Κυριακή, 1 Οκτωβρίου 2017

Η Ποσότητα

Οι  εφτά νάνοι κάθονται σ’ ένα στρογγυλό τραπέζι και ο καθένας έχει μια κούπα μπροστά του. Κάποιες κούπες έχουν γάλα. Κάθε νάνος με τη σειρά, μοιράζει το γάλα του εξίσου στους υπόλοιπους έξι. Αφού τελειώσουν, διαπιστώνουν ότι κάθε κούπα έχει την αρχική ποσότητα. Πόσο γάλα έχει κάθε κούπα, εάν η συνολική ποσότητα είναι 42 ουγγιές;

Λύση

Η κάθε κούπα έχει:
O 1os νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-1)*(42/21) = 6*(42/21) = 6*2 = 12 oz γάλα
O 2os νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-2)*(42/21) = 5*(42/21) = 5*2 = 10 oz γάλα
Ο 3ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-3)*(42/21) = 4*(42/21) = 4*2 = 8 oz γάλα
Ο 4ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-4)*(42/21) = 3*(42/21) = 3*2 = 6 oz γάλα
Ο 5ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-5)*(42/21) = 2*(42/21) = 2*2 = 4 oz γάλα
Ο 6ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-6)*(42/21) = 1*(42/21) = 1*2 = 2 oz γάλα
Ο 7ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-7)*(42/21) = 0*(42/21) = 0*2 = 0 oz γάλα
Γενικά:
Ο n-οστός νάνος έχει (7-n)*(42/21) oz γάλα

6 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Carlo, προσπαθησα αλλα δεν καταφερα να τι λυσω.
V

Ανώνυμος είπε...

α β γ δ ε ζ η
-----------------------------------------------------------------
1 0 β+α/6 γ+α/6 δ+α/6 ε+α/6 ζ+α/6 η+α/6
-----------------------------------------------------------------
2 α/6 0 γ+2α/6 δ+2α/6 ε+2α/6 ζ+2α/6 η+2α/6
-----------------------------------------------------------------
3 2α/6 α/6 0 δ+3α/6 ε+3α/6 ζ+3α/6 η+3α/6
-----------------------------------------------------------------
4 3α/6 2α/6 α/6 0 ε+4α/6 ζ+4α/6 η+4α/6
-----------------------------------------------------------------
5 4α/6 3α/6 2α/6 α/6 0 ζ+5α/6 η+5α/6
----------------------------------------------------------------
6 5α/6 4α/6 3α/6 2α/6 α/6 0 η+6α/6
-----------------------------------------------------------------
7 6α/6 5α/6 4α/6 3α/6 2α/6 α/6 0

Εστω α,β,γ,δ,ε,ζ,η οι ποσότητες γάλατος που έχουν οι 7 νάνοι αντίστοιχα.
Σχηματίζουμε τον ανωτέρω πίναμα των 7 διανομών.
Προφανώς ο κάθε νάνος μοιράζει την ίδια ποσότητα γάλατος α, που ειχε αρχικά ο 1ος νάνος. Συνεπώς:
α=β+α/6 άρα β=α-α/6
α=γ+2α/6 άρα γ=α-2α/6
α=δ+3α/6 άρα δ=α-3α/6
α=ε+4α/6 άρα ε=α-4α/6
α=ζ+5α/6 άρα ζ=α-5α/6
α=η+6α/6 άρα η=α-6α/6=α-α=0
Η συνολική ποσότητα γάλατος ειναι 42, άρα:
α+β+γ+δ+ε+ζ+η=42
Αντικαθιστώντας στην ανωτέρω εξίσωση τα β,γ,δ,ε,ζ,η συναρτήσει του α έχουμε:
α+(α-α/6)+(α-2α/6)+(α-3α/6)+(α-4α/6)+(α-5α/6)+0=42
6α-α(1/6+2/6+3/6+4/6+5/6)=42
6α-15α/6=42
36α-15α=6*42
21α=6*42
α=6*42/21=6*2=12

Οπότε: α=12 β=10 γ=8 δ=6 ε=4 ζ=2 η=0

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Σωστή η απάντηση σας!! Δεν ξέρω κατά πόσω είναι σώστή και η δική μου εκδοχή.

Ανώνυμος είπε...

Δεν είναι σωστή, διότι η συνολική ποσότητα γάλατος δεν ισουται με 42 ουγγιες.
36+30+24+18+12+6=126

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Έχετε δίκιο. Η σωστή λύση είναι:
Η κάθε κούπα έχει:
O 1os νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-1)*(42/21) = 6*(42/21) = 6*2 = 12o z γάλα
O 2os νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-2)*(42/21) = 5*(42/21) = 5*2 = 10 oz γάλα
Ο 3ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-3)*(42/21) = 4*(42/21) = 4*2 = 8 oz γάλα
Ο 4ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-4)*(42/21) = 3*(42/21) = 3*2 = 6 oz γάλα
Ο 5ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-5)*(42/21) = 2*(42/21) = 2*2 = 4 oz γάλα
Ο 6ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-6)*(42/21) = 1*(42/21) = 1*2 = 2 oz γάλα
Ο 7ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-7)*(42/21) = 0*(42/21) = 0*2 = 0 oz γάλα
Γενικά:
Ο n-οστός νάνος έχει (7-n)*(42/21) γάλα

Ανώνυμος είπε...

Γενικευση του προβλήματος:

«Οι  κ τον αριθμο νάνοι κάθονται σ’ ένα στρογγυλό τραπέζι και ο καθένας έχει μια κούπα μπροστά του. Κάποιες κούπες έχουν γάλα. Κάθε νάνος με τη σειρά, μοιράζει το γάλα του εξίσου στους υπόλοιπους κ-1. Αφού τελειώσουν, διαπιστώνουν ότι κάθε κούπα έχει την αρχική ποσότητα. Πόσο γάλα έχει κάθε κούπα, εάν η συνολική ποσότητα είναι λ ουγγιές;»

Εστω: αν, ν=1,2,3,...,κ η ποσοτητα γαλατος της καθε κουπας. Τοτε:

αν=2λ(κ-ν)/κ(1-κ), ν=1,2,3,...,κ

Οι αριθμοι αν αποτελουν φθινουσα αριθμητικη προοδο με λογο: ω=2λ/κ(1-κ)
Για ν=κ προκυπτει: ακ=2λ(κ-κ)/κ(1-κ)=0

Εφαρμογη για: κ=7 και λ=42.

ν=1: α1=2*42*(4-1)/7*(7-1)=2*42*3/7*6=12 και: ω=2*42/7*(1-7)=2*42/7*(-6)=-2.




 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes