Τρίτη, 27 Μαρτίου 2012

Η Δύσκολη Μοιρασιά

Να μοιράσετε 511€ (σε ολόκληρα €, όχι υποδιαιρέσεις του) και να τα τοποθετήσετε σε έναν αριθμό φακέλων, έτσι ώστε να μπορείτε να δώσετε οποιοδήποτε ποσό σας ζητηθεί από 1€ έως 511€ δίνοντας ένα αριθμό φακέλων χωρίς να τους έχετε ανοίξει. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός φακέλων που θα χρειαστείτε? (Κατ.4/Πρβλ. Νο.46)
Λύσεις N. Lntzs και RIZOPOULOS GEORGIOS
Εννέα φάκελοι.
Κάθε φάκελος θα περιέχει ποσό που θα είναι δύναμη του δύο, δηλαδή:
Ο 1ος θα περιέχει 1€,(1=2^0)
Ο 2ος θα περιέχει 2€,(2=2^1)
Ο 3ος θα περιέχει 4€,(4=2^2)
Ο 4ος θα περιέχει 8€,(8=2^3)
Ο 5ος θα περιέχει 16€,(16=2^4)
Ο 6ος θα περιέχει 32€,(32=2^5)
Ο 7ος θα περιέχει 64€,(64=2^6)
Ο 8ος θα περιέχει 128€,(128=2^7)
Ο 9ος θα περιέχει 256€,(256=2^8).
Προφανώς το άθροισμα των ποσών που περιέχουν όλοι οι φάκελοι είναι:
511€ ( = 2^9 - 1).
Κι αν έχουμε ένα δέκατο φάκελο με το συμπληρωματικό ως τα 1000 ποσό
(489€.), μπορούμε να έχουμε όλα τα ποσά ως το 1000.
(489 + 1= 490
…………………
489€+ 511€ = 1.000€)

Βλέποντας το πρόβλημα με βάση το δυαδικό σύστημα αρίθμησης, μπορούμε
να το αντιμετωπίσουμε ως εξής:
511(βάση10)=111111111(βάση2)=
Αλλά:
111111111=100000000+10000000+1000000+100000+10000+1000+
100+10+1=256+128+64+32+16+8+4+2+1=511(βάση 10).
Επί πλέον κάθε αριθμός (από 1-511)μπορεί να γραφεί στο δυαδικό με
εννέα ψηφία του μηδέν-ένα.
Ένα παράδειγμα:
Έστω ότι θέλουμε να δώσουμε 357€.
Μετατρέπουμε τον αριθμό στο δυαδικό
357(βάση10)=101100101(βάση2)=
100000000+1000000+100000+100+1.
Δίνουμε λοιπόν
ένα φάκελο των 256€
ένα φάκελο των 64€
ένα φάκελο των 32€
ένα φάκελο των 4€ και τέλος
ένα φάκελο του 1€

4 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Εννέα.

Κάθε φάκελος θα περιέχειποσό που θα είναι δύναμη του δύο, δηλαδή
Ο 1ος θα περιέχει 1€,(1=2^0)
Ο 2ος θα περιέχει 2€,(2=2^1)
Ο 3ος θα περιέχει 4€,(4=2^2)
Ο 4ος θα περιέχει 8€,(8=2^3)
Ο 5ος θα περιέχει 16€,(16=2^4)
Ο 6ος θα περιέχει 32€,(32=2^5)
Ο 7ος θα περιέχει 64€,(64=2^6)
Ο 8ος θα περιέχει 128€,(128=2^7)
Ο 9ος θα περιέχει 256€,(256=2^8).
Προφανώς το άθροισμα των ποσών που περιέχουν όλοι οι φάκελοι είναι:
511( = 2^9 - 1).

Βλέποντας το πρόβλημα με βάση το δυαδικό σύστημα αρίθμησης, μπορούμε να το αντιμετωπίσουμε ως εξής:
511(βάση10)=111111111(βάση2)=
Αλλά 111111111=100000000+
+ 10000000+
+ 1000000+
+ 100000+
+ 10000+
+ 1000+
+ 100+
+ 10+
+ 1=
=256+128+64+32+16+8+4+2+1=
=511(βάση 10).
Επι πλέον κάθε αριθμός (από 1-511)μπορεί να γραφεί στο δυαδικό με εννέα ψηφία του μηδέν-ένα.
Ένα παράδειγμα
Έστω ότι θέλουμε να δώσουμε 357€.
Μετατρέπουμε τον αριθμό στο δυαδικό
357(βάση10)=101100101(βάση2)=
100000000+
1000000+
100000+
100+
+1.
Δίνουμε λοιπόν
ένα φάκελο των 256€
ένα φάκελο των 64€
ένα φάκελο των 32€
ένα φάκελο των 4€ και τέλος
ένα φάκελο του 1€

N.Lntzs

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Νομίζω ότι η απάντηση είναι το binary expansion (δυστυχώς δεν μού έρχεται η αντίστοιχη ελληνική ορολογία στο νού)
1+2+4+8+16+32+64+128+256= 511
Μ’αυτούς τους 9 φακέλους λοιπόν παίρνουμε όλα τα ποσά ως το 511.
Κι αν έχουμε ένα δέκατο φάκελο με το συμπληρωματικό ως τα 1000 ποσό (489 ευ.) ,μπορούμε να έχουμε όλα τα ποσά ως το 1000.
(489 + 1= 490
…………………
489+ 511 = 1000)

Papaveri είπε...

@N.Lntzs
Πολύ σωστά. Λύση με γεωμετρική πρόοδο και δυαδικό σύστημα.

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Πολύ σωστά. Γεωμετρική πρόοδο.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes