Πέμπτη, 19 Απριλίου 2012

Το Σχολείο

Τα χωρά, στη περιοχή της Θεσσαλίας, Ταμασίου, Φουρνά, και Ξυνιάδα βρίσκονται στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ, βλέπε ανωτέρω σχήμα. Το χωριό Ταμασίου έχει 100 μαθητές, το χωριό Φουρνά έχει 200 μαθητές και το χωριό Ξυνιάδα έχει 300 μαθητές. Που πρέπει να κτιστεί το σχολείο, ώστε η συνολική απόσταση που καλύπτουν όλοι οι μαθητές για να πάνε σχολείο να είναι η ελάχιστη; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.512)
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2012/04/blog-post_7851.html

Λύση

Η Λύση του N Lntzs.
Ο φίλος batman1986 έκανε ένα λάθος, με αποτέλεσμα και η απάντησή
του να μην είναι σωστή. Έκανε μια αυθαίρετη παραδοχή " Για να μην
αδικηθεί κανένα χωριό το σχολείο θα πρέπει να χτισθεί ..." και
παρέσυρε και σένα να την δεχτείς ως σωστή. Επί πλέον το κέντρο
(Περίκεντρο - Ορθόκεντρο - Βαρύκεντρο - Έγκεντρο) του ισοπλεύρου
τριγώνου ισαπέχει των κορυφών αυτού όση και η ακτίνα R του
περιγεμμένου κύκλου αυτού που είναι R=(α*sqrt(3))/3,όπου α η
πλευρά του τριγώνου (και όχι (root(3)/4)*α αναφέρθηκε).
Το ερώτημα είναι:
"Που πρέπει να κτιστεί το σχολείο, ώστε η συνολική απόσταση που
καλύπτουν όλοι οι μαθητές για να πάνε σχολείο να είναι η ελάχιστη;".
Το πρόβλημα εγώ το αντιμετώπισα με μελέτη ακροτάτων συνάρτησης.
Συγκεκριμένα θεώρησα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και
τοποθέτησα σε αυτό τα τρία χωριά. Εικότερα το χωριό Γ με τους 300
μαθητές στη αρχή των αξόνων Ο(0,0) το χωριό Β με του 200 μαθητές
στον άξονα χ΄χ με Β(α,0) και το χωριό Α με τους 100 μαθητές στο
σημειο Α(α/2,α*sqrt3/2), ώστε να αποτελούν ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ
πλευράς α. Έστω Μ(x,y) το σημείο που πρέπει να κατασκευαστεί το
σχολείο με x στο διάστημα [0,α] και y στο διάστημα [α/2,α*sqrt3/2].
Ζητείται η ελάχιστη τιμή της παράστασης:
100(ΜΑ)+200(ΜΒ)+300(ΜΓ).
Εκφράζω συναρτήσει των συντεταγμένων τα μήκη των ΜΑ, ΜΒ και ΜΓ.
(ΜΑ)=sqrt((x-a/2)^2+(y-sqrt3/2)^2)
(ΜB)=sqrt((x-a)^2+y^2)
(ΜΓ)=sqrt(x^2+y^2).
Θεωρώ την συνάρτηση
φ(x,y)=100*sqrt((x-a/2)^2+(y-sqrt3/2)^2)+ 200*sqrt((x-a)^2+y^2)+
+300*sqrt(x^2+y^2), την οποία μελετώ ως προς τα ακρότατα και στα
διαστήματα που ορίζονται τα x,y.
Αυτή παρουσιάζει ελάχιστο για x=0, y=0, δηλαδή το ζητούμενο σημείο
Μ(x,y) ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων Ο(0,0).
Με άλλα λόγια το σχολείο πρέπει (όσο άδικο και αν είναι φίλε
batman1986) να κατασκευαστεί στο χωριό Γ (Τυχεροί οι μαθητές της
Ξυνιάδας), και η συνολική ελαχίστη απόσταση είναι 300*α.
(Στη λύση του φίλου batman1986 η συνολική ελαχίστη απόσταση είναι 600*α*sqrt3/3=300*α*sqrt3=346,4*α).
Υ.Γ.
Η μελέτη της συνάρτησης (με δύο μεταβλητές) ως προς τα ακρότατα
σκόπιμα παραλήφθηκε, γιατί ξεφεύγει από τις γνώσεις που έχει
κάποιος που οι γνώσεις του στα μαθηματικά περιορίζονται στην
εξεταστέα λυκειακή ύλη.

6 σχόλια:

batman1986 είπε...

Θεωρούμε ως α την απόσταση όλων των χωριών μεταξύ τους άρα και το μήκος των πλευρών του ισόπολευρου.Για να μην αδικηθεί κανένα χωριό το σχολείο θα πρέπει να χτισθεί στο κέντρο του τριγώνου που είναι ταυτόχρονα ορθόκεντρο(σημείο τομής όλων των υψών) βαρύκεντρο(σημείο τομής διαμέσων) και το σημείο τομής των διχοτόμων...(ιδιότητα ισοπλεύρων)

Άρα χτίζεται στο κέντρο και κάθε χωρίο απέχει από αυτό

(root(3)/4)*α χιλιόμετρα

Papaveri είπε...

@batman1986
Μπράβο!! Η απάντησή σου είναι σωστή.

Ανώνυμος είπε...

Κατ αρχήν ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και ΧΡΙΣΤΟΣ ΑΝΕΣΤΗ.
Ο φίλος batman1986 έκανε ένα λάθος, με αποτέλεσμα και η απάντησή του να μην είναι σωστή. Έκανε μια αυθαίρετη παραδοχή " Για να μην αδικηθεί κανένα χωριό το σχολείο θα πρέπει να χτισθεί ..." και παρέσυρε και σένα να την δεχτείς ως σωστή. Επί πλέον το κέντρο(Περίκεντρο - Ορθόκεντρο - Βαρύκεντρο - Έγκεντρο) του ισοπλεύρου τριγώνου ισαπέχει των κορυφών αυτού όση και η ακτίνα R του περιγεμμένου κύκλου αυτού που είναι R=(α*sqrt(3))/3,όπου α η πλευρά του τριγώνου (και όχι (root(3)/4)*α αναφέρθηκε).

Το ερώτημα είναι:
"Που πρέπει να κτιστεί το σχολείο, ώστε η συνολική απόσταση που καλύπτουν όλοι οι μαθητές για να πάνε σχολείο να είναι η ελάχιστη;".

Το πρόβλημα εγώ το αντιμετώπισα με μελέτη ακροτάτων συνάρτησης.
Συγκεκριμένα θεώρησα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και τοποθέτησα σε αυτό τα τρία χωριά. Εικότερα το χωριό Γ με τους 300 μαθητές στη αρχή των αξόνων Ο(0,0) το χωριό Β με του 200 μαθητές στον άξονα χ΄χ με Β(α,0) και το χωριό Α με τους 100 μαθητές στο σημειο Α(α/2,α*sqrt3/2), ώστε να αποτελούν ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α.
Έστω Μ(x,y) το σημείο που πρέπει να κατασκευαστεί το σχολείο με x στο διάστημα [0,α] και y στο διάστημα [α/2,α*sqrt3/2].
Ζητείται η ελάχιστη τιμή της παράστασης:
100(ΜΑ)+200(ΜΒ)+300(ΜΓ).
Εκφράζω συναρτήσει των συντεταγμένων τα μήκη των ΜΑ, ΜΒ και ΜΓ.
(ΜΑ)=sqrt((x-a/2)^2+(y-sqrt3/2)^2)
(ΜB)=sqrt((x-a)^2+y^2)
(ΜΓ)=sqrt(x^2+y^2).
Θεωρώ την συνάρτηση
φ(x,y)=100*sqrt((x-a/2)^2+(y-sqrt3/2)^2) + 200*sqrt((x-a)^2+y^2) + 300*sqrt(x^2+y^2), την οποία μελετώ ως προς τα ακρότατα και στα διαστήματα που ορίζονται τα x,y.
Αυτή παρουσιάζει ελάχιστο για x=0, y=0, δηλαδή το ζητούμενο σημείο Μ(x,y) ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων Ο(0,0).
Με άλλα λόγια το σχολείο πρέπει (όσο άδικο και αν είναι φίλε batman1986) να κατασκευαστεί στο χωριό Γ (Τυχεροί οι μαθητές της Ξυνιάδας), και η συνολική ελαχίστη απόσταση είναι 300*α.
(Στη λύση του φίλου batman1986 η συνολική ελαχίστη απόσταση είναι 600*α*sqrt3/3=300*α*sqrt3=346,4*α).
Ν.Lntzs

Υ.Γ.1
Η μελέτη της συνάρτησης (με δύο μεταβλητές) ως προς τα ακρότατα σκόπιμα παραλήφθηκε, γιατί ξεφεύγει από τις γνώσεις που έχει κάποιος που οι γνώσεις του στα μαθηματικά περιορίζονται στην εξεταστέα λυκειακή ύλη.

Υ.Γ.2
Και πάλι με την ευκαιρία της Ανάστασης του Κυρίου, εύχομαι να αναστηθούν και οι ελπίδες όλων των Ελλήνων για καλύτερες ημέρες.

Papaveri είπε...

@Ν.Lntzs
Αγαπητέ μου φίλε Αληθώς Ανέστη και Χρόνια Πολλά! Σ' ευχαριστώ για τη διόρθωση και για την πολύ ενημερωτική ανάλυση της λύσης.

batman1986 είπε...

@Ν.Lntzs

Έχετε δίκιο ουσιαστικά βιάστηκα και δεν πρόσεξα καλά το ερώτημα.Πρέπει να λάβουμε υπόψη και το πλήθος των μαθητών αφού ζητά τη συνολική απόσταση που καλύπτουν όλοι οι μαθητές και όχι απλά το μήκος του δρόμου που συνδέει τα χωριά με το σχολείο....

batman1986 είπε...

Και αφού ρόλο παίζει η συνολική απόσταση απ όλους τους μαθητές είναι λογική η επιλογή του Γ αφού εκεί βρίσκονται οι περισσότεροι(300).(και τεκμηριώνεται πλήρως με την ωραία λύση του Ν. Lntzs)

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes