Η Δύσκολη Μοιρασιά

Να μοιράσετε 511€ (σε ολόκληρα €, όχι υποδιαιρέσεις του) και να τα τοποθετήσετε σε έναν αριθμό φακέλων, έτσι ώστε να μπορείτε να δώσετε οποιοδήποτε ποσό σας ζητηθεί από 1€ έως 511€ δίνοντας ένα αριθμό φακέλων χωρίς να τους έχετε ανοίξει. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός φακέλων που θα χρειαστείτε? (Κατ.4/Πρβλ. Νο.46)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2011/04/blog-post_6500.html

Λύση

Λύσεις N. Lntzs και RIZOPOULOS GEORGIOS
Εννέα φάκελοι.
Κάθε φάκελος θα περιέχει ποσό που θα είναι δύναμη του δύο, δηλαδή:
Ο 1ος θα περιέχει 1€,(1=2^0)
Ο 2ος θα περιέχει 2€,(2=2^1)
Ο 3ος θα περιέχει 4€,(4=2^2)
Ο 4ος θα περιέχει 8€,(8=2^3)
Ο 5ος θα περιέχει 16€,(16=2^4)
Ο 6ος θα περιέχει 32€,(32=2^5)
Ο 7ος θα περιέχει 64€,(64=2^6)
Ο 8ος θα περιέχει 128€,(128=2^7)
Ο 9ος θα περιέχει 256€,(256=2^8).
Προφανώς το άθροισμα των ποσών που περιέχουν όλοι οι φάκελοι είναι:
511€ ( = 2^9 - 1).
Κι αν έχουμε ένα δέκατο φάκελο με το συμπληρωματικό ως τα 1000 ποσό
(489€.), μπορούμε να έχουμε όλα τα ποσά ως το 1000.
(489 + 1= 490
…………………
489€+ 511€ = 1.000€)

Βλέποντας το πρόβλημα με βάση το δυαδικό σύστημα αρίθμησης, μπορούμε
να το αντιμετωπίσουμε ως εξής:
511(βάση10)=111111111(βάση2)=
Αλλά:
111111111=100000000+10000000+1000000+100000+10000+1000+
100+10+1=256+128+64+32+16+8+4+2+1=511(βάση 10).
Επί πλέον κάθε αριθμός (από 1-511)μπορεί να γραφεί στο δυαδικό με
εννέα ψηφία του μηδέν-ένα.
Ένα παράδειγμα:
Έστω ότι θέλουμε να δώσουμε 357€.
Μετατρέπουμε τον αριθμό στο δυαδικό
357(βάση10)=101100101(βάση2)=
100000000+1000000+100000+100+1.
Δίνουμε λοιπόν
ένα φάκελο των 256€
ένα φάκελο των 64€
ένα φάκελο των 32€
ένα φάκελο των 4€ και τέλος
ένα φάκελο του 1€