0) και το χωριό Α με τους 100 μαθητές στο
σημειο Α(α/2,α*sqrt3/2), ώστε να αποτελούν ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ
πλευράς α. Έστω Μ(x,y) το σημείο που πρέπει να κατασκευαστεί το
σχολείο με x στο διάστημα [0,α] και y στο διάστημα [α/2,α*sqrt3/2].
Ζητείται η ελάχιστη τιμή της παράστασης:
100(ΜΑ)+200(ΜΒ)+300(ΜΓ).
Εκφράζω συναρτήσει των συντεταγμένων τα μήκη των ΜΑ, ΜΒ και ΜΓ.
(ΜΑ)=sqrt((x-a/2)^2+(y-sqrt3/2)^2)
(ΜB)=sqrt((x-a)^2+y^2)
(ΜΓ)=sqrt(x^2+y^2).
Θεωρώ την συνάρτηση
φ(x,y)=100*sqrt((x-a/2)^2+(y-sqrt3/2)^2)+ 200*sqrt((x-a)^2+y^2)+
+300*sqrt(x^2+y^2), την οποία μελετώ ως προς τα ακρότατα και στα
διαστήματα που ορίζονται τα x,y.
Αυτή παρουσιάζει ελάχιστο για x=0, y=0, δηλαδή το ζητούμενο σημείο
Μ(x,y) ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων Ο(0,0).
Με άλλα λόγια το σχολείο πρέπει (όσο άδικο και αν είναι φίλε
batman1986) να κατασκευαστεί στο χωριό Γ (Τυχεροί οι μαθητές της
Ξυνιάδας), και η συνολική ελαχίστη απόσταση είναι 300*α.
(Στη λύση του φίλου batman1986 η συνολική ελαχίστη απόσταση είναι 600*α*sqrt3/3=300*α*sqrt3=346,4*α).
Υ.Γ.
Η μελέτη της συνάρτησης (με δύο μεταβλητές) ως προς τα ακρότατα
σκόπιμα παραλήφθηκε, γιατί ξεφεύγει από τις γνώσεις που έχει
κάποιος που οι γνώσεις του στα μαθηματικά περιορίζονται στην
εξεταστέα λυκειακή ύλη.

Τρίτη, 17 Απριλίου 2012

Μαγική Εικόνα

2σχόλια
 Στην ανωτέρω θέση, που πρέπει να τοποθετηθεί ο Μαύρος βασιλιάς, ώστε οποιοδήποτε μαύρο πιόνι κι’ εάν αφαιρέσουμε από την σκακιέρα, τα Λευκά να κάνουν ματ σε μια κίνηση; (Ανθ. Σκακ. Παρ1./Σ.4/Νο.262)

Η Αξιολόγηση

1 σχόλια
 Ένα σχολείο έχει 100 μαθητές. Οι 24 είναι κορίτσια και οι 32 αγόρια. Με ποιο σύστημα αρίθμησης έγινε η αξιολόγηση; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.511)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2012/03/blog-post_5221.html

Λύση

Η Λύση είναι του Batman1986.
Οι αριθμοί είναι σε 6-δικό σύστημα.Θα κάνουμε τη μετατροπή
σε δεκαδικό και θα δούμε ότι επαληθεύεται η πράξη:
32+24=100
100(6)=1*6^2+0*6^1+0*6^0=36(10)
24(6)=2*6^1+4*6^0=12+4=16(10)
32(6)=3*6^1+2*6^0=18+2=20(10)
Άρα 20+16=36

Δευτέρα, 16 Απριλίου 2012

Η Ημιτελής Κίνηση

2σχόλια
 Στην ανωτέρω θέση την κίνηση είχε ο Λευκός, ο οποίος προσπαθώντας να ολοκληρώσει την κίνησή του, από συναισθηματική φόρτιση, λόγω του ότι είχε κερδισμένο φινάλε, του πέφτει στο πάτωμα το κομμάτι που κράταγε στο χέρι του. Ο Λευκός σήκωσε το κομμάτι από το πάτωμα και το τοποθετεί στο τετράγωνο που ήθελε ολοκληρώνοντας έτσι την κίνησή του. Μπορείτε να βρείτε πια ήταν αυτή η ημιτελής κίνηση και πιο το κομμάτι που έπεσε στο πάτωμα; (Ανθ. Σκακ. Παρ1./Σ.3/Ν0.260)

Λύση

Ο Λευκός στην ανωτέρω θέση έκανε το μικρό Ροκέ. Αφού μετακίνησε τον
Βασιλιά του από το «ε1» στο «η1», έπιασε τον Πύργο στο «θ1» κι εκείνη
την στιγμή του έπεσε στο πάτωμα, οπότε σηκώνοντάς τον, τον τοποθέτησε
στο «ζ1»,ολοκληρώνοντας έτσι την κίνησή του και κάνοντας ματ.

Η Έρευνα

2σχόλια
 Ένα τσιγάρο έχει μήκος 8,5cm από τα οποία τα 2,5cm καταλαμβάνει το φίλτρο. Η διάμετρος μιας βάσης του είναι 0,8cm. Οι αναλύσεις του Υπουργείου Υγείας κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι περιέχει 0,5mg πίσσας ανά κυβικό εκατοστό καπνού και ότι το τσιγαρόχαρτο περιέχει 0,05mg πίσσας ανά τετραγωνικό εκατοστό χαρτιού.Πόσα mg πίσσας εισπνέει ημερησίως ένας καπνιστής που καπνίζει 15 τσιγάρα την ημέρα; 
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.510)
Διευκρίνιση:
Να θεωρήσετε ότι ο καπνιστής πετάει το τσιγάρο έχοντας καπνίσει τα 5cm από τα 6cm του τσιγάρου.
(Από το σχολικό βιβλίο της Β΄ Γυμνασίου.)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2011/12/blog-post_1810.html

Λύση

Η Λύση είναι του batman1986.
Ο καπνιστής ημερησίως εισπνέει 28,26mg.Θα βρούμε το εμβαδό του
τσιγαρόχαρτου(το οποίο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο αν το
ξετυλίξουμε με μικρή πλευρά την περίμετρο της βάσης του) και
τον όγκο του καπνού ο οποίος είναι κύλινδρος με κυκλική βάση 0,8cm.
Ακτίνα κύκλου:
ρ=0,8/2=0,4cm.
Όγκος κυλίνδρου:
V=(π*ρ^2)*ύψος=3,14*(0,4^2)*5=2,512cm^3
Εμβαδόν τσιγαρόχαρτου:
Α=περίμ.*ύψος=5*2*π*ρ=12,56cm^2
Άρα ημερήσια κατανάλωση mg πίσσας(για τα 15 τσιγάρα):
(V*0,5+Α*0,05)*15=(2,512*0,5+12,56*0,05)*15=28,26mg. ημερησίως.

Ο Στύλος

2σχόλια
Ένας στύλος της ΔΕΗ  ύψους 25μέτρων, το μεσημέρι, σχηματίζει μια σκιά 10μέτρων. Στον ίδιο χρόνο και στον ίδιο τον τόπο, πόσο ψηλός πρέπει να είναι ο στύλος, ώστε να σχηματίσει μια σκιά 25μέτρων;  
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.509)

Λύση

Ο στύλος της Δ.Ε.Η. πρέπει να έχει ύψος 62,50μ. Έστω «β» τα μέτρα
που πρέπει να είναι ο στύλος. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης
του προβλήματος έχουμε:
Κατάταξη:
Με 25μ. ύψος του στύλου σχηματίζεται 10μ. σκιά.
Στα «β»μ. ύψος του στύλου σχηματίζεται 25μ. σκιά.
β=(25*25)/10 --> β=625/10 --> β=62,50μ.

Κυριακή, 15 Απριλίου 2012

Τα Πουλιά

2σχόλια
Σε κάθε δέντρο ενός δάσους, υπάρχουν τόσα πουλιά, όσα είναι και τα δέντρα του δάσους. Π.χ. εάν υπάρχουν 5 δέντρα στο δάσος, τότε στο κάθε δέντρο κάθονται 5 πουλιά. Ο αριθμός των πουλιών κειμένεται μεταξύ των αριθμών 200 και 300. Πόσα δέντρα υπάρχουν στο δάσος;
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.508) 
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2012/03/blog-post_2439.html

Λύση

Λύση του batman1986.
Ουσιαστικά ψάχνουμε τους αριθμούς που είναι τέλεια τετράγωνα
στο διάστημα 200 εώς 300.Δηλαδή αυτούς που η ρίζα τους είναι
ακέραιος αριθμός. Η απάντηση δεν είναι μονοσήμαντη.
Μπορεί να υπάρχουν 15(15^2=225 πουλιά),16(16^2=256 πουλιά) ή
17(17^2=289 πουλιά) δέντρα, όλοι οι αριθμοί είναι σ' αυτό το
διάστημα.

Σάββατο, 14 Απριλίου 2012

Πάσχα 2012!!

2σχόλια
Εύχομαι σε όλους Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα!

Ένας Κοσμογυρισμένος…Μονάρχης

6σχόλια
Σε όλα τ’ ανωτέρω διαγράμματα η μόνη διαφορά μεταξύ τους είναι η διαφορετική θέση του Λευκού βασιλιά, δηλαδή, πρόκειται περί διδύμων προβλημάτων. Επίσης παρατηρούμαι ότι ο Μαύρος βασιλιάς βρίσκεται σε θέση πατ, που σημαίνει ότι η πρώτη κίνηση (κλειδί) του Λευκού πρέπει να δώσει ένα τετράγωνο φυγής στο Μαύρο μονάρχη.
(Ανθ. Σκακ. Παρ1./Σ.3/Νο.259)

Λύση

Α) 1.Ιδ2!,Ρδ4 2.Βε4#
Β) 1.Αδ5!,Ρ:Α 2.Βζ5#
Γ) 1.γ6,Ρ:δ6 2.Αγ7#
Δ) 1.Αε6!,Ρ:Α 2.Βε4#
Ε) 1.Βζ1!,Ρε4 2.Βζ4#
ΣΤ) 1.η4,Ρζ4 2.Βζ5#
Ζ) 1.Αα5,Ρ:ζ6 2.Αγ3#
Η) 1.Βθ1,Ρζ5 2.Βδ5#

Τρίτη, 10 Απριλίου 2012

Ρετρό – Ανάλυση σε Δίδυμο Πρόβλημα

4σχόλια
 
Τα Λευκά ανακαλούν την τελευταία τους κίνηση και στα δύο διαγράμματα και παίζουν μια άλλη και κάνουν ματ σε 1 κίνηση. Ποια ήταν η τελευταία κίνηση των Λευκών;  
(Ανθ. Σκακ. Παρ1./Σ.1/Νο.257) 

Η αλυσίδα

2σχόλια
Μία αλυσίδα με δύο κρίκους έχει μήκος 12 cm και με πέντε κρίκους έχει μήκος 27 cm. Ποιο θα είναι το μήκος της αλυσίδας με 40 κρίκους; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.506)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2012/04/blog-post_8827.html

Λύση

Λύση του batman1986.
Το μήκος της αλυσίδας είναι 202cm. Από τη διατύπωση της
εκφώνησης συμπεραίνουμε ότι θα έχουμε 2 εξισώσεις με 2
αγνώστους. Ο ένας είναι η στάνταρ απόσταση μεταξύ των
κέντρων των κρίκων της αλυσίδας, έστω «κ».Ο άλλος
είναι η διάμετρος ενός κρίκου, έστω «δ». Αυτό διότι
ανεξαρτήτως αριθμού κρίκων ο η απόσταση του κέντρου των
2 ακραίων κρίκων από το ελεύθερο άκρο ισούται όσο η ακτίνα
τους άρα συνολικά έχουμε απόσταση μιας διαμέτρου. Οι
ενδιάμεσες αποστάσεις ισούνται με «κ». Άρα:
δ+κ=12 (1)
δ+4κ=27 (2)
Αφαιρούμε κατά μέλη κι’ έχουμε:
δ+4κ=27
-δ-κ=-12
3κ=15 --> κ=15/3 --> κ=5cm. (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
δ+κ=12 --> δ+5=12 --> δ=12-5 --> δ=7cm.
Το ζητούμενο είναι το μήκος για 40 κρίκους.
δ+39*κ=7+39*5=202cm. ο.ε.δ.

Σάββατο, 7 Απριλίου 2012

Ρετρό - Ανάλυση

1 σχόλια
 Τα Λευκά ανακαλούν την τελευταία τους κίνηση, παίζουν μια άλλη και κάνουν ματ σε 1 κίνηση. Ποια ήταν η τελευταία κίνηση των Λευκών; (Ανθ. Σκακ. Παρ.1-Σ.1-Νο.256)

Το Δίλημμα

9σχόλια
Όλοι γνωρίζουμε ότι η διαγώνιος "α1-θ8" είναι σαφώς μεγαλύτερη 
της καθέτου "α1-α8". Τώρα γεννάται το ερώτημα, οι διαγώνιες
 "β1-θ7" και "γ1-θ6" είναι μεγαλύτερες ή μικρότερες  των καθέτων
 "β1-β7" και "γ1-γ6"; (Κατ.34/Πρβλ.Νο.507)

Λύση

Λύση του batman1986.
Η λογική είναι η εφαρμογή πυθαγορείου..
Έστω ότι κάθε τετράγωνο έχει πλευρά "α".
Άρα η διαγωνιός του β=ROOT(α^2+α^2)
Άρα β=α*ROOT(2)
Άρα μήκος β1-θ7:7*α*1,41 και β1-β7=7*α
Ομοίως γ1-θ6=6*α*1,41 και γ1-γ6=6*α
Άρα οι διαγώνιοι είναι μεγαλύτεροι και στις 2 περιπτώσεις...
****************************************************************
Το περίεργο είναι, ότι είναι μεγαλύτερες!! H διαγώνιος και στις
δύο περιπτώσεις είναι υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου συνεπώς
είναι μεγαλύτερη από τις κάθετες πλευρές.

Πέμπτη, 5 Απριλίου 2012

Μια Σύνθεση Προερχόμενη από Παρτίδα

4σχόλια
 
α)Παίζουν τα Λευκά και επιτυγχάνουν ματ σε 8 κινήσεις.
β)Είναι νόμιμη η θέση;
Δυστυχώς το πρόβλημα είναι "τρύπιο" και δεν διορθώνεται. Και τα δύο κλειδιά για τη λύση του είναι αποδεκτά. Μετά τη λύση του θ' αναρτήσω την παρτίδα, που κάτασκεύασε ο Bader Al-Hajiri από το Kuwait, από την οποία προήλθε η ανωτέρω θέση,με τη βοήθεια των Μαύρων φυσικά. 
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.2 & 90/Νο.10 & 225)

Η Παρτίδα:(του Bader Al-Hajiri)
 
1.η4,ε5 2.Ιθ3,Αα3 3.β:Α,θ5 4.Αβ2,θ:η4 5.Αγ3,Πθ4 6.Αδ4,ε:Α 7.Ιγ3,δ:Ι 
8.δ:γ3,η3 9.Βδ3,Πβ4 10.Ιζ4,η5 11.θ4,ζ5 12.θ5,δ5 13.θ6,Αδ7 14.θ7,η2
15.θ8=Α,η1=Π 16.Αδ4,Αα4 17.Πθ4,Πη3 18.Αη2,η:ζ4 19.Αε3, ζ:Α 
20.Αε4,ζ:Α 21.ζ:ε3,ε:δ3 22.ε:δ3,γ5 23.Πγ4,δ:Π 24.δ:γ4,β5 25.γ:β4,
Βα5 26.γ:β5,Ια6 27.β:α5,0-0-0 28.β:α6,Πδ4 29.ε:δ4,Πβ3 30.γ:Π,Ιε7 
31.β:α4,Ιδ5 32.δ:Ι,Ιβ6 33.γ:Ι,Ρβ8 34.β:α7+,Ρα8.

Κατωτέρω η παρτίδα που δημιουργήθηκε απο το σκακιστικό πρόγραμμα 
"Fritz9" σε 96 κινήσεις!!
1.g4 f5 2. Nf3 fxg4 3. Nd4 g3 4. Nf3 g2 5.Nd4 g1=Q 6. Nf3 Qg3 
7. Nh4 Qa3 8. bxa3 d6 9. Ng6 Bf5 10. Nh4 Bd3 11. exd3 g6 
12. Nf5 Bh6 13. Nh4 Be3 14. fxe3 Qd7 15.Nf5 Qa4 16. Nh4 Qd4
17. exd4 Nh6 18.Nf5 Rf8 19. Nh4 Rf5 20. Nf3 Rc5 21. dxc5 Nc6
22. Nd4 O-O-O 23. Ne2 Rf8 24. Ng3Rf4 25. Ne2 Rc4 26. dxc4 Nd4
27. Nf4 Nb3 28. cxb3 Nf7 29. Bb2 Nh6 30. Bf6 exf631. Bh3+ f5 
32. Bg4 fxg4 33. Nh5 g3 34.Nf6 g2 35. Nh5 g1=N 36. Ng3 Ne2 
37. Nh5Nd4 38. Ng3 Ne2 39. Nf5 Nc3 40. dxc3 Nf7 41. Nd2 Nh8
42. Nf3 Nf7 43. Ne5 dxe544. Rf1 e4 45. Rf3 exf3 46. Qd2 Nh6 
47.Qg2 fxg2 48. Ng7 g1=N 49. Nh5 Ne2 50.Ng7 Nf4 51. Nh5 Nd5 
52. Ng7 Nb6 53.Nh5 Na4 54. bxa4 b5 55. cxb5 g5 56. Ng7 g4 
57. Nh5 g3 58. Nf6 g2 59. Nh5 g1=B 60.Ng7 Bd4 61. Nh5 Kb8 
62. Ng7 Ka8 63. Nh5 c6 64. Ng7 Bf6 65. Nh5 Bd8 66. Ng7 Bb6 
67. cxb6 Nf5 68. Nh5 Ne7 69. Ng7 Nd5 70.Nh5 Nb4 71. cxb4 c5 
72. Ng7 c4 73.Nh5 c3 74. Ng7 c2 75. Nh5 c1=N 76. Ng7 Nb3 
77. Nh5 Na5 78. bxa5 h6 79. Ng7 h5 80. Nf5 h4 81. Ng3 hxg3 
82. h3 g2 83. h4 g1=N 84. h5 Nh3 85. h6 Ng5 86. h7 Nf7
87. h8=N Nd8 88. Ng6 Nf7 89. Ne7 Nd8 90.Nf5 Ne6 91. Nd4 Nc5 
92. Nb3 Na6 93.Nc5 Nb8 94. Na6 Nxa6 95. bxa6 Kb8 96. bxa7+ Ka8

Λύση

1.0-0-0!,Ρ:α7 2.Πδ8,Ρ:α6 3.Πδ7,Ρ:α5 4.Πδ6,Ρ:α4 5.Πδ5,Ρ:α3
6.Πδ4,Ρ:α2 7.Πδ3,Ρα1 8.Πα3#.Λίγο-πολύ το πρόβλημα μας θυμίζει
ένα αναβατόριο που κατεβαίνει από τον 8ο όροφο στο 1ο όροφο.
Δυστυχώς το πρόβλημα είναι «τρύπιο», δηλαδή έχει δεύτερη λύση.
Θα διορθωνόταν εάν μπορούσαμε να τοποθετήσουμε έναν λευκό
στρατιώτη στο «γ2» και έναν μαύρο στρατιώτη στο «γ3».Αλλά
δυστυχώς δεν γίνεται,διότι τα λευκά πιόνια στην στήλη «α»
προήλθαν από τα διαδοχικά παρσίματα των 15 μαύρων κομματιών
και ο μαύρος Βασιλιάς μας κάνουν συνολικά 16 κομμάτια. Συνεπώς
δεν γίνεται να τοποθετήσουμε μαύρο στρατιώτη στο «γ3»,διότι θα
είχαμε συνολικά 17 μαύρα κομμάτια, που είναι άτοπο. Δεν γίνεται
επίσης και για έναν άλλο λόγο. Ο λευκός στρατιώτης στο «α4»
προήλθε από το τετράγωνο «γ2»,οπότε δεν μπορούμε να τοποθετήσουμε
άλλο λευκό στρατιώτη στο «γ2».Για να δημιουργηθεί αυτή η στήλη με
τα πιόνια, αυτά πρέπει να κάνουν δεκαπέντε παρσίματα, δηλαδή να
παρθούν όλα τα μαύρα κομμάτια που λείπουν. Μέχρι εδώ καλά.
Φανταστείτε λευκά πιόνια από α2 μέχρι ζ2 και από πάνω τους μέσα
στο τρίγωνο α3-ε3-α7-α3 όλα τα μαύρα κομμάτια έτοιμα για πάρσιμο.
Τα μαύρα πιόνια ας είναι στις θέσεις α7, β6, γ5, γ4, γ3, δ4, δ3, ε3.
Το πρόβλημα είναι ότι τα μαύρα πιόνια χρειάζονται να πάρουν 11 λευκά
κομμάτια για να πάνε στις θέσεις τους, αλλά λείπουν μόνο 8 λευκά.
Δεύτερη Λύση:
1.Ρδ2!,Ρ:α7 2.Πε1,Ρ:α6 3.Πε7,Ρ:α5 4.Πε6,Ρ:α4 5. Πε5,Ρ:α3 6.Ργ3!,Ρ:α2
(εάν 6.- - -,Ρα4 7. Πγ5(ή ±,ή ζ5,ή η5,ή θ5),Ρα3 8.Πα5+) 7.Πε1,Ρα3
8.Πα1+ ή 1.- - -,Ρ:α7 2.Πε1,Ρβ8 3.Πε8+,Ρα7 4.Ργ3,Ρ:α6 5.Πε7,Ρ:α5
6.Πε6,Ρ:α4 7.Πε5,Ρ:α3 8.Πα5+. ή 1.- - -, Ρ:α7 2.Πε1,Ρβ8 3.Πε8+,Ργ7
4.α7,Ρδ6 5.α8=Β,Ργ5 6.Πδ8, Ργ4 7.Βγ6 (Βγ8+ )+ ή 1.- - -,Ρ:α7 2.Πε1,
Ρβ8 3.Πε8+,Ργ7 4.α7,Ρδ6 5.α8=Β,Ργ7 6.Πε7+,Ρδ6 7.Βδ8+,Ργ5 (Ργ6)
8.Πγ7+ ή 1.- - -,Ρ:α7 2. Πε1,Ρβ8 3.Πε8+,Ργ7 4.α7,Ρδ6 5.α8=Β,Ρδ7
6.Ββ8,Ργ6 7.Πδ8,Ργ5 8.Βγ7(Βγ8+ )+ ή 1.- - -,Ρ:α7 2.Πε1,Ρβ8 3.Πε8+,
Ργ7 4.α7,Ρβ7 5.α8=Β+,Ργ7 6.Πε7+,Ρδ6 7.Βδ8+,Ργ5 (Ργ6) 8.Πγ7+ ή
1.- - -,Ρ:α7 2.Πε1,Ρβ8 3.Πε8+,Ργ7 4.α7,Ργ6 5.α8=Β+,Ργ5 6.Πδ8,Ργ4
7.Βγ6 (Βγ8)+ ή 1.- - -,Ρ:α7 2.Πε1,Ρβ8 3.Πε8+,Ργ7 4.α7,Ργ6 5.α8=Β+,
Ργ7 6.Πε7+,Ρδ6 7.Βδ8+,Ργ5 (Ργ6) 8.Πγ7+ ή 1.- - -,Ρ:α7 2.Πε1,Ρβ8
3.Πε8+,Ργ7 4.α7,Ργ6 5.α8=Β+,Ρδ6 6.Ββ7,Ργ5 7.Πδ8,Ργ4 8.Βγ6 (Βγ8+ )+
ή 1.- - -,Ρ:α7 2.Πε1,Ρβ8 3.Πε8+,Ργ7 4.α7,Ργ6 5.α8= Β+,Ρδ7 6.Ββ8,Ργ6
7.Πδ8,Ργ5 8.Βγ7(Βγ8+)+ ή 1.- - -,Ρ:α7 2.Πε1,Ρβ8 3.Πε8+,Ργ7 4.α7,Ρδ7
5.α8=Β,Ρδ6 6.Ββ7,Ργ5 7.Πδ8,Ργ4 8.Βγ6 (Βγ8+ )+ ή 1.- - -,Ρ:α7 2.Πε1,
Ρβ8 3.Πε8+,Ργ7 4.α7,Ρδ7 5.α8=Β,Ργ7 6.Πε7+,Ρδ6 7.Βδ8+,Ργ5 (Ργ6) 8.Πγ7+.

Ο Γρίφος του Μάγειρα Aladin

5σχόλια
 Ο Aladin είναι μάγειρας σ’ ένα κοσμικό εστιατόριo  και πρέπει να ετοιμάσει το πιάτο της ημέρας για τον καλύτερο πελάτη του μαγαζιού. Ο Aladin γνωρίζει ότι το μυστικό για το συγκεκριμένο πιάτο είναι η σωστή ποσότητα αλατιού…, 5,5γραμμάρια ακριβώς. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει ο Aladin είναι το πως θα ζυγίσει τη ποσότητα που θέλει, λόγω του ότι έχει χαλάσει η ηλεκτρονική ζυγαριά που έχει και η μόνη ζυγαριά που έχει στη διάθεσή του για να ζυγίσει το αλάτι είναι μια παλιά ζυγαριά με δύο τάσια και δύο σταθμά, ένα 0,2γραμμαρίων και ένα 0,7γραμμαρίων. Το αλάτι που έχει μέσα σ’ ένα βαζάκι είναι ακριβώς 14γραμμάρια. Πως θα μπορέσει με τρεις μόνο ζυγίσεις  να ξεχωρίσει
ακριβώς 5,5γραμμάρια αλάτι; (Κατ.17/Πρβλ. Νο.24) 

Λύση

1η ζύγιση:
Καταρχάς το χωρίζει περίπου στη μέση τη ποσότητα αλατιού που διαθέτει
με τη βοήθεια του βαριδιού 0,2γρ., σε 7,1γρ. και 6,9γρ.
2η ζύγιση:
Έπειτα παίρνει την ποσότητα των 7,1γρ. και τη χωρίζει περίπου στη
μέση με τη βοήθεια του βαριδιού 0,7γρ., σε 3,9γρ. και 3,2γρ.
3η ζύγιση:
Τέλος χωρίζει στη μέση τα 3,2γρ., σε 1,6γρ. και 1,6γρ.
Εάν πάρει τη ποσότητα 1,6γρ., από τη 3η ζύγιση και τη ποσότητα 3,9γρ.
από τη 2η ζύγιση έχει την ζητούμενη ποσότητα αλατιού που χρειάζεται (1,6+3,9=5,5γρ.)!

Τετάρτη, 4 Απριλίου 2012

Mαγική Εικόνα

4σχόλια
 Στην ανωτέρω θέση που πρέπει να τοποθετηθεί ο μαύρος βασιλιάς, ώστε ο
λευκός να κάνει ματ σε 3 κινήσεις; Με τη βοήθεια του μαύρου φυσικά.
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.10/Νο.33)

Λύση

O βασιλιάς πρέπει να τοποθετηθεί στο α)«θ4» ή στο β)«θ6».
α)1.δ4!,Ρη4 2.ε4+,Ρθ4 3.η3+
α)1.δ4,Ρθ5 2.Βδ3,Ρη4/Ρθ4 3.Βθ3+
β)1.δ3+!,Ρθ5 2.ε4+,Ρθ4 3.η3#

Τρίτη, 3 Απριλίου 2012

Κίνηση Αναμονής

5σχόλια
Παίζουν τα λευκά και επιτυγχάνουν ματ σε 4 κινήσεις. 
(Ανθ. Σκακ. Παρ.-Σ.12-Νο.40)
 (v = Σημαίνει Δοκιμή)
Λύση
Δοκιμή:1.Βε5;,0-0!
Κλειδί:1.Ββ5+!!,Ρζ8 2.Βζ5+,Ρε8 3.Βε5!,Π~/Αγ3,Αη3 4.Ββ8/Β:Π+.
Διαπραγματεύεται το θέμα: "White to Play".

Η Έρευνα

1 σχόλια
Ένας επιστήμονας και ο βοηθός του ανέλαβαν μία έρευνα σε χημικό εργαστήριο, από την οποία θα εισπράξουν 85.116 €. Ο επιστήμονας θα απασχοληθεί για 42 μέρες και ο βοηθός του για 45 μέρες. Η ημερήσια αμοιβή του επιστήμονα είναι κατά 40% μεγαλύτερη της ημερήσιας αμοιβής του βοηθού του. Πόσα χρήματα θα εισπράξει ο καθένας στο τέλος της έρευνας; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.505)
(Πανελλήνιος Μαθηματικός διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2003-2004 Β΄ Γυμνασίου) 
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2011/11/blog-post_5882.html

Λύση

Λύση του N Lntzs.
Αν Χ η ημερησία αμοιβή του επιστήμονα και Ψ αυτή του βοηθού του,
τότε:
Χ = 1,4*Ψ και
42*Χ + 45*Ψ = 85.116 ή
(42*1,4 + 45)*Ψ=85.116 ή
Ψ=820 και Χ= 1.148
Άρα ο επιστήμονας θα εισπράξει
42*1.148 = 48.216 €
και ο βοηθός του
45*480 = 36.900 €.
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes