Τρίτη, 17 Οκτωβρίου 2017

Ο Κρυμμένος Θησαυρός

Στο βαθύτερο σημείο μιας σπηλιάς, 7 πειρατές φρουρούν ένα θησαυρό.
Ο θησαυρός είναι κρυμμένος πίσω από 12 πόρτες.
Καθεμιά από τις οποίες έχει 12 κλειδαριές.
Όλες οι κλειδαριές είναι διαφορετικές μεταξύ τους.
Κάθε πειρατής έχει κλειδιά για κάποιες από τις κλειδαριές.
Οποιοιδήποτε τρεις πειρατές έχουν από κοινού τα κλειδιά για όλες τις κλειδαριές σε όλες τις πόρτες.
Να αποδειχτεί ότι όλοι οι πειρατές έχουν συνολικά τουλάχιστον 336 κλειδιά.

Λύση

12 πόρτες*12 κλειδαριές=144 κλειδιά. Τρεις, οποιοιδήποτε, πειρατές έχουν μαζί τουλάχιστον 144 κλειδιά. Άρα (Περιστερώνας) 144/3=48 τα κλειδιά που έχει κατ' ελάχιστο ο ένας τουλάχιστον από τους 3. Άρα αν ο τυχαίος "ένας" έχει τουλάχιστον 48 ,πρέπει και οι 7 να έχουν τουλάχιστον 48*7=336. Ή "εναλλακτικά": 48 o ένας και μένουν 2 τριάδες πειρατών (για κάθε "έναν") και η κάθε τριάδα θα έχει εξ' ορισμού 144. (144+144+48=336).

2 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Υπάρχουν συνολικά 144 κλειδαριές.
Έστω x1, x2, x3, x4, x5, x6 και x7 τα κλειδιά που έχουν ο 1ος, ο 2ος, ο 3ος, ο 4ος, ο 5ος, ο 6ος και ο 7ος αντίστοιχα πειρατής.
Ισχύουν :
x1 + x2 + x3 >= 144
x1 + x2 + x4 >= 144
x1 + x2 + x5 >= 144
x1 + x2 + x6 >= 144
x1 + x2 + x7 >= 144
x1 + x3 + x4 >= 144
x1 + x3 + x5 >= 144
x1 + x3 + x6 >= 144
x1 + x3 + x7 >= 144
x1 + x4 + x5 >= 144
x1 + x4 + x6 >= 144
x1 + x4 + x7 >= 144
x1 + x5 + x6 >= 144
x1 + x5 + x7 >= 144
x1 + x6 + x7 >= 144
x2 + x3 + x4 >= 144
x2 + x3 + x5 >= 144
x2 + x3 + x6 >= 144
x2 + x3 + x7 >= 144
x2 + x4 + x5 >= 144
x2 + x4 + x6 >= 144
x2 + x4 + x7 >= 144
x2 + x5 + x6 >= 144
x2 + x5 + x7 >= 144
x2 + x6 + x7 >= 144
x3 + x4 + x5 >= 144
x3 + x4 + x6 >= 144
x3 + x4 + x7 >= 144
x3 + x5 + x6 >= 144
x3 + x5 + x7 >= 144
x3 + x6 + x7 >= 144
x4 + x5 + x6 >= 144
x4 + x5 + x7 >= 144
x4 + x6 + x7 >= 144
x5 + x6 + x7 >= 144
Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω ανισώσεων έχουμε
15*x1 + 15*x2 + 15*x3 + 15*x4 + 15*x5 + 15*x6 + 15*x7 >= 35*144
15*(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7) >= 5040
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 >= 5040/15
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 >= 336

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Συγχαρητήρια!! Ωραία ανάλυση.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes