Τετάρτη, 14 Μαρτίου 2012

Το Λάθος

Ένας αγοραστής μέτρησε το μήκος του λάστιχου ποτίσματος που χρειαζόταν για τον κήπο του και έγραψε το μήκος σε ένα χαρτί, "χ" μέτρα και "ψ" εκατοστά. Ο πωλητής έκανε λάθος και του έδωσε "ψ" μέτρα και "χ" εκατοστά. Όταν ο αγοραστής χρησιμοποίησε 3,50 μέτρα, διαπίστωσε ότι είχε στη διάθεσή του ακόμα διπλάσιο μήκος λάστιχου ποτίσματος από αυτό που έγραψε αρχικά στο χαρτί. Να βρείτε το πραγματικό μήκος του λάστιχου ποτίσματος που μέτρησε ο αγοραστής.
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.497)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2012/01/blog-post_3925.html
(Παγκύπριος Μαθηματικός διαγωνισμός 2007)
 Λύση
Λύση του batman1986
Μετατρέποντας τα πάντα σε κοινές μονάδες(ας πούμε εκατοστά)
Ο αγοραστής σημείωσε στο χαρτί χ*100+ψ εκατοστά ενώ του
δώσαν ψ*100+χ εκατοστά
Σύμφωνα με τα δεδομένα της εκφώνησης έχουμε
350+2*(χ*100+ψ)=ψ*100+χ
Θα χρειαστεί διερεύνηση ακέραιων λύσεων χ,ψ αφού
μετατρέψαμε τα πάντα σε εκατοστά
Η λογική είναι να λύσουμε ως προς
χ=(98*ψ-350)/199
Πρέπει να κάνουμε δοκιμές δοκιμές ακέραιων ψ, ώστε χ=ακέραιος
Με χρήση εξέλ βρήκα για διάφορες δοκιμές ότι για ψ=32 χ=14
Άρα το πραγματικό μήκος είναι 32 μέτρα και 14 εκατοστά.

5 σχόλια:

batman1986 είπε...

Μετατρέποντας τα πάντα σε κοινές μονάδες(ας πούμε εκατοστά)

Ο αγοραστής σημείωσε στο χαρτί χ*100+ψ εκατοστά ενώ του δώσαν
ψ*100+χ εκατοστά

Σύμφωνα με τα δεδομένα της εκφώνησης έχουμε

350+2*(χ*100+ψ)=ψ*100+χ

Θα χρειαστεί διερεύνηση ακέραιων λύσεων χ,ψ αφού μετατρέψαμε τα πάντα σε εκατοστά

Η λογική είναι να λύσουμε ως προς

χ=(98*ψ-350)/199


Πρέπει να κάνουμε δοκιμές δοκιμές ακέραιων ψ ώστε χ=ακέραιος


Με χρήση εξέλ βρήκα για διάφορες δοκιμές ότι για ψ=32 χ=14

Άρα το πραγματικό μήκος

είναι 32 μέτρα και 14 εκατοστά..

Ανώνυμος είπε...

Συμφωνώ με την λύση του batman98.
Θα κάνω όμως κάποιες παρατηρήσεις.
Η εξίσωση 350+2*(χ*100+ψ)=ψ*100+χ (1)
γράφεται:
199*χ=98ψ-350 (2)
Ο αριμός 199 είναι πρώτος.
το 98 αναλύεται σε γινόμενο πρώτων:
98=2*7*7
και το 350=2*5*7, οπότε
(2)--->199*χ=2*7(7ψ-25),δηλαδή ο χ είναι πολ/σιο του 2*7=14
και γράφεται:
χ=14*κ, όπου κ φυσικός αριθμός.
ενώ για τον ψ ισχύει 7ψ=199*κ+25. Για κ=1 προκύπτει:
χ=14 και ψ=224/7=32 που είναι μία αποδεκτή λύση.
Η επόμενη ακεραία λύση είναι για κ=8 και δίνει χ=112 και ψ=231 που πρέπει να απορριφθεί, γιατί κανένας δεν θα έλεγε:
"231 μέτρα και 112 εκατοστά".
θα έλεγε:
"232 μέτρα και 12 εκατοστά".
(Επιπλέον το λάστιχο για κήπο μάλλον είναι πολύ μεγάλο 232 μέτρα).
Ομοίως πρέπει να απορριφθούν και οι άλλες ακέραιες λύσεις για κ=πολ8+1.
Ν. Lntzs

Papaveri είπε...

@batman1986
Μπράβο!! Η απάντησή σπυ είναι σωστή.

Ανώνυμος είπε...

Διόρθωση:Ομοίως πρέπει να απορριφθούν και οι άλλες ακέραιες λύσεις για κ=πολ7+1.
Ν. Lntzs

batman1986 είπε...

@Lntzs

πολύ σωστες οι παρατηρήσεις σας.Μάλιστα αυτές θα επρεπε να χρησιμοποιησει καποιος καθότι πρόβλημα ολυμπιάδας
Το είπα και στον carlo ότι θέλει κάποιο περιορισμό στις δοκιμές αλλά δεν πρόλαβα να το κοιτάξω παραπάνω

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes