Τρίτη, 14 Νοεμβρίου 2017

Το Μήκος

0σχόλια
Ένα τετράγωνο κι’ ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχουν το ίδιο εμβαδόν. Η περίμετρος του τετραγώνου είναι 24εκ. Εάν η μια πλευρά του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 9εκ.^2 να βρεθεί το μήκος της άλλης πλευράς.

Λύση

Αφού η περίμετρος του τετραγώνου είναι 24εκ. το μήκος της κάθε πλευράς του θα είναι:
Π = 4α ---> 24 = 4α ---> α =24/4 ---> α = 6εκ. Επομένως το Ε = α^2 --->
Ε = 6^2 ---> Ε = 36εκ.^2
Άρα και το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 36εκ.^2.
Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ισούται με το μήκος επί το πλάτος
Ε = β*υ ---> 36 = 9*υ ---> υ = 36/9 ---> υ = 4εκ.^2
Άρα το μήκος της άλλης πλευράς του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 4εκ.^2

Δευτέρα, 6 Νοεμβρίου 2017

Το Μήκος

0σχόλια
Ο κήπος του σπιτιού του Νίκου είναι στρωμένος με 10 πλακάκια διαστάσεων 10εκ. 
επί 20εκ. Ο Νίκος ζωγράφισε μια τεθλασμένη γραμμή που περνάει από το κέντρο 
του κάθε πλακακιού, όπως φαίνεται στο ανωτέρω σχήμα. Πόσο μήκος έχει η τεθλασμένη γραμμή που ζωγράφισε ο Νίκος;

Κυριακή, 5 Νοεμβρίου 2017

Το Βάρος

2σχόλια
Ένα γυάλινο μπουκάλι γεμάτο με λάδι ζυγίζει 600γραμμάρια. Το ίδιο μπουκάλι, αλλά με το μισό λάδι, ζυγίζει 340γραμμάρια. Πόσο ζυγίζει το μπουκάλι, όταν είναι άδειο;

Λύση

Το άδειο μπουκάλι ζυγίζει:
[600 – [(600 – 340) × 2]] = [600 – (260 × 2)] = 600 – 520 = 80γραμμάρια

Παρασκευή, 3 Νοεμβρίου 2017

Τα Πουλιά

4σχόλια
Σ’ ένα δένδρο υπάρχουν 25 Παπαγάλοι και 19 Καναρίνια. Κάθε μια ώρα έρχονται στο δένδρο 2 Παπαγάλοι και 3 Καναρίνια. Σε πόσες ώρες οι Παπαγάλοι θα είναι ίσοι σε αριθμό με τα Καναρίνια; 

Τρίτη, 31 Οκτωβρίου 2017

Τα Φρούτα

2σχόλια
Με ποιους αριθμούς, στο ανωτέρω σχήμα, πρέπει ν’ αντικαταστήσουμε τα φρούτα του πρώτου μέλους της εξίσωσης, ώστε να συμφωνεί με το σύνολο του δεύτερου μέλους της εξίσωσης;
Διευκρίνιση:
Σε κάθε ίδιο φρούτο αντιστοιχεί ίδιος αριθμός.

Λύση

Το μήλο ισούται με 80, ο ανανάς ισούται με 230,και το αχλάδι ισούται με 90. Έστω «α» το μήλο, «β» ο ανανάς και «γ» το αχλάδι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α+β+γ = 400 (1)
3α+β= 470 (2)
β+2γ = 410 (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
3α+β= 470 ---> β=470-3α (4)
Αντικαθιστούμε στη (3) τη (4) κι’ έχουμε:
β+2γ = 410 ---> 470-3α+2γ=410 ---> 3α=470-410+2γ ---> 3α=60+2γ --->
α=(60+2γ)/3 (5)
Από τη (3) συνάγουμε ότι:
β+2γ = 410 ---> β=410-2γ (6)
Αντικαθιστούμε τη (5) και την (6) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ = 400 ---> (60+2γ)/3+410-2γ+γ=400 ---> 60+2γ+3*410-3*2γ+3γ ----> 60+2γ+1.230-6γ+3γ=1.200 ---> 60+1230+5γ-6γ=1.200 --->
γ=60+1.230-1.200 ---> γ=90 (7)
Αντικαθιστούμε την (7) στη (5) κι’ έχουμε:
α=(60+2γ)/3 ----> α=[60+(2*90)]/3 ----> α=(60+180)/3 ----> α=240/3 ----> α=80 (8)
Αντικαθιστούμε την (8) στη (4) κι’ έχουμε:
β=470-3α ---> β=[470-(3*80)] ---> β=470-240 ---> β=230 (9)
Επαλήθευση:
α+β+γ = 400 ---> 80+230+90=400
3α+β= 470 ---> [(3*80)+230 = 470 ---> 240+230=470
β+2γ = 410 ---> [230+(2*90)] = 410 ---> 230+180 = 410   ο.ε.δ.

Δευτέρα, 30 Οκτωβρίου 2017

Τα Βραβεία

2σχόλια
Σ’ ‘ένα διαγωνισμό δόθηκαν τέσσερα βραβεία, μια μπάλα, ένα βιβλίο, ένα CD, κι’ ένα καπέλο. Οι νικητές ήταν ο Γιώργος, η Άννα, ο Νίκος και η Βάσω.
Η Άννα πήρε το βιβλίο.
Ο Νίκος δεν πήρε ούτε το καπέλο, ούτε τη μπάλα.
Η Βάσω δεν πήρε το καπέλο.
Ποιος πήρε το CD;

Παρασκευή, 27 Οκτωβρίου 2017

Ο Συνδυασμός

2σχόλια
Μια μεγάλη κούπα χωράει διπλάσια ποσότητα υγρού από μία μεσαία κούπα και μια μεσαία κούπα χωράει διπλάσια ποσότητα υγρού από μια μικρή κούπα. Βλέπε ανωτέρω σχήμα. Στο κατωτέρω πίνακα δίδονται τέσσερις συνδυασμοί Α, Β, Γ, και Δ.
Από τους ανωτέρω συνδυασμούς οι τρεις περιέχουν την ίδια ποσότητα γάλακτος, ενώ ο τέταρτος συνδυασμός διαφέρει στην ποσότητα. Ποιος είναι αυτός ο συνδυασμός;

Το Διάστημα

2σχόλια
Τέσσερα παιδιά, ο Κώστας, η Μαρία, ο Γιάννης, και η Ελένη, στάθηκαν σε μια ευθεία γραμμή, έστω «ΑΒ», που έχει μήκος 25 μέτρα, για να παίξουν ένα παιγνίδι.
Ο Κώστας είναι πρώτος στη σειρά και η Ελένη είναι τελευταία στη σειρά.
Η απόσταση του Κώστα από την Ελένη είναι 25μ.
Η απόσταση του Κώστα από το Γιάννη είναι 15μ.
Η απόσταση της Μαρίας από την Ελένη είναι 15μ.
Ποια είναι η απόσταση της Μαρίας από το Γιάννη;

Λύση

Η απόσταση της Μαρίας από το Γιάννη είναι 5μ. Εφόσον η απόσταση του Κώστα από το Γιάννη είναι 15μ. η απόσταση του Γιάννη από την Ελένη θα είναι η διαφορά από το συνολικό μήκος, δηλαδή, 25-15 = 10μ. Και αφού η απόσταση της Μαρίας από την Ελένη είναι 15μ. η απόσταση της Μαρίας από το Γιάννη θα είναι η διαφορά 15-10 = 5μ.

Πέμπτη, 26 Οκτωβρίου 2017

Οι Τρεις Αριθμοί

4σχόλια
Να βρεθούν οι τρεις μικρότεροι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί που το γινόμενο τους ισούται με το οκταπλάσιο του αθροίσματός τους.

Οι Ηλικίες

10σχόλια
Η Τούλα έχει τρία παιδιά, ενώ η φίλη της η Μαριέττα έχει τέσσερα παιδιά.
Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών και των μητέρων
είναι 284.888.450. Να βρεθούν:
  • α) Οι ηλικίες των παιδιών και των μητέρων.
  • β) Τι ηλικία είχαν οι δύο μητέρες όταν γέννησαν  το μεγαλύτερο παιδί;
Διευκρίνιση:
Όλα τα παιδιά πάνε σχολείο, εκτός από το μικρότερο παιδί της Μαριέττας.

Λύση

Αναλύουμε τον αριθμό 284.888.450 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και βρίσκουμε:
284.888.450=2*5^2*7^2*11^2*31^2
α) Επειδή η κα. Τούλα έχει τρία παιδιά που πάνε σχολείο οι ηλικίες τους είναι 5, 7, και 11 αντίστοιχα. Ενώ οι ηλικίες των παιδιών της Μαριέττας, που είναι τέσσερα, είναι 2, 5, 7, και 11 αντίστοιχα, εκ των οπίων τα τρία πάνε σχολείο ενώ το μικρότερο όχι.
β) Οι ηλικίες των μητέρων και στις δύο περιπτώσεις είναι 31 ετών, άρα συνομήλικες. Το μεγαλύτερο παιδί το γέννησαν και οι δύο μητέρες σε ηλικία: 31-11=20 ετών.

Τρίτη, 24 Οκτωβρίου 2017

Ο Έμπορος

3σχόλια
Ένας έμπορος οικιακών ειδών αγόρασε 18 δωδεκάδες φλιτζανάκια και πιατάκια  του καφέ προς 120 δρχ. το ένα. Κατά τη μεταφορά, η οποία του κόστισε το 1/6 της αξίας της αγοράς τους, έσπασαν μερικά και τα υπόλοιπα τα πούλησε προς 180 δρχ. το ένα, ώστε να εισπράξει το ποσό που του κόστισαν κατά την αγορά τους και να μη ζημιωθεί. Πόσα φλιτζανάκια του καφέ έσπασαν;

Λύση

Έσπασαν 48 φλιτζανάκια του καφέ. Έστω «α» τα φλιτζανάκια του καφέ. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: Κατ’ αρχήν βρίσκουμε πόσα φλιτζανάκια του καφέ είναι οι 18 δωδεκάδες.
18*12=216 φλιτζανάκια του καφέ.
Βρίσκουμε πόσο πλήρωσε για τα φλιτζανάκια του καφέ.
216*120=25.920δρχ.
Η μεταφορά στοίχισε το 1/6 της συνολικής αξίας που πλήρωσε ο έμπορος για να τ’ αγοράσει.
25.920*1/6=4.320δρχ.
Συνολική αξία για την αγορά τους.
25.920+4320=30.240δρχ.
Κατά τη μεταφορά του σπάνε μερικά φλιτζανάκια του καφέ και για να μη ζημιωθεί πουλάει τα υπόλοιπα προς 180 δρχ. το ένα για να εισπράξει την αξία που πλήρωσε για να τ’ αγοράσει. Βάσει των ανωτέρω έχουμε την εξίσωση:
(216-α)*180=30.240 ---> 38.880-180α =30.240 ---> 180α=38.880-30.240 ---> 180α=8.640 ---> α=8.640/180 180α=38.880-30240 ---> α=48 φλιτζανάκια του καφέ
Επαλήθευση:
(216-α)*180=30.240 ---> (216-48)*180=30.240 ---> 168*180=30.240 ο.ε.δ.

Δευτέρα, 23 Οκτωβρίου 2017

Οι Συνέταιροι

16σχόλια

Δύο συνέταιροι οινοπαραγωγοί, ο Γιώργος και ο Νίκος, έχουν από κοινού ένα αμπέλι. Στο Γιώργο ανήκουν τα 3/8 του αμπελιού και στο Νίκο ανήκουν τα 5/8 του αμπελιού.
(α)Για ν’ αγοράσουν λίπασμα πλήρωσαν και οι δύο μαζί 40.000δρχ. Πόσα χρήματα έδωσε ο κάθε συνέταιρος για ν’ αγοράσουν το λίπασμα;
(β)Για να τρυγήσουν το αμπέλι, δούλεψαν οι ίδιοι κι’ ένας εργάτης. Και οι τρεις δούλεψαν το ίδιο εξ’ ίσου. Ο εργάτης για την εργασία του πληρώθηκε 16.000δρχ.
Πόσα χρήματα αναλογούν στο κάθε συνέταιρο για τη πληρωμή του εργάτη;

Λύση

Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
(α)Για την αγορά του λιπάσματος, ο κάθε συνέταιρος πλήρωσε:
Γιώργος:(3*40.000)/8=120.000/8=...15.000δρχ
Νίκος:(5*40.000)/8=200.000/8=…...25.000δρχ.
...........................................Σύνολο: 40.000δρχ.
(β)Για τη πληρωμή του εργάτη, ο κάθε συνέταιρος πλήρωσε:
Γιώργος:(3*16.000)/8=48.000/8=.6.000δρχ
Νίκος:(5*16.000)/8=80.000/8=...10.000δρχ.
......................................Σύνολο: 16.000δρχ.

Κυριακή, 22 Οκτωβρίου 2017

Η Εκδρομή

2σχόλια
Οι 85 μαθητές ενός σχολείου κανόνισαν να πάνε μια ημερήσια εκδρομή  συνολικού κόστους 510€. Επειδή κάποιοι μαθητές δεν είχαν τη δυνατότητα να πληρώσουν το εισιτήριο που τους αναλογούσε, οι υπόλοιποι μαθητές τους επιβαρύνθηκαν με το επιπλέον ποσό του 1,50€. Πόσοι μαθητές δεν πλήρωσαν εισιτήριο;

Λύση

Δεν πλήρωσαν εισιτήριο 17 μαθητές. Έστω «α» οι μαθητές που δεν πλήρωσαν εισιτήριο. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Κατ’ αρχήν βρίσκουμε την αξία του εισιτηρίου που θα πληρώσει κάθε μαθητής διαιρώντας την συνολική αξία με το πλήθος των μαθητών:
510/85=6€ Άρα κάθε μαθητής πρέπει να πληρώσει 6€. Επειδή, όμως, ορισμένοι μαθητές δεν μπορούσαν να πληρώσουν το ποσό των 6€ οι υπόλοιποι μαθητές επιβαρύνθηκαν με 1,50€ επί πλέον για να καλύψουν τη διαφορά, οπότε οι υπόλοιποι μαθητές πλήρωσαν:
6+1,50 = 7,50€ ο καθένας.
Βάσει των ανωτέρω έχουμε να επιλύσουμε την εξίσωση:
(85-α)*7,50=510---> 637,50-7,50α = 510 ---> 7,50α = 637,50-510 ---> 7,50α = 127,50 ---> α=127,50/7,50 ---> α=17
Επαλήθευση:
(85-α)*7,50=510 ---> (85-17)*7,50=510 ---> 68*7,50 = 510 ο.ε.δ.
Κανονική αξία εισιτηρίων 85 μαθητών: 85*6€ = 510€
Αξία εισιτηρίου 17 μαθητών: 17*6€=102€
Αναλογία των 17 εισιτηρίων για τους υπόλοιπους μαθητές(68):
102/(85-17) =102/68=1,50€
Συνολική αξία εισιτηρίων 68 μαθητών: 68*6€ = ......................408€
Αξία επιβάρυνσης 17 εισιτηρίων στους 68 μαθητές: 68*1,50€ = 102€
................................................................................Σύνολο: 510€

Ο Κωδικός

2σχόλια
Ο Γιάννης θυμάται όλα τα ψηφία του κωδικού αριθμού της κλειδαριάς του ποδηλάτου του εκτός από το τελευταίο. Ξέρει όμως ότι ο κωδικός αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 9. Τα ψηφία που θυμάται είναι τα κάτωθι:
6
3
8
1
2
?
Ποιον αριθμό πρέπει να βάλει στο τέλος για να ανοίξει η κλειδαριά;

Λύση

Ο κωδικός είναι ο αριθμός 638127. Πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού να είναι πολλαπλάσιο του 9 Έχουμε 6+3+8+1+2 = 20. Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο 7.
6+3+8+1+2 = 20+7 = 27, το οποίο είναι το επόμενο πολλαπλάσιο του εννέα μετά το 18.

Τα Ευρώ

4σχόλια
Ο Μιχάλης και ο Νίκος έχουν τα ίδια χρήματα σε ευρώ. Πόσα ευρώ πρέπει να δώσει ο Μιχάλης στο Νίκο για να έχει ο Νίκος 20€ περισσότερα από το Μιχάλη;

Λύση

Πρέπει να του δώσει €10. Τα χρήματα του Μιχάλη μειώνονται κατά το ποσό των χρημάτων που δίνει στο Νίκο. Άρα η διαφορά των χρημάτων τους είναι το διπλάσιο των χρημάτων που δίνει ο Μιχάλης στο Νίκο.
Ή. Έστω «x» τα χρήματα που έχουν αρχικά και «y» τα χρήματα που πρέπει να δώσει ο Μιχάλης στον Νίκο. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση: Νίκος(x+y) - Μιχάλης(x-y)=20 ---> x+y-x+y=20 ---> 2y=20 ---> y=20/2 ----> y=10

Σάββατο, 21 Οκτωβρίου 2017

Τα Κουνέλια

3σχόλια
Ένας αγρότης είχε στο κτήμα του μία κουνέλα. Η κουνέλα γέννησε επτά κουνελάκια. Τα κουνελάκια, μαζί µε την μητέρα γέννησαν από επτά κουνελάκια. Έπειτα, η κουνέλα και όλοι οι απόγονοί της γέννησαν από επτά ακόμα. Πόσα κουνέλια είναι τώρα, μαζί µε τη μητέρα;

Λύση

1η γέννα: 7 νέα κουνέλια, σύνολο 8 κουνέλια, μαζί με τη κουνέλα.
2η γέννα: 8*7=56 νέα κουνέλια, σύνολο 8+56 =64 κουνέλια
3η γέννα: 64*7=448 νέα, σύνολο 64+448=512 κουνέλια
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ
1η φορά: 1+7=8
2η φορά: 8+8*7=8*(1+7)= 8*8=8^2=64
3η φορά: 8^2+7*8^2 = (1+7)8^2=8*8^2=8^3=512
...................................
...................................
...................................
ν-οστή φορά: 8^ν
και γενικεύοντας και το 7 σε μ αποτελέσματα κάθε φορά τότε το συνολικό αποτέλεσμα μετά από ν φορές ισούται με (μ+1)^ν

Παρασκευή, 20 Οκτωβρίου 2017

Ο Καπετάνιος

4σχόλια
Να βρεθεί:
(α)Η ηλικία του καπετάνιου.
(β)Ο αριθμός των παιδιών του.
(γ)Το μήκος του πλοίου του.
Εάν γνωρίζουμε ότι το γινόμενο των τριών ζητούμενων ακέραιων αριθμών
ισούται με  32.118.
Διευκρίνιση:
Ο καπετάνιος έχει γιούς και κόρες, και η ηλικία του είναι μικρότερη των 100 ετών.
Πηγή: Από το βιβλίο "Ο Οιδίποδας και η Σφίγγα", του Ανδρέα Πούλου.
 

Λύση

Αναλύουμε τον αριθμό 32.118 σε γινόμενο παραγόντων:
32.118=2*3*53*101
Hλικία του Καπετάνιου=53 (53<100 101="">100 απορρίπτεται)
Αριθμός Παιδιών = 2*3=6 (2αγόρια+4κορίτσια,ή 3α+3κ, ή 2κ+4α)
Μήκος Σκάφους=101μ.

Τρίτη, 17 Οκτωβρίου 2017

Ο Κρυμμένος Θησαυρός

2σχόλια
Στο βαθύτερο σημείο μιας σπηλιάς, 7 πειρατές φρουρούν ένα θησαυρό.
Ο θησαυρός είναι κρυμμένος πίσω από 12 πόρτες.
Καθεμιά από τις οποίες έχει 12 κλειδαριές.
Όλες οι κλειδαριές είναι διαφορετικές μεταξύ τους.
Κάθε πειρατής έχει κλειδιά για κάποιες από τις κλειδαριές.
Οποιοιδήποτε τρεις πειρατές έχουν από κοινού τα κλειδιά για όλες τις κλειδαριές σε όλες τις πόρτες.
Να αποδειχτεί ότι όλοι οι πειρατές έχουν συνολικά τουλάχιστον 336 κλειδιά.

Λύση

12 πόρτες*12 κλειδαριές=144 κλειδιά. Τρεις, οποιοιδήποτε, πειρατές έχουν μαζί τουλάχιστον 144 κλειδιά. Άρα (Περιστερώνας) 144/3=48 τα κλειδιά που έχει κατ' ελάχιστο ο ένας τουλάχιστον από τους 3. Άρα αν ο τυχαίος "ένας" έχει τουλάχιστον 48 ,πρέπει και οι 7 να έχουν τουλάχιστον 48*7=336. Ή "εναλλακτικά": 48 o ένας και μένουν 2 τριάδες πειρατών (για κάθε "έναν") και η κάθε τριάδα θα έχει εξ' ορισμού 144. (144+144+48=336).

Η Τιμή του C

2σχόλια
Εάν:
2a+b=c (1)
a+b+c=2d (2)
a+b+c+d=18 (3)
όπου a, b, c, d, θετικοί ακέραιοι αριθμοί.
Τότε:
c = ? (4)
Να βρεθεί ο αριθμός «c».

Λύση

Το «C» ισούται με 7.
Αντικαθιστούμε τη (2) στη (3) κι’ έχουμε:
a+b+c+d=18 ---> 2d+d=18 ---> 3d=18 ---> d=18/3 ---> d=6 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:
a+b+c=2d ---> a+b+c=2*6 ---> a+b+c=12 (5)
Τώρα έχουμε 2 εξισώσεις την (2a+b=c) και την (a+b+c=12).
Αντικαθιστούμε την (1) στη (5) κι’ έχουμε:
a+b+c=12 ---> a+b+2a+b=12 ---> 3a+2b=12
για a=1 b=4,5 απορρίπτεται, αφού ο b είναι θετικός και ακέραιος
για a=2 b=3 c=7 και d=6 αποδεκτό
για a=3 b=1,5 απορρίπτεται
για a=4 b=0 απορρίπτεται
Τελικά a=2 b=3 c=7 και d=6
Ή
Αντικαθιστούμε την (1) στη (5) κι’ έχουμε:
a+b+c=12 ---> a+b+2a+b=12 ---> 3a+2b=12 ---> 3a=12-2b ---> a=(12-2b)/3 (6)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "b" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "a" είναι ο αριθμός b=3 (7)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «b» στην (6) κι’ έχουμε:
a=(12-2b)/3 ---> a=[12-(2*3)]/3 ---> a=(12-6)/3 ---> a=6/3 ---> a=2 (8)
Αντικαθιστούμε την (8) στην (1) κι’ έχουμε:
2a+b=c ---> [(2*2)+3]=c ---> 4+3=c ---> c=7 (9)
Επαλήθευση:
2a+b = c ---> 2*2+3=c ---> 4+3 = c ---> c = 7
a+b+c=2d ---> 2+3+7=2*6 ---> 12=2*6
a+b+c+d=18 ---> 2+3+7+6=18

Παρασκευή, 13 Οκτωβρίου 2017

Η Χοροεσπερίδα

8σχόλια
Ο αριθμός των ατόμων που χόρεψαν σε μία χοροεσπερίδα με περιττό πλήθος ατόμων, είναι άρτιος ή περιττός αριθμός;
Διευκρίνιση:
Με επεξήγηση.

Λύση

Περιττός. Διότι, όταν σχηματιστούν τα ζευγάρια για χορό περισσεύει στο τέλος ένα άτομο, δηλαδή, είναι Ν-1=Ζυγός αριθμός το πλήθος των ατόμων που χόρεψαν. Εκτός κι' εάν συνυπολογίζεται και ο οικοδεσπότης ή οικοδέσποινα στο πλήθος των ατόμων που χόρεψαν, οπότε το πλήθος των ατόμων είναι ζυγός αριθμός.

Τετάρτη, 11 Οκτωβρίου 2017

Τα Kαναρίνια

2σχόλια
Σε ένα κλουβί υπάρχουν 8 καναρίνια διαφορετικής αξίας το καθένα. Η μέση αξία των 8 καναρινιών είναι 50€. Μία μέρα, κατά τον καθαρισμό του κλουβιού, έφυγε το πιο όμορφο καναρίνι και έτσι η μέση αξία των 7 καναρινιών που απέμειναν μειώθηκε κατά 10%. Ποια ήταν η αξία του καναρινιού που έφυγε;
Πηγή:: http://nikos-kritikos.blogspot.gr/2013/11/blog-post_29.html

Λύση

Η αξία του καναρινιού που έφυγε ήταν 85€. Έστω «α» η αξία του καναρινιού που έφυγε. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Μέση Αξία 8 καναρινιών: 8*50=400€.
α+7*50*(100%-10%)=8*50 --> α+350*90%=400 --> α+350*0,9=400 -->
α=400-350*0,9 --> α=400- 315 --> α=85
Επαλήθευση:
α+7*50*(100%-10%)=8*50 --> 85+350*90%=8*50 --> 85+315=400

Τρίτη, 10 Οκτωβρίου 2017

Η Ηλικία

2σχόλια
Εάν φέτος η ηλικία δύο ανθρώπων είναι πολλαπλάσιο του 7 και την επόμενη 
χρονιά των ιδίων ανθρώπων είναι πολλαπλάσιο του 9.  Ποια είναι η ηλικία τους
αν γνωρίζουμε ότι δεν είναι αιωνόβιοι;

Λύση

Αν x είναι σήμερα η ηλικία του ατόμου, τότε x = 7κ (1) , όπου κ φυσικός και 7κ μικρότερο του 100
Μετά από 1 έτος η ηλικία θα γίνει x + 1.
Και επειδή αυτή είναι πολλαπλάσιο του 9 , έχουμε x + 1= 9λ (2) όπου λ φυσικός και 9λ μικρότερο του 100
Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε:
x + 1= 9λ ---> 7κ+1=9λ (3)
Δηλαδή ο αριθμός (7κ + 1) είναι πολλαπλάσιο του 9 μικρότερο του 100.
Αυτό συμβαίνει όταν κ = 5 ή κ = 14
Για κ=5 ---> x=7κ ---> x=7*5 ---> x=35 (φέτος για το νέο)
Για κ=14 ---> x=7κ ---> x=7*14 ---> x=98 (φέτος για τον ηλικιωμένο)
Για κ=5 ---> 7κ+1=9λ ---> [(7*5)+1]=9*4 ---> 35+1=36 (του χρόνου για το νέο)
Για κ=14 ---> 7κ+1=9λ ---> [(7*14)+1=9*11 ---> 98+1=99 (του χρόνου για τον ηλικιωμένο)
Άρα σήμερα η ηλικία του ενός είναι 35 και σε ένα χρόνο θα είναι 36 , και του άλλου η ηλικία σήμερα είναι 98 και σε ένα χρόνο θα είναι 99.

Σάββατο, 7 Οκτωβρίου 2017

Το Έτος Γεννήσεως

3σχόλια
Ρωτάει ο εγγονός τον παππού του:
-«Ποτέ γεννήθηκες παππού;»
Και ο παππούς του απαντάει:
-«Γεννήθηκα τον 20ο αιώνα. Το 1967, η ηλικία μου ήταν το άθροισμα των 
ψηφιών του έτους γεννήσεως μου.»
Ποιο έτος γεννήθηκε ο παππούς;

Λύση

Ο παππούς γεννήθηκε το 1951, και το 1967 ήταν 16 ετών. Έστω ότι ο παππούς γεννήθηκε το έτος 19αβ. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
1967-19αβ=1+9+α+β (1)
1967-19αβ=1+9+α+β ---> 1967-19αβ=10+α+β ----> 1967-1900-αβ=10+α+β ----> 67-αβ=10+α+β ----> 67-10-αβ = α+β ----> 57-αβ = α+β ----> 57-10α-β=α+β ----> 57-10α-α=β+β ---> 57-11α=2β ----> β=(57-11α)/2 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "α" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "β" είναι ο αριθμός α=5 (3)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «α» στην (2) κι’ έχουμε:
β=(57-11α)/2 ---> β=[57-(11*5)]/2 ----> β=(57-55)/2 ----> β=2/2 ---->
β=1 (4)
Επαλήθευση:
1967-19αβ=1+9+α+β ---> 1967-1951=1+9+5+1 ----> 16=1+9+5+1 ο.ε.δ.

Οι Αριθμοί

2σχόλια
Ο Γιάννης λέει στη Μαρία: 
-«Έχω σκεφτεί δύο ακέραιους αριθμούς χ και y που είναι τέτοιοι ώστε, αν
μειώσω τον χ κατά 50 και αυξήσω τον y κατά 40, τότε το γινόμενο τους
δεν μεταβάλλεται.»
Η Μαρία ρωτάει το Γιάννη:
-«Εάν αυξήσεις τον αριθμό χ κατά 100 και μειώσεις τον αριθμό y κατά 20,
τότε πάλι το γινόμενο τους δεν μεταβάλλεται;»
Ο Γιάννης απαντάει:
-«Πράγματι, αυτό ισχύει.» 
Η Μαρία καταλήγει:
-«Τότε γνωρίζω τους αριθμούς που σκέφθηκες.»
Έχει δίκιο η Μαρία; Εσείς μπορείτε να βρείτε τους αριθμούς που σκέφθηκε
ο Γιάννης;
Πηγή:68ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ''Ο ΘΑΛΗΣ" 2007 - Α' τάξη Λυκείου

Λύση

Ναι, η Μαρία έχει δίκιο. Οι αριθμοί που σκέφθηκε ο Γιάννης είναι ο αριθμός 100 και ο αριθμός 40. Έστω» «x» και «y» οι αριθμοί που σκέφθηκε ο Γιάννης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
(x-50)*(y+40)=x*y (1)
(x+100)*(y-20)=x*y (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
(x-50)*(y+40)=xy ---> x*y-50y+40x-2.000=x*y ---> 40x-50y=x*y-x*y+2.000 ---> 40x-50y=2.000 (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
(x+100)*(y-20)=x*y ---> x*y+100y-20x-2.000=x*y ---> 100y-20x=x*y-x*y+2.000 ---> 100y-20x=2.000 (4)
Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη της (3) με τον αριθμό 2 κι’ έχουμε:
40x-50y=2.000 ---> 2*(40x-50y)=2.000*2 ---> 80x-100y=4.000 (5)
Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις (4) και (5) κι’ έχουμε:
100y-20x=2.000
80x-100y=4.000
80x-20x+100y-100y=6.000 ---> 60x=6.000 ---> x=6.000/60 --->
x=100 (6)
Αντικαθιστούμε την (6) στη (4) κι’ έχουμε:
100y-20x=2.000 ---> [100y-(20*100)]=2.000 --->
100y-2.000=2.000 ---> 100y=2.000+2.000 ---> 100y=4.000 --->
y=4.000/100 ---> y=40 (7)
Επαλήθευση:
(x-50)*(y+40)=x*y ---> (100-50)*(40+40)=100*40 ---> 50*80=4.000
(x+100)*(y-20)=x*y ---> (100+100)*(40-20)=100*40 ---> 200*20=4.000 ο.ε.δ.

Κυριακή, 1 Οκτωβρίου 2017

Η Ποσότητα

6σχόλια
Οι  εφτά νάνοι κάθονται σ’ ένα στρογγυλό τραπέζι και ο καθένας έχει μια κούπα μπροστά του. Κάποιες κούπες έχουν γάλα. Κάθε νάνος με τη σειρά, μοιράζει το γάλα του εξίσου στους υπόλοιπους έξι. Αφού τελειώσουν, διαπιστώνουν ότι κάθε κούπα έχει την αρχική ποσότητα. Πόσο γάλα έχει κάθε κούπα, εάν η συνολική ποσότητα είναι 42 ουγγιές;

Λύση

Η κάθε κούπα έχει:
O 1os νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-1)*(42/21) = 6*(42/21) = 6*2 = 12 oz γάλα
O 2os νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-2)*(42/21) = 5*(42/21) = 5*2 = 10 oz γάλα
Ο 3ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-3)*(42/21) = 4*(42/21) = 4*2 = 8 oz γάλα
Ο 4ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-4)*(42/21) = 3*(42/21) = 3*2 = 6 oz γάλα
Ο 5ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-5)*(42/21) = 2*(42/21) = 2*2 = 4 oz γάλα
Ο 6ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-6)*(42/21) = 1*(42/21) = 1*2 = 2 oz γάλα
Ο 7ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-7)*(42/21) = 0*(42/21) = 0*2 = 0 oz γάλα
Γενικά:
Ο n-οστός νάνος έχει (7-n)*(42/21) oz γάλα

Τετάρτη, 27 Σεπτεμβρίου 2017

Περιπτεράς και Ανέντιμος Πελάτης

8σχόλια
Πρωί – πρωί κάποιος σταματάει σ ένα περίπτερο ν’ αγοράσει τσιγάρα, έναν
αναπτήρα, μερικά περιοδικά, και μια εφημερίδα.
Μόλις τα παίρνει ο πελάτης ακολουθεί η εξής στιχομυθία:
Πελάτης: «Τι οφείλω;»
Περιπτεράς: «12».
Βγάζει ο πελάτης και δίνει στο περιπτερά ένα χαρτονόμισμα των 50.
Περιπτεράς: «Αμάν, πρωΐ- πρωΐ που να βρω ψιλά. Περίμενε να στείλω τον γιό μου δίπλα στο Φαρμακείο να το αλλάξει, γιατί δεν έχω ψιλά.»
Σχεδόν αμέσως ο γιος του επιστρέφει με τα ψιλά, παίρνει ο πελάτης τα ρέστα των 38, και φεύγει. Όμως, σχεδόν ταυτόχρονα, ο φαρμακοποιός από δίπλα βγαίνει από το φαρμακείο κρατώντας το χαρτονόμισμα των 50€ και λέει στον περιπτερά:
Φαρμακοποιός: «Γιώργο, το χαρτονόμισμα των 50€ που μου έφερε ο γιος σου  είναι πλαστό.»
Περιπτεράς: «Πλαστό; Α, τον άτιμο!!»
Ο περιπτεράς βγάζει από το συρτάρι του ένα γνήσιο χαρτονόμισμα των 50, το δίνει στον φαρμακοποιό και παίρνει το πλαστό με σκοπό να κάνει (ίσως) καταγγελία στην αστυνομία.
Ερώτημα:
Πόσα χρήματα έχασε ο περιπτεράς από αυτή την συναλλαγή;

Λύση

Έχασε 38€ και τα είδη που έδωσε στον ...πελάτη.

Κυριακή, 24 Σεπτεμβρίου 2017

Τα Βιβλία

2σχόλια
Σε ένα φεστιβάλ βιβλίου μοιράστηκαν 124 παραμύθια και 93 μυθιστορήματα. Κάθε δύο παιδιά που συμμετείχαν, πήραν ίσο αριθμό παραμυθιών και ίσο αριθμό
μυθιστορημάτων. Πόσα βιβλία πήρε το κάθε παιδί;

Λύση

Υπάρχουν 31 ζεύγη παιδιών και το κάθε ζεύγος παιδιών πήρε από 4 παραμύθια και από 3 μυθιστορήματα. Έστω «α» τα ζεύγη των παιδιών, «x» τα παραμύθια και «y» τα μυθιστορήματα που παίρνει το κάθε ζεύγος παιδιών. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
x+y=124+93=217 (1)
α*(x+y)=124+93=217 (2)
Αναλύουμε τους αριθμούς 124 και 93 σε γινόμενα πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
124=2^*31=4*31 (3)
93=3*31 (4)
Ο αριθμός 31, που είναι κοινός και στα δύο γινόμενα των πρώτων παραγόντων, αντιστοιχεί στα ζεύγη των παιδιών.
Οι αριθμοί 4 και 3 αντιστοιχούν στα παραμύθια και τα μυθιστορήματα που πήρε κάθε ζεύγος παιδιών. Αντικαθιστούμε τις (3) και (4) στη (2) κι’ έχουμε:
α*(χ+ψ)=124+93=31*4+31*3=31*(4+3)

Κυριακή, 17 Σεπτεμβρίου 2017

Οι Μπάλες

4σχόλια
O Ζήνων έχει 4 κουτιά, βλέπε ανωτέρω σχήμα. Τοποθετεί στο κουτί (α) ν μπάλες. Στην συνέχεια ακολουθεί τα πιο κάτω βήματα:
  • Βάζει τις μισές μπάλες από το (α) στο (β).
  • Βάζει τις μισές μπάλες από το (β) στο (γ).
  • Βάζει τις μισές μπάλες από το (α) στο (γ).
  • Βάζει όλες τις μπάλες από το (α) στο (δ).
  • Βάζει τις μισές μπάλες από το (γ) στο (α).
Σε ποιο κουτί βρίσκονται οι περισσότερες μπάλες:

Λύση

Σε κανένα κουτί δεν υπάρχουν περισσότερες μπάλες. Τελικά όλα τα κουτιά περιέχουν το ίδιο αριθμό από μπάλες μετά την κατανομή. Όλα τα κουτιά θα περιέχουν από δύο μπάλες.
Παραδείγματος Χάριν:
Οι μπάλες που θα περιέχει το κουτί «α» πρέπει να είναι ένας άρτιος
αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 4.
Έστω ότι το κουτί «α» περιέχει 8 μπάλες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α = 8 – 4 μπάλες στο κουτί «β» = υπόλοιπο 4 μπάλες – 2 μπάλες στο κουτί «γ» = υπόλοιπο 2 μπάλες – 2 μπάλες στο κουτί «δ» = υπόλοιπο 0 + 2 μπάλες από το κουτί «γ» = 2 μπάλες.
β = 4 μπάλες από το κουτί «α» - 2 μπάλες στο κουτί «γ»= υπόλοιπο 2 μπάλες.
γ = 2 μπάλες από το κουτί «β» + 2 μπάλες από το κουτί «α» = 4 μπάλες – 2 μπάλες στο κουτί «α» = υπόλοιπο 2 μπάλες.
δ= 2 μπάλες από το κουτί «α».
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes