Σάββατο, 31 Μαρτίου 2012

Ρετρό-Ανάλυση

1 σχόλια
Στην ανωτέρω θέση τα λευκά έκαναν "ανάκληση" στη τελευταία 
τους κίνηση κι έπαιξαν μια άλλη  με την οποία κερδίζουν. Ζητείται 
να γίνει ανάλυση "προς τα πίσω" και ν’ απαντηθούν τα εξής:
α)Ποια κίνηση πήρε  πίσω ο λευκός.
β)Ποια κίνηση έπαιξε ο λευκός με την οποία κερδίζει.
Δηλαδή ο λευκός "παίρνει πίσω" τη τελευταία του κίνηση και 
παίζει μια άλλη με την οποία κερδίζει.  
(Ανθ. Σκακ. Παρ.-Σ.13-Νο.42)
(Από το διαγωνισμό της "Απογευματινής" στις 18-06-1986.)

Στο Σούπερ Μάρκετ

2σχόλια
 Σε ένα σούπερ μάρκετ, υπάρχουν δύο σειρές από καλά παρκαρισμένα καρότσια. Η πρώτη σειρά έχει δέκα καρότσια και είναι μήκους 2,9 m. Η δεύτερη σειρά έχει είκοσι καρότσια και είναι μήκους 4,9 m. Ποιο είναι το μήκος του ενός καροτσιού; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.504)
(International Kangaroo Mathematics Contest 2010, Grade 9-10)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2012/03/blog-post_7124.html

Λύση

Λύση του batman1986.
Το κάθε καρότσι έχει μήκος 1,1 μέτρα. Αν προσέξουμε τα καρότσια
τοποθετούνται το ένα μέσα στο άλλο τότε μόνο το μπροστινό
φαίνεται όλο το μήκος του ενώ στα υπόλοιπα [(ν-1), εάν «ν»
είναι συνολικά τα καρότσια] ένα κομμάτι Άρα για την σειρά της
1ης περίπτωσης έχουμε 9 καρότσια που φαίνεται ένα κομμάτι τους
ίδιου μήκους «χ» και 1 καρότσι που έχει όλο το μήκος του άρα «ψ»
(αυτό που ψάχνουμε). Άρα 9χ+ψ=2,9 (1)
Ομοίως για τη 2η σειρά της δεύτερης περίπτωσης έχουμε 19 καρότσια
που φαίνεται ένα κομμάτι του ιδίου μήκους «χ» και 1 καρότσι που έχει
όλο το μήκος του άρα «ψ» (αυτό που ψάχνουμε). Άρα 19χ+ψ=4,9 (2)
Αφαιρούμε την (1) από τη (2) κι’ έχουμε:
19χ+ψ= 4,9
- 9χ-ψ= -2,9
10χ=2 --> χ=2/10 --> χ=0,2 (3)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «χ» στην (1) κι’ έχουμε:
9χ+ψ=2,9 --> [(9*0,2)+ψ=2,9 --> 1,8+ψ=2,9 --> ψ=2,9-1,8 --> ψ=1,1μ.
Άρα το καρότσι έχει μήκος 1,1 μέτρα.

Παρασκευή, 30 Μαρτίου 2012

Ρετρό – Ανάλυση

2σχόλια
 Όπως βλέπετε στο ανωτέρω διάγραμμα τα Λευκά είναι ματ. Ποια ήταν η τελευταία κίνηση των μαύρων; (Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.13/Νο.43)

Πέμπτη, 29 Μαρτίου 2012

Ρετρό-Ανάλυση

3σχόλια
α)Παίζουν τα Λευκά και επιτυγχάνουν ματ σε 3 κινήσεις.
β)Τι το ιδιαίτερο παρουσιάζει αυτή η θέση; Είναι νόμιμη; 
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.17/Νο.54α)

Η Αποταμίευση

2σχόλια
 
Δύο δίδυμες αδελφές έχουν δύο διαφορετικά προγράμματα συνταξιοδοτικής αποταμίευσης. Η Ελπίδα ξεκινά ένα λογαριασμό συνταξιοδότησης στην ηλικία των 20 ετών, όπου καταθέτει 2000 € και στη συνέχεια αποταμιεύει 2000 € με επιτόκιο 7% ετησίως.  Αυτό το κάνει για 10 χρόνια και στη συνέχεια σταματά να καταθέτει κάθε χρόνο τα 2000 € και το ποσό που έχει μείνει τοκίζεται με επιτόκιο 7% το χρόνο.  Η άλλη αδελφή, η Σοφία, στα 20 της δεν είχε χρήματα και ξεκινά το συνταξιοδοτικό της πρόγραμμα στα 30 της. Καταθέτει και αυτή 2000 € και στη συνέχεια αποταμιεύει 2000 € με επιτόκιο 7% ετησίως. Αυτό το κάνει για 35 χρόνια. Ποια από τις δύο αδελφές θα έχει τα περισσότερα χρήματα στην ηλικία των 65 ετών; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.503)

Λύση

Λύση του N Lntzs.
Για να έχουμε μια απάντηση στο πρόβλημα αυτό πρέπει να δούμε
χωριστά τις δύο αποταμιεύσεις.
α)Ας ξεκινήσουμε με την Σοφία.
Αυτή κάνει ίσες (ετήσιες) καταθέσεις των 2000€ και για 35
χρόνια με επιτόκιο 7%
Αν εφαρμόσουμε τον τύπο των ίσων καταθέσεων
Σ=α(1+τ)[(1+τ)^ν-1]/τ
Όπου:
Σ: το συνολικό ποσό ύστερα από ν χρόνια,
α: η ετήσια κατάθεση
τ: Ο τόκος του ενός € και
ν: τα έτη των καταθέσεων,
έχουμε :
Σ=2000*1,07*(1,07^35-1)/0,07=295.826,9197
Η Σοφία λοιπόν θα λάβει 295.826,92€

β)Για την Ελπίδα εφαρμόζουμε αρχικά τον τύπο των ίσων
καταθέσεων με τις ίδιες προϋποθέσεις, αλλά για 10 έτη και
στην συνέχεια τον τύπο του ανατοκισμού που είναι
Σ=α(1+τ)^ν και για 35
και έτσι θα έχουμε:
Σ=[2000*1,07*(1,07^10-1)/0,07]* (1,07)^35 =315.676,6055
Η Ελπίδα λοιπόν θα λάβει 315.676,60€
Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι η Ελπίδα θα έχει τα
περισσότερα χρήματα.

Τετάρτη, 28 Μαρτίου 2012

Ρετρό-Ανάλυση

4σχόλια
 
α)Παίζουν τα Λευκά και επιτυγχάνουν ματ σε 2 κινήσεις.
β)Τι το ιδιαίτερο παρουσιάζει αυτή η θέση; Είναι νόμιμη;
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.17/Νο.54β) 

Η Pizza

3σχόλια
Ο Μάρκος έφαγε το μισό μιας πίτσας τη Δευτέρα. Την Τρίτη έφαγε το μισό του μισού που είχε απομείνει. Την Τετάρτη ομοίως. Αυτό συνέβαινε όλη τη βδομάδα. Τι μέρος της πίτσας έφαγε ο Μάρκος κατά τη διάρκεια όλης της εβδομάδας? (Κατ.4/Πρβλ. Νο.47)

Τρίτη, 27 Μαρτίου 2012

Το Κλουβί ή Η Σαρκοφάκος του Ταμερλάνου ή Ο Τάφος του Κόντε

2σχόλια
Παίζουν τα Λευκά και επιτυγχάνουν ματ σε 9 κινήσεις.
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.18/Νο.62)

Η Δύσκολη Μοιρασιά

4σχόλια
Να μοιράσετε 511€ (σε ολόκληρα €, όχι υποδιαιρέσεις του) και να τα τοποθετήσετε σε έναν αριθμό φακέλων, έτσι ώστε να μπορείτε να δώσετε οποιοδήποτε ποσό σας ζητηθεί από 1€ έως 511€ δίνοντας ένα αριθμό φακέλων χωρίς να τους έχετε ανοίξει. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός φακέλων που θα χρειαστείτε? (Κατ.4/Πρβλ. Νο.46)

Κυριακή, 25 Μαρτίου 2012

Ρετρό-Ανάλυση

4σχόλια
  Δικαιολογήστε εάν είναι δυνατόν να προκύψουν οι ανωτέρω θέσεις.
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.19/Νο.63)

Το Ταξίδι

2σχόλια
Ένα τρένο αναχωρεί από τον σταθμό στις 9 π.μ. με προορισμό μία πόλη που βρίσκεται 100km μακριά. Ταξιδεύει με 50km την ώρα και ανά 25km κάνει στάση προκειμένου να επιβιβαστούν άλλοι επιβάτες.
Κάθε στάση διαρκεί 10 λεπτά, και μετά από κάθε στάση, το αυξημένο βάρος των επιβατών μειώνει κατά 10% την ταχύτητα του τρένου. Τι ώρα θα φτάσει το τρένο στον προορισμό του?
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.502) 
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2011/04/blog-post_2299.html

Λύση

Λύση του Lntzs.
Aν η ταχύτητα μειώνεται κατα 10 % της ταχύτητας του τρένου που
είχε κατά την άφιξή του στην κάθε στάση τότε οι αντίστοιχες
τιμές αυτής θα ήταν:50km/h, 45km/h, 40,5km/h, και 36,45km/h και
οι αντίστοιχοι χρόνοι (σε sec)1.800, 2.000, 2.222,22 και 2.459,14.
Αν σε αθροίσουμε τους χρόνους αυτούς και προσθέσουμε και 1800sec(=30*60)
που είναι ο χρόνος επιβίβασης τότε η συνολική διάρκεια είναι 10.291,36sec
Αλλά 10.292sec=2h 51min 32 sec.
Επομένως θα αφιχθεί στην πόλη στις 11:51:32 π.μ.

Το Λάθος

2σχόλια
 Ένας συνταξιούχος πήγε στην τράπεζα, για να πάρει την επιστροφή φόρου, η οποία ήταν Χ ευρώ και Ψ λεπτά. Ο ταμίας της τράπεζας έκανε λάθος και του έδωσε Ψ ευρώ και Χ λεπτά. Ο συνταξιούχος, χωρίς να καταλάβει τίποτα, έφυγε και βγαίνοντας έξω πήρε μια φιάλη νερό, αξίας 50 λεπτών. Όταν πήγε στο σπίτι του, μέτρησε τα λεφτά και διαπίστωσε ότι είχε διπλάσιο ποσό από όσο έπρεπε να πάρει. Πόση ήταν η επιστροφή φόρου του συνταξιούχου?(Κατ.34/Πρβλ. Νο.501)
Διευκρίνιση:
Ο συνταξιούχος πριν πάει στην τράπεζα δεν είχε χρήματα πάνω του.
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2011/05/blog-post_5509.html

Λύση

Η επιστροφή του φόρου ήταν 16,33€. Έστω «χ» ευρώ και «ψ» λεπτά.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Ο συνταξιούχος έπρεπε να πάρει 100χ+ψ ευρώ ενώ ο ταμίας του έδωσε
κατά λάθος 100ψ+χ ευρώ. Σύμφωνα με τα δεδομένα της εκφώνησης έχουμε:
50+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ (1)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
50+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ --> 50+200χ+2ψ=100ψ+χ --> 200χ-χ=100ψ-2ψ-50 -->
199χ=98ψ-50 --> χ=(98ψ-50)/199 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την
διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "ψ" τις τιμές από το
1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη
συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "χ" είναι ο αριθμός 33
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «ψ» στη (2) κι’ έχουμε:
χ=(98ψ-50)/199 --> χ=[(98*33)-50]/199 --> χ=3.234-50/199 -->
χ=3.184/199 --> χ=16 (3)
Επαλήθευση:
Λανθασμένη επιστροφή φόρου από το ταμία: 33,16€
Πραγματική επιστροφή φόρου: 16,33€
Διαφορά:
33,16€-16,33€=16,83€ (16,33€+0,50€)
Χρησιμοποίησε 0,50€ για αγορά μιας φιάλης νερού, οπότε έμειναν:
33,16-0,50=32,66€
που αντιστοιχούν στο διπλάσιο ποσό από αυτό που έπρεπε να πάρει.
(16,33€*2)
50+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ --> 50+2*(100*16+33)=100*33+16 -->
50+2*(1.600+33)=3.300+16 --> 50+3.200+66=3.300+16 -->
3.316=3.316 ο.ε.δ.

Παρασκευή, 23 Μαρτίου 2012

Ματ σε Τρεις

3σχόλια
 Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις.
(Βιογ. Σκακ./Σ.48)

Λύση

Κλειδί: 1.Πε1!!(Δ 2.Β:δ5+3.Βγ4+),Βα4 2.Βε8+,Αγ6 3.Βε2+
1.--,Β:α6 2.Βε2+,Αγ4 3.Βε8+
Δύο Καθαρά Μάτ - Ηχώ.
Διαπραγματεύεται το Θέμα: " Άνοιγμα Γραμμών Τύπου Bristol και Loyd".

Πέμπτη, 22 Μαρτίου 2012

Ματ σε Δύο

10σχόλια
 Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.
Με αφορμή το σχόλιο που έκανε ο φίλος της ιστοσελίδας dmast στο 
προηγούμενο πρόβλημα σχετικά με τη αναφορά του στο βιβλίο του 
Τ. Σιαπέρα (1931-1994) "Το Σκάκι" το σημερινό πρόβλημα, 
αφιερωμένο στη μνήμη του,  είναι μια σύνθεση δικιά του που 
πήρε το πρώτο βραβείο στο Γιουγκοσλάβικο περιοδικό "ŠAH" το 1949. 
(Βιογρ. Σκακ./Σ.46)

Λύση

Τα μαύρα, προσπαθώντας να αποφύγουν το ματ, αυτομπλοκάρουν τα
τετράγωνα διαφυγής του μαύρου βασιλιά με έξι τρόπους.
Κλειδί: 1.Πδ8!,Πδ4 2.Ιβγ5#
(Το κλειδί δημιουργεί μια λευκή μπαταρία και απειλεί 2.Αζ5#)
1...,Βδ4 2.Βε2#
1...,Ιδ4 2.Πxε3#
1...,Πε4 2.Αβ5#
1...,Βε4 2.Πδ1#
1...,ε4 2.Ιβ2#

Η Ένδειξη

2σχόλια
Στα τρία δοχεία της ανωτέρω εικόνας υπάρχει η ίδια ποσότητα νερού. Ποια θα ήταν η ένδειξη στο τέταρτο δοχείο, εάν υπήρχαν μόνο δύο μικρές
σφαίρες? (Κατ.9Α΄/Πρβλ. Νο.12)

Λύση

Με δύο μικρές σφαίρες η ένδειξη στο δοχείο θα ήταν 150ml. Έστω «α»
ο όγκος στη μεγάλη σφαίρα, «β» ο όγκος στη μεσαία σφαίρα και «γ» ο
όγκος στη μικρή σφαίρα. Βάση των δεδομένων του προβλήματος θα έχουμε:
α+β+γ=210 (1)
α+2β+γ=240(2)
2γ+β=180 (3)
Από τη (3) συνάγουμε ότι:
2γ+β=180 --> β=180-2γ (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:
α+2β+γ=240 --> α+2(180-2γ)+γ=240 --> α+360-4γ+γ=240 -->
α-3γ=240-360 --> α-3γ=-120 --> α=3γ-120 (5)
Αντικαθιστούμε τις τιμές (4) και (5) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ=210 --> 3γ-120+180-2γ+γ=210 --> 4γ-2γ=210+120-180 -->
2γ=330-180 --> 2γ=150 --> γ= 150/2 γ=75ml (6)
Αντικαθιστούμε τη τιμή (6) στις (4) και (5) αντίστοιχα κι’ έχουμε:
β=180-2γ --> β=180-(2*75) --> β=180-150 --> β=30ml (7)
α=3γ-120 --> α=(3*75)-120 --> α=225-120 --> α=105ml (8)
Επαλήθευση:
α+β+γ=210 --> 105+30+75=210
α+2β+γ=240 --> 105+(2*30)+75=240 --> 105+60+75=240
2γ+β=180 --> (2*75)+30=180 --> 150+30=180 ο.ε.δ.
Λύση του batman1986.
Έστω "v" ο όγκος του υγρού και "z" της μεγάλης μπάλας "y" της μεσαίας
και "χ" της μικρής(όλα σε ml).
Έχουμε 3 εξισώσεις με 3 αγνώστους.
v+x+y+z=210 (1)
v+x+2y+z=240 (2)
v+2x+y=180 (3)
Εδώ το ζητούμενο είναι το v+2χ(2 μικρές μπάλες).
Αφιαρούμε τις 2 πρώτες ("2"-"1") κατά μέλη και έχουμε:
v+x+2y+z=240
-v-x-y-z=-210
y=30ml (4)
Οπότε η(3) γίνεται:
v+2x+y=180 --> v+2x+30=180 --> v+2x=180-30 --> v+2x=150ml η ένδειξη.

Τετάρτη, 21 Μαρτίου 2012

Η Μαγική Εικόνα!

4σχόλια
Στην ανωτέρω θέση τοποθετείστε τον Μαύρο Βασιλιά σε τέτοια θέση, ώστε τα Λευκά να κάνουν ματ σε 1 κίνηση!! Επίσης δικαιολογήστε την θέση που θα πάρει ο Μαύρος Βασιλιάς.
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.19/Νο.64)

Η Συμφωνία

2σχόλια
Ο Σπύρος προσελήφθηκε σε μια εταιρία κατασκευής ηλεκτρονικών
υπολογιστών, όπου έκανε την εξής συμφωνία με τον εργοδότη:
Θα εργαζόταν για 10 μήνες και ως αμοιβή θα έπαιρνε 2.900€ και ένα
φορητό υπολογιστή (Laptop).
Ο Σπύρος, όμως, εργάστηκε 6 μήνες και πήρε 1.300€ και το φορητό
υπολογιστή. Ποια ήταν η αξία του υπολογιστή;
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.500)

Λύση

Λύση του batman1986
Αφού σε 10 μήνες για αμοιβή παίρνει 2900 ευρώ και ένα λαπτοπ
(αξία χ ευρώ ας πούμε) τότε το μηνιάτικο είναι (2900+χ)/10
Άν δουλέψει 6 μήνες τότε σύμφωνα με την εκφώνηση παίρνει 1300
και το λαπτοπ. Άρα ο μισθός είναι χ+1300.
Θα βρούμε τι γίνεται για το λάπτοπ και τα καθαρά χρήματα εντός
εξαμήνου Θα πάρει τα 6/10 του λάπτοπ στο εξάμηνο και τα 6/10
των 2900 ευρώ προφανώς.
Για να δημιουργηθεί η παραπάνω μορφή γράφουμε:
χ+1300=χ+κ-(4/10)*χ=κ+(6/10)*χ
Άρα 1300=κ-(4/10)*χ
1300=(2900/10)*6-0,4*χ
1300=1740-0,4*χ
Άρα χ=1100 ευρώ αξίζει το λαπτοπ.

Τρίτη, 20 Μαρτίου 2012

ο Πρίγκιπας και η ... Σκιά του

2σχόλια
Παίζουν τα λευκά και επιτυγχάνουν ματ σε 7 κινήσεις.
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.20/Νο.66)

Λύση

1.Αη7!,Πη1 2.Αζ6,Πζ1 3.Αε5,Πε1 4.Αδ4,Πδ1 5.Αγ3,Πβ1
6.β4 (β3)+, Πβ2 7.Α:Π#

Ρετρό – Ανάλυση

2σχόλια
Μπορεί να προκύψει η ανωτέρω θέση σε παρτίδα;
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.20/Νο.67)

Ο Αγώνας Δρόμου

2σχόλια
 Σ’ έναν αγώνα δρόμου 10χλμ., μεταξύ τριών δρομέων αθλητών, κάθε δρομέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Τερματίζοντας ο νικητής ήταν 2χλμ. μπροστά από το δεύτερο και 4χλμ. μπροστά από το τρίτο. Πόσα χιλιόμετρα μπροστά από το τρίτο θα είναι ο δεύτερος όταν θα τερματίσει; 
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.499)

Λύση

Λύση του batman1986
Τη στιγμή που τερματίζει ο 1ος(έχοντας διανύσει δλδ 10 χλμ)
σύμφωνα με τα δεδομένα ο 2ος έχει διανύσει 8 χλμ και ο 3ος 6χλμ
άρα για 2ο και 3ο έχουμε εκείνη τη χρονική
8=ν1*τ , 6=ν2*τ
Άρα η αναλογία των ταχυτήτων τους είναι
ν2/ν3=4/3=1,33
Οπότε ο στον ίδιο χρόνο ο 2ος διανύει αναλογικά 1,33 παραπάνω
φορές τα χιλιόμετρα που διανύει ο 3ος
Άρα όταν τερματίσει ο 2ος η διαφορά τους θα είναι
δχ=10-(10/(4/3))=10-7,5=2,5 χλμ

Το Μπέρδεμα

4σχόλια
Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 1 κίνηση!
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.20/Νο.68)

Λύση

Παρατηρώντας τη σκακιέρα βλέπουμε ότι δεν είναι σωστά τοποθετημένη.
Το τετράγωνο "α1" είναι λευκό αντί για μαύρο. Συνεπώς πρέπει να
περιστρέψουμε τη σκακιέρα κατά 90 μοίρες, δεξιά ή αριστερά, οπότε το
πιόνι "β3" ή "η6" γίνεται "γ7" κι έτσι έχουμε:
Περιστροφή Δεξιά: 1.γ8 = Β ± ή Π±.
Περιστροφή Αριστερά: 1.γ8 = Α ± ή Β ±

Οι Σήραγγες

4σχόλια
 Ένα τρένο κινείται με σταθερή ταχύτητα. Ο χρόνος, που μεσολαβεί από τη στιγμή που θα εισέλθει σε μια σήραγγα μήκους 180 m μέχρι τη στιγμή που και το τελευταίο του βαγόνι θα εξέλθει απ´ αυτή, είναι 12 sec. Σε μια δεύτερη σήραγγα, μήκους 930 m, ο αντίστοιχος χρόνος που μεσολαβεί μέχρι τη στιγμή που και το τελευταίο του βαγόνι θα εξέλθει απ´ αυτή είναι 42 sec. Να βρείτε την ταχύτητα και το μήκος του τρένου. 
(Από το βιβλίο των Μαθηματικών της Γ΄ Γυμνασίου.)
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.498)

Λύση

Λύση του batman1986
Από τη στιγμή που η "μούρη" του τρένου μπαίνει μέχρι τη στιγμή που
φτάνει στην έξοδο έχει διανύσει το μήκος της γέφυρας.Μέχρι όμως να
εξέλθει και το τελευταίο βαγόνι διανύσει άλλο τόσο μήκος όσο αυτό
του τρένου....
Άρα 2 εξισώσεις με 2 αγνώστους("v" την ταχύτητα και "μ" το μήκος του
τρένου) ανάλογα με τη σήραγγα:
μ+180=12v (1)
μ+930=42v (2)
Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε:
μ+930=42v
-μ-180=-12v
750=30v -->ν=750/30 --> v=25 m/sec (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι' έχουμε:
μ+180=12v--> μ+180=12*25--> μ+180=300--> μ=300-180-->μ=120μ.(4)
Άρα η ταχύτητα του ήταν 25m/sec και το μήκος του τρένου ήταν 120μ.

Κυριακή, 18 Μαρτίου 2012

Η Μαγική Εικόνα

5σχόλια
 Στη ανωτέρω θέση είναι σειρά των Λευκών να παίξουν. Τη στιγμή που η Όλγα ανήγγειλε στον Λένσκυ ότι έχει ματ σε 4 κινήσεις, χωρίς να το θέλει, ρίχνει τον  Αξιωματικό της στο πάτωμα. Ποια ήταν η θέση του Αξιωματικού πριν πέσει στο πάτωμα, ώστε τα Λευκά να πραγματοποιήσουν το ματ σε 4 κινήσεις;
Η ανωτέρω θέση προέρχεται από το λυρικό έμμετρο μυθιστόρημα "Ευγένιος Ονέγκιν" (Yevgeny Onegin) του Aleksandr Sergeyevich Pushkin, που άρχισε να το γράφει το Μάϊο του 1823 και εκδόθηκε το 1833, στο 4ο (6ο;) Κεφάλαιο, Στροφή 26η αναφέρει μια παρτίδα σκακιού που έπαιζαν ο Λένσκυ με την  Όλγα, που το δημοσίευσε το 1870 ο Ρώσος σκακιστής M. Schoumoff.
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.29/Νο.99)

Η Αγορά

2σχόλια
Πληρώσατε 12 ευρώ για στυλό που αγοράσατε και σας έδωσαν 2 στυλό επί πλέον ως δώρο. Αυτό είχε σαν συνέπεια τη μείωση του κόστους της αγοράς τους, από την αρχική τους αξία,  κατά ένα ευρώ. Πόσα στυλό αγοράσατε και ποια είναι ή αρχική αξία του κάθε στυλό πριν από τα δύο στυλό που σας έδωσαν ως δώρο; (Κατ.27/Πρβλ. Νο.329)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2012/02/2_6146.html

Λύση

Λύση Ανώνυμου.
Η αρχιή τιμή των στυλό είναι 3 euro ο ένας. Η αρχική ποσότητα ήταν 4
στυλό και μετά εγιναν 6. Άρα και η τιμή ανά μονάδα έπεσε στα 2 euro.

Σάββατο, 17 Μαρτίου 2012

Mαγική Εικόνα και Ρετροανάλυση

2σχόλια
Στη πίεση του χρόνου ο Λευκός "μπερδεύτηκε" με τα κομμάτια του και ... του έπεσε ο βασιλιάς του από τη σκακιέρα. Ο Λευκός έβαλε τον βασιλιά του στη θέση του και ανήγγειλε ματ σε 3 κινήσεις.
α) Τοποθετείστε το βασιλιά σ’ ένα τετράγωνο, όπου τα Λευκά κάνουν  ματ σε 3 κινήσεις.
Προσέξτε τις παγίδες!
β)Πως προήλθε η θέση μετά από τη τοποθέτηση του βασιλιά στη σκακιέρα; 
(Ρετρό-Ανάλυση) 
Το ανωτέρω διάγραμμα τυπώθηκε σε ευχετήρια Χριστουγεννιάτικη κάρτα.
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.31/Νο.103)

Ο Βιβλιοφάγος

3σχόλια
Στο ράφι μιας βιβλιοθήκης βρίσκεται ένα  βιβλίο που αποτελείται από τρεις τόμους. Ο κάθε τόμος έχει πάχος 3,50 εκατοστά. Το σκουλήκι ο βιβλιοφάγος, της οικογένειας bibliofagus, σέρνεται από την πρώτη σελίδα του πρώτου τόμου μέχρι την τελευταία σελίδα του τρίτου τόμου. Ποια είναι η απόσταση που διέσχισε ο βιβλιοφάγος; 
Διευκρίνιση:
Tο πάχος του εξώφυλλου δεν υπολογίζεται.
(Κατ.27/Πρβλ. Νο.328)

Λύση

Λύση του batman1986.
Αν κατάλαβα καλά 3,5 εκατοστά δηλαδή διέσχισε τον 2ο τόμο.
Αυτό με δεδομένο ότι οι εγκυκλοπαίδειες τοποθετούνται από
τα αριστερά προς τα δεξιά με άυξουσα σειρά.Άρα η 1η σελίδα
του 1ου τόμου είναι σε επαφή με την τελευταία σελιδα του
2ου τόμου και η τελευταία σελίδα του 3ου τόμου σε επαφή με
την πρώτη του 2ου.Άρα εφόσον αμελούνται τα εξώφυλλα διασχίζει
μόνο το πάχος των σελίδων του 2ου τόμου δηλαδή 3,5 εκατοστά.

Παρασκευή, 16 Μαρτίου 2012

Η Μαγική Εικόνα!

2σχόλια
Στο ανωτέρω διάγραμμα τοποθετείστε τον Λευκό Βασιλιά και ένα Στρατιώτη, με τέτοιο τρόπο, ώστε τα λευκά να κάνουν ματ σε 3 κινήσεις στα Μαύρα!!
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.32/Νο.107) 

Πέμπτη, 15 Μαρτίου 2012

Μιά ΄Εξυπνη Επινόηση

3σχόλια
 
Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 1 κίνηση. Έχει δύο λύσεις.
Το ανωτέρω πρόβλημα συνοδεύεται και από την εξής ιστορία:
Όταν ο Sam Loyd πήγαινε στο σύλλογό του συνήθιζε να δείχνει στους φίλους
του τις συνθέσεις που έκανε δίδοντας τους 30΄ για να τις λύσουν. Και όταν
αδυνατούσαν να τις λύσουν, τότε τους έδειχνε τις λύσεις. Ορισμένοι όμως, αντί
να παραδεχθούν την αδυναμία τους προσπαθούσαν να τη καλύψουν με το εξής
αφελές τέχνασμα, όταν τους έδειχνε τη λύση έκαναν ότι ξαφνιάζονται λέγοντας, του:
- «Ώστε τα λευκά πιόνια πάνε προς αυτή τη κατεύθυνση; Κι’ εμείς νομίζαμε ότι
πήγαιναν προς την αντίθετη κατεύθυνση! Γι’ αυτό αγαπητέ Sam, δεν μπορούσαμε
να λύσουμε το πρόβλημα σου.»
Για να τους τιμωρήσει τους έδωσε να λύσουν το ανωτέρω πρόβλημα σε 5΄.
Ακουστήκαν διάφορα ειρωνικά σχόλια. Αλλά, όταν πέρασαν τα 5΄ άρχισε να τους
ειρωνεύεται αυτός, λέγοντας τους:
Τι τους είπε; (Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.36/Νο.115)

Λύση

- «Κύριοι, είναι τόσο απλό, που δεν χρειάζεται πολύ σκέψη και
φιλοσοφία. Τα λευκά παίζουν απλά τη κίνηση 1.β:Ι=Β ή Α±.»
- «Ώστε αυτή ήταν η λύση! Κι’ εμείς νομίζαμε ότι τα πιόνια
πηγαίνουν προς την αντίθετη κατεύθυνση!»
- «Αλήθεια; Τότε γιατί δεν παίζατε τη κίνηση 1.η8=Β ή Π±;»
(Εάν περιστρέψουμε τη σκακιέρα κατά 180 μοίρες το πιόνι "β2"
μετατρέπεται στο συμμετρικό του "η7".)
Φυσικά απάντηση δεν πήρε, αλλά τους έδωσε ένα καλό μάθημα,
ώστε να μη τον ειρωνευτούν άλλη φορά!

Ματ σε Μισή Κίνηση!

2σχόλια
Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε ...½  κίνηση!
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.44/Νο.126)

Λύση

Τα λευκά για να πραγματοποιήσουν το ματ σε ½ κίνηση πρέπει
να ολοκληρώσουν το μικρό ροκέ τους. Δηλαδή πρέπει να παίξουν
το Πθ1 στο ζ1 σαχ και ματ!!

Τετάρτη, 14 Μαρτίου 2012

Το Λάθος

5σχόλια
Ένας αγοραστής μέτρησε το μήκος του λάστιχου ποτίσματος που χρειαζόταν για τον κήπο του και έγραψε το μήκος σε ένα χαρτί, "χ" μέτρα και "ψ" εκατοστά. Ο πωλητής έκανε λάθος και του έδωσε "ψ" μέτρα και "χ" εκατοστά. Όταν ο αγοραστής χρησιμοποίησε 3,50 μέτρα, διαπίστωσε ότι είχε στη διάθεσή του ακόμα διπλάσιο μήκος λάστιχου ποτίσματος από αυτό που έγραψε αρχικά στο χαρτί. Να βρείτε το πραγματικό μήκος του λάστιχου ποτίσματος που μέτρησε ο αγοραστής.
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.497)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2012/01/blog-post_3925.html
(Παγκύπριος Μαθηματικός διαγωνισμός 2007)
 Λύση
Λύση του batman1986
Μετατρέποντας τα πάντα σε κοινές μονάδες(ας πούμε εκατοστά)
Ο αγοραστής σημείωσε στο χαρτί χ*100+ψ εκατοστά ενώ του
δώσαν ψ*100+χ εκατοστά
Σύμφωνα με τα δεδομένα της εκφώνησης έχουμε
350+2*(χ*100+ψ)=ψ*100+χ
Θα χρειαστεί διερεύνηση ακέραιων λύσεων χ,ψ αφού
μετατρέψαμε τα πάντα σε εκατοστά
Η λογική είναι να λύσουμε ως προς
χ=(98*ψ-350)/199
Πρέπει να κάνουμε δοκιμές δοκιμές ακέραιων ψ, ώστε χ=ακέραιος
Με χρήση εξέλ βρήκα για διάφορες δοκιμές ότι για ψ=32 χ=14
Άρα το πραγματικό μήκος είναι 32 μέτρα και 14 εκατοστά.

Ενα Διάγραμμα Τέσσερα Προβλήματα

2σχόλια
 Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 2 κινήσεις και στα τέσσερα προβλήματα.
(Ανθ. Σκακ. Παρ.-Σ.43-Νο.123)

Λύση

Λύση του batman1986
Η λογική και στα 4 είναι παρόμοια.Το κλειδί είναι πάντα
η κίνηση ενός εκ των 2 λευκών ίππων...(αυτό γίνεται
εμφανές και από το γεγονός ότι το τετράγωνο δ3
υπερπροστατεύεται από τους 2 λευκούς ίππους.Άρα ένας
δεν χρειάζεται)
Άρα έχουμε για κάθε περίπτωση:
α)1.Ιβ4-γ2!,Ρε4-ε5
2.Βα7-δ4#
1.Ιβ4-γ2!,Ρε4-ζ4
2.Βα7-ε3#
β)1.Ιβ2-δ3!,Ρε4-δ4
2.Ββ8-ε5#
1.Ιβ2-δ3!,Ρε4-ε3
2.Ββ8-ζ4#
γ)1.Ιβ4-δ5!,Ρε4-ε5
2.Βθ6-ζ4#
1.Ιβ4-δ5!,Ρε4-δ4
2.Βθ6-ε3#
δ)1.Ιβ4-γ6!,Ρε4-ε3
2.Βθ8-δ4#
1.Ιβ4-γ6!,Ρε4-ζ4
2.Βθ8-ε5#

Τρίτη, 13 Μαρτίου 2012

To Κλουβί ή Η Σαρκοφάγος του Ταμερλάνου ή Ο Τάφος του Κόντε

2σχόλια
Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 12 κινήσεις. Ίσως, κάποιος,  να αναρωτηθεί πως είναι δυνατόν δύο λευκά κομμάτια να νικήσουν τα υπεράριθμα κομμάτια των μαύρων; Και όμως, είναι εφίκτό, λόγω της θέσεως του μαύρου Βασιλιά. Μια αέναει πάλη του πνεύματος επάνω στην ύλη. Φυσικά, ο τελικός νικητής είναι το πνεύμα.
(Ανθ. Σκακ. Παρ.-Σ.47-Νο.132)

Το Κυνηγητό

2σχόλια
Ένα αγόρι και ο σκύλος του τρέχουν σε μια κυκλική τροχιά με σταθερή ταχύτητα. Το αγόρι μπορεί να τρέξει μια φορά γύρω από την πίστα σε έξι λεπτά, και ο σκύλος του σε τέσσερα λεπτά. Σε πόσα λεπτά το αγόρι θα έχει προσπεράσει δύο φορές  τον σκύλο του;
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.496) 

Λύση

Λύση του N. Lntzs
Το αγόρι δεν πρόκειται να προσπεράσει ποτέ τον σκύλο, γιατί η
ταχύτητά του Uα, είναι μικρότερη από την ταχύτητα του σκύλου
Uσ (ισχύει: 6*Uα=4*Uσ).
Αντίθετα ο σκύλος θα προσπεράσει για πρώτη φορά το αγόρι σε 12
λεπτά (ΕΚΠ(3,4)=12) και δύο φορές με την συμπλήρωση των 24 λεπτών.

Πέμπτη, 8 Μαρτίου 2012

Ο Τοίχος

2σχόλια
Μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν ορθογώνιο τοίχο με 18 τούβλα διαστάσεων 10cm*20cm;
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.495)
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2012/02/blog-post_147.html

Λύση

Τρεις σειρές από 6 τούβλα η κάθε σειρά (και όχι μόνο).
Διαστάσεις τοίχου:30cm Χ 120cm.
Ή έξι σειρές από 3 τούβλα η κάθε σειρά.
Διαστάσεις τοίχου:60cm Χ 60cm.

Μια Ασυνήθιστη Συνεργασία

2σχόλια
Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 12 κινήσεις. Στην ανωτέρω 
εντυπωσιακή θέση, παρουσιάζεται ένα ασυνήθιστο είδος  
"συνεργασίας", όπου όλα τα κομμάτια συνεργάζονται 
για την επίτευξη του κοινού σκοπού,το Ματ!!  
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.49/Νο.137)

Λύση

1.Ιε8(Δ 2.Ιζ6±,εμποδίζοντας τη προαγωγή των μαύρων πιονιών.),
Ρε4 2.Ιζ6+,Ρζ5 3.Ιθ5,Ρε4 (εάν 3....,θ1=Ι 4.ζ3,~ 5.Ιη7-)
4.Ιη3+,Ρδ5 5.Ι:ε2 (Το πρώτο μέρος του σχεδίου πραγματοποιήθηκε,
αλλά επί πλέον Δ 6.Ιγ3±),Ρε4 6.Ιγ3+,Ρζ5 7.Ιβ5(Δ 8.Ιδ6±),Ρε4
8.Ιδ6+,Ρδ5(σ’ αυτό το σημείο προκύπτει η αρχική θέση με τη μόνη
διαφορά ότι λείπει το επικίνδυνο πιόνι "ε2".) 9.Ιδ3(Δ 10.Ιβ4±,
αυτή την κίνηση δεν μπορούσε να τη παίξει στην αρχή λόγω της
προαγωγής του πιονιού "ε2" σε Βασίλισσα υποστηρίζοντας το
τετράγωνο "β4".Επίτευξη δευτέρου μέρους του σχεδίου.),Ργ6 10.δ5+!,
Ργ7(εάν 10....,Ρ:δ5 11.Ιβ4 +,Ρε5 12.ζ4±) 11.Ιβ4,Ρβ8 12.Ια6±.
(Δ = Σημαίνει Απειλεί).

Τετάρτη, 7 Μαρτίου 2012

Ρετρό - Ανάλυση

1 σχόλια
Παίζουν τα λευκά, τα οποία ανακαλούν μια κίνηση και κάνουν ματ σε 1 κίνηση.
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.61/Νο.160)

Τρίτη, 6 Μαρτίου 2012

Μιά θέση για τη Βασίλισσα! (Ρετρό-Ανάλυση)

2σχόλια
Λευκά:Paul:Ρη6,Β(;),Ιδ2,Σα2,β2(κομ.5)
Μαύρα:Pierre:Ρα1(κομ.1)
Στην απέραντη βιβλιογραφία του καλλιτεχνικού σκακιού, 
υπάρχει ένα κεφάλαιο όπου αναφέρεται στ’ 
"αφηγηματικά - προβλήματα".  Προβλήματα εξαιρετικώς 
πνευματώδη διανθισμένα με κάποια αφηγηματική ιστορία.
Ένα πρόβλημα αυτού του είδους βασίζεται συνήθως σε 
κάποιο ευφυές εύρημα του συνθέτη, ο οποίος στη 
συνέχεια "έντυσε" το πρόβλημα του με κάποια αφήγηση.
Πρόκειται όμως για μια αφήγηση "ουσιαστική", γιατί σ’ 
αυτή ο λύτης θα βρει διάφορα επεξηγηματικά στοιχεία, 
απαραίτητα για τη λύση του προβλήματος.Κυριώτερος 
εκπρόσωπος των αφηγηματικών προβλημάτων ήταν ο 
Αμερικανός διάσημος συνθέτης Sam Loyd (1844 - 1911). 
Σ’ αυτή τη κατηγορία ανήκει και το ανωτέρω πρόβλημα 
τ΄ οποίο συνοδεύεται και από την εξής ιστορία:
Δύο φίλοι, ο Paul και ο Pierre, κάποιο απόγευμα έπαιζαν 
σκάκι στο καφενείο της γειτονιάς τους. Δεν ήταν, βέβαια, 
σκακιστές μεγάλης δυναμικότητος. Έτσι εξηγείται ότι 
Pierre εξακολουθούσε τον άπελπι αγώνα, παρ’ όλη την 
υπεροχή που είχε ο Paul, με την κρυφή ελπίδα ότι ο  
Paul θα έκανε κάποιο λάθος που θα οδηγούσε τη 
παρτίδα σε πατ, δηλαδή σε ισοπαλία. Σε κάποια στιγμή ο  
Paul, που κατώρθωσε να εγκλωβίσει το βασιλιά του  
Pierre στη γωνία της σκακιέρας, φώναξε θριαμβευτικά:
- "Επιτέλους, τώρα είσαι ματ στην επόμενη κίνηση μου!"
Εκείνη τη στιγμή περνούσε δίπλα το γκαρσόνι βιαστικά, 
όπως τα περισσότερα γκαρσόνια και κούνησε το τραπέζι, 
με αποτέλεσμα να πέσει η βασίλισσα  του Paul στο 
πάτωμα. Όπως ήταν αναμενόμενο οι δύο παίκτες  έβαλαν 
τις φωνές στο γκαρσόνι. 

Το Τρένο

2σχόλια
Ένα τρένο περνά δύο πεζούς που περπατούν, προς την ίδια κατεύθυνση που πηγαίνει και το τραίνο, με ταχύτητα 2χλμ  την ώρα ο ένας και 4χλμ την ώρα ο άλλος και τους προσπερνάει τελείως σε 9 δευτερόλεπτα και 10 δευτερόλεπτα αντίστοιχα. Ποιο είναι το μήκος του τρένου; 
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.494)

Λύση

Λύση του N. Lntzs.
Στο χρονικό διάστημα των 9 sec, ο πρώτος πεζός διήνυσε απόσταση
S1 = U1*t1 = 2km/h * 9 sec = 5 m.
O δεύτερος πεζός διήνυσε απόσταση
S2 = U1*t2 = 4km/h * 10 sec = 100/9 m
Η ταχύτητα U του τρένου ισούται με το πηλίκο του διαστήματος δια
του χρόνου, εντός του οποίου διήνυσε το διάστημα.
Το χρονικό διάστημα των 9 sec που χρειάστηκε το τρένο προκειμένου
να προσπεράσει την πρώτο πεζό, διήνυσε απόσταση ίση με το μήκος S
του τρένου σύν τα 5 m που διήνυσε ο πεζός,
Δηλaλαδή, U=(S+5)/9. (1)
Ομοίως για τον δεύτερο πεζό ισχύει
U=(S+100/9)/10. (2)
(1),(2)----> (S+5)/9=(S+100/9)/10
ή 10*S+50=9*S+100 ή
S=50 m.
Το μήκος λοιπόν του τρένου ήταν πενήντα μέτρα(50 m).
Λύση Papaveri.
Το μήκος του τρένου είναι 50 μέτρα. Έστω «ω» το μήκος του τρένου.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Από το τύπο της σχετικής ταχύτητας S=d/t βρίσκουμε τις σχετικές
ταχύτητες του τρένου όταν προσπερνάει το πρώτο πεζό και το δεύτερο
πεζό αντίστοιχα.Μετατρέπουμε τα χιλιόμετρα σε μέτρα και την ώρα σε
δευτερόλεπτα.
Το ένα χιλιόμετρο έχει 1.000μέτρα.
Η ώρα έχει 60*60=3.600 δευτερόλεπτα.
Η αναλογία είναι 1.000/3.600 --> 10/36 --> (5/18)μ/δ
Α)Η σχετική ταχύτητα όταν περνάει το πρώτο πεζό είναι:
S=d/t --> (S-2)*5/18=ω/9 --> S=[(18ω/5*9)+2) --> S=[(2ω/5)+2] -->
S=(2ω+10)/5 (1)
Β)Η σχετική ταχύτητα όταν περνάει το δεύτερο πεζό είναι:
S=d/t-->(S-4)*5/18=ω/10-->S=[(18ω/5*10)+4)-->S=[(18ω/50)+4]-->
S=[(9ω/25)+4]--> S=(9ω+100)/25 (2)
Επειδή η σχετικές ταχύτητες είναι ίσες έχουμε:
S1=S2-->(2ω+10)/5=(9ω+100)/25-->25*(2ω+10)=(5*(9ω+100)-->
50ω+250=45ω+500 --> 50ω-45ω=500-250 --> 5ω=250 --> ω=50μέτρα.
Επαλήθευση:
(2ω+10)/5=(9ω+100)/25 --> (2*50+10)/5=(9*50+100)/25 -->
(100+10)/5=(450+100)25 --> 110/5=550/25 --> 22=22 ο.ε.δ.

Δευτέρα, 5 Μαρτίου 2012

Ο Αριθμός

2σχόλια
Έστω αβα ένας τριψήφιος παλίνδρομος ή καρκινικός αριθμός με τις εξής ιδιότητες:
  • Το πρώτο και το τρίτο ψηφίο του αριθμού ισούται με το τετραπλάσιο του μεσαίου αριθμού.
  • Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού ισούται με 15.
Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; (Κατ.1/Πρβλ. Νο.124)

Λύση

Ο αριθμός 636. Έστω αβα ο παλίνδρομος αριθμός. Βάσει των δεδομένων
της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α+β+α=15 (1)
α+α=4β (2)
Απο τη (2) συνάγουμε ότι:
α+α=4β --> 2α=4β --> α=4β/2 --> α=2β (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+α=15 --> 2β+β+2β=15 --> 5β=15 --> β=15/5 --> β=3 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:
α=2β --> α=2*3 --> α=6 (5)
Επαλήθευση:
α+β+α=15 --> 6+3+6=15
α+α=4β --> 6+6=4*3 --> 12=4*3 ο.ε.δ.

Κυριακή, 4 Μαρτίου 2012

Ρετρό – Ανάλυση

2σχόλια
 α)Στο ανωτέρω διάγραμμα βλέπουμε ότι τα λευκά έχουν κάνει ματ στα μαύρα. Πιά ήταν η τελευταία κίνηση των Μαύρων;
β)Μπορεί να προκύψει αυτή η θέση σε μια παρτίδα;  
(Ανθ. Σκακ. Παρ.1?Σ.15/Νο.291)

Ο Αριθμός

2σχόλια
Το 12% ενός αριθμού είναι κατά 6 μονάδες μικρότερο από το 10% του διπλάσιου του αριθμού αυξημένου κατά 2 μονάδες. Ποιος είναι αυτός o αριθμός; (Κατ.1/Πρβλ. Νο.123)

Λύση

Ο αριθμός 72,50. Έστω «ω» ο αριθμός. Βάσει των δεδομένων της
εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
[(12/100)ω]=[(10/100(2ω+2))-6] --> 0,12ω=[(0,10(2ω+2))-6] -->
0,12ω=0,20ω+0,20-6 --> 0,20ω-0,12ω=5,80 --> 0,08ω=5,80 -->
ω=5,80/0,08 --> ω=72,50
Επαλήθευση:
0,12ω=[(0,10(2ω+2))-6] --> 0,12*72,50=[(0,10(2*72,50+2))-6] -->
8,70= [(0,10(145+2))-6] --> 8,70=[(0,10*147)-6] --> 8,70=14,70-6 ο.ε.δ.

Ρετρό – Ανάλυση

4σχόλια
Μόλις έπαιξαν τα λευκά και έχασαν την ευκαιρία να κάνουν ματ στα μαύρα. Ποια ήταν η τελευταία τους κίνηση και τι έπρεπε να παίξουν προκειμένου να κάνουν ματ.
(Ανθ. Σκακ. Παρ.1/Σ.15/Νο.290)

Σάββατο, 3 Μαρτίου 2012

Η Σφαίρα

4σχόλια
 Εάν η ακτίνα μιας σφαίρας τριπλασιαστεί, τότε ο όγκος της θα αυξηθεί κατά 9 φορές;
(Κατ.27/Πρβλ. Νο.81)

Λύση

Λύση του batman1986.
Ο τύπος για τον όγκο είναι V=(4/3)π(ρ)^3
Άρα θέτοντας όπου ρ=3*ρ
εχουμε V*=(4/3)π(3ρ)^3=
27*{(4/3)π(ρ)^3}=27*V
άρα ο όγκος αυξάνεται κατά 27 φορές και όχι κατά 9...
Λύση του N. Lnzts.
Όχι. Η επιφάνεια 9/πλασιάζεται. Ο όγκος 27/πλασιάζεται.
Ο λόγος των όγκων ισούται με τον λόγο του κύβου των ακτίνων τους.
Και εφόσον ο λογος των ακτίνων είναι 1/3 ολόγος των όγκων τους είναι:
(1/3)^3=1/27.

Ματ σε Τέσσερις

3σχόλια
Ένα πρόβλημα του Sam Loyd. Το πρόβλημα με το τίτλο "A Bold Attempt Is Half Success" - "Μια τολμηρή προσπάθεια, είναι το μισό της επιτυχίας"- δημοσιεύθηκε στην εφημερίδα New York Saturday Courier το 1856 κερδίζοντας το πρώτο βραβείο. Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε 4 κινήσεις.
(Ανθ. Σκακ. Παρ.1-Σ.14-Νο.289)

Λύση

Κλειδί:1.Βη1!,~ 2.Αζ2,~ 3.Α:β6,~ 4.Βγ5# Εάν
1....,Ιγ7 2.Ιβ4#
Διαπραγματεύεται το Θέμα: "Turtone".

Οι Διαδρομές

4σχόλια
 Οι πόλεις που είναι μαρκαρισμένες στον ανωτέρω χάρτη συνδέονται μεταξύ τους ως εξής:
  • Από το Παρίσι οδηγούν 5 διαφορετικοί δρόμοι για τις  Βρυξέλλες.
  • Από τις  Βρυξέλλες οδηγούν 9 διαφορετικοί δρόμοι για τη Βιέννη.
  • Από τη Βιέννη οδηγούν 7 διαφορετικοί δρόμοι για τη Βέρνη.
  • Από τη Βέρνη οδηγούν 4 διαφορετικοί δρόμοι για το Παρίσι.
Με πόσες διαφορετικές διαδρομές μπορεί να φτάσει κανείς από το Παρίσι στη Βέρνη;
Διευκρίνιση:  
Η κάθε διαδρομή πρέπει να είναι διαφορετική από τις προηγούμενες.
(Κατ.27/Πρβλ. Νο.327)

Λύση

Λύση του N. Lntzs.
Βασική Αρχή Απαρίθμησης
Υποθέτουμε ότι ένα έργο μπορεί να ολοκληρωθεί σε ν στάδια.
Αν υπάρχουν κ1,κ2,...,κν τρόποι αντίστοιχα να εκτελέσουμε καθένα
από τα στάδια, τότε ο ολικός αριθμός Ν των διαφορετικών τρόπων,
με τους οποίους μπορεί να ολοκληρωθεί το έργο αυτό, δίνεται από
το γινόμενο N=κ1*κ2*...*κν.
Επομένως η διαδρομή Παρίσι-Βέρνη μπορεί να γίνει με 5*9*7=315
τρόπους. Αν συμπεριλάβουμε σε αυτές και τους 4 διαφορετικούς
δρόμους από τη Βέρνη για το Παρίσι, τότε οι διαφορετικές διαδρομές
που μπορεί να φτάσει κανείς από το Παρίσι στη Βέρνη είναι 319.

Παρασκευή, 2 Μαρτίου 2012

Ιδιαιτερότητες (Ρετρό-Ανάλυση)

5σχόλια
α)Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 3 κινήσεις.
β)Πως προέκυψε η ανωτέρω θέση;
β)Η ανωτέρω θέση μπορεί να προκύψει σε μια παρτίδα;
(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.72/Νο.183γ)

Ο Διψήφιος Αριθμός

2σχόλια
Διψήφιου αριθμού το ψηφίο των δεκάδων είναι τα 2/3 του ψηφίου των μονάδων. Εάν αντιστρέψουμε τα ψηφία του αριθμού, ο νέος αριθμός είναι κατά 18 μονάδες μεγαλύτερος του αρχικού αριθμού. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; (Κατ.26/Πρβλ. Νο.21)

Λύση

Ο αριθμός είναι ο 46. Έστω ότι είναι α το ψηφίο των μονάδων,
το ψηφίο των δεκάδων θα είναι (2α)/3 σύμφωνα με την εκφώνηση
του προβλήματος. Ο αριθμός αυτός παριστάνεται ως [((10*2α)/3)+α].
Εάν αντιστρέψουμε τη θέση των ψηφίων ο νέος αριθμός θα έχει τη
μορφή [10α +(2α)/3], ο οποίος είναι 18 μονάδες μεγαλύτερος του
αρχικού αριθμού. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του
προβλήματος έχουμε:
[10α +((2α)/3)- 18] = [((10*2α)/3) +α] -->
3*10α +2α-3*18 = 10*2α+3α -->
30α+2α-54 = 20α+3α --> 32α-23α = 54 --> 9α =54 -->
α = 54/9 --> α = 6
Άρα το ψηφίο των μονάδων είναι το 6 και το ψηφίο των δεκάδων
είναι το:
(2α)/3 --> (2*6)/3 --> 2*2 = 4.
Ο ζητούμενος αριθμός είναι το 46, του οποίου εάν αντιστρέψουμε
τα ψηφία του προκύπτει ο αριθμός 64 και η διαφορά τους ισούται
με 18 μονάδες: 64 – 46 = 18.
Επαλήθευση:
[10α +((2α)/3)- 18] = [((10*2α)/3) +α] -->
[10*6+((2*6)/3)-18=[((10*2*6)/3)+6] -->
[60 + (2*2) – 18] = [(10*2*2) + 6 ] --> 60 + 4 – 18 = 40 + 6 -->
64 – 18 = 46 ο.ε.δ.
Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 46.

Πέμπτη, 1 Μαρτίου 2012

Η Μαγική Εικόνα

2σχόλια
 
Που πρέπει να τοποθετήσουμε το Μαύρο Βασιλιά, ώστε τα Λευκά να κάνουν ματ σε 2 κινήσεις; (Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.82/Νο.203)

Λύση

Ο Μαύρος Βασιλιάς πρέπει να τοποθετηθεί στο τετράγωνο "θ1".
1.Ργ1!,Αβ2+/Α:δ2+/Α:Π/Α:δ4/ζ4/~ 2.Ρ:Α±/Ρ:Α±/Β:Π±/Β:Π±/Βθ7#/Βδ1±.

Ο Διψήφιος Αριθμός

4σχόλια
 
Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού ισούται με 12. Εάν ελαττωθεί ο διψήφιος αυτός αριθμός κατά 18 μονάδες, προκύπτει ο αρχικός αριθμός με αντεστραμμένα τα ψηφία. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; (Κατ.26/Πρβλ. Νο.20)

Λύση

Έστω ότι είναι α το ψηφίο των μονάδων, το ψηφίο των δεκάδων θα
είναι (12-α),σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος. Ο αριθμός
αυτός παριστάνεται ως [(10*(12-α)+α]. Εάν αντιστρέψουμε τη θέση
των ψηφίων ο νέος αριθμός θα έχει τη μορφή [10α+(12-α)]. Εάν
ελαττώσουμε κατά 18 μονάδες τον αριθμό [(10*(12-α)+α] θα προκύψει
ο αριθμός [10α+(12-α)]. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
[(10*(12-α)+α]-18=[10α+(12-α)]-->120-10α+α-18=10α+12-α-->
-10α+α–10α+α=-120+18+12-->-20α+2α=-90-->-18α=-90-->
α=-90/-18 --> α=5
Επαλήθευση:
[(10*(12-α))+α]-18=[10α+(12-α)]-->
[(10*(12-5))+5]–18=[(10*5)+(12–5)]-->
[(10*7)+5]–18=50+7 -->
70+5–18=57 --> 75–18=57. ο.ε.δ.
Άρα το ψηφίο των δεκάδων είναι το 7 και το ψηφίο των μονάδων το 5
και ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 75, ο δε αντεστραμμένος αριθμός
είναι το 57.
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes