Σάββατο, 7 Οκτωβρίου 2017

Οι Αριθμοί

Ο Γιάννης λέει στη Μαρία: 
-«Έχω σκεφτεί δύο ακέραιους αριθμούς χ και y που είναι τέτοιοι ώστε, αν
μειώσω τον χ κατά 50 και αυξήσω τον y κατά 40, τότε το γινόμενο τους
δεν μεταβάλλεται.»
Η Μαρία ρωτάει το Γιάννη:
-«Εάν αυξήσεις τον αριθμό χ κατά 100 και μειώσεις τον αριθμό y κατά 20,
τότε πάλι το γινόμενο τους δεν μεταβάλλεται;»
Ο Γιάννης απαντάει:
-«Πράγματι, αυτό ισχύει.» 
Η Μαρία καταλήγει:
-«Τότε γνωρίζω τους αριθμούς που σκέφθηκες.»
Έχει δίκιο η Μαρία; Εσείς μπορείτε να βρείτε τους αριθμούς που σκέφθηκε
ο Γιάννης;
Πηγή:68ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ''Ο ΘΑΛΗΣ" 2007 - Α' τάξη Λυκείου

Λύση

Ναι, η Μαρία έχει δίκιο. Οι αριθμοί που σκέφθηκε ο Γιάννης είναι ο αριθμός 100 και ο αριθμός 40. Έστω» «x» και «y» οι αριθμοί που σκέφθηκε ο Γιάννης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
(x-50)*(y+40)=x*y (1)
(x+100)*(y-20)=x*y (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
(x-50)*(y+40)=xy ---> x*y-50y+40x-2.000=x*y ---> 40x-50y=x*y-x*y+2.000 ---> 40x-50y=2.000 (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
(x+100)*(y-20)=x*y ---> x*y+100y-20x-2.000=x*y ---> 100y-20x=x*y-x*y+2.000 ---> 100y-20x=2.000 (4)
Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη της (3) με τον αριθμό 2 κι’ έχουμε:
40x-50y=2.000 ---> 2*(40x-50y)=2.000*2 ---> 80x-100y=4.000 (5)
Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις (4) και (5) κι’ έχουμε:
100y-20x=2.000
80x-100y=4.000
80x-20x+100y-100y=6.000 ---> 60x=6.000 ---> x=6.000/60 --->
x=100 (6)
Αντικαθιστούμε την (6) στη (4) κι’ έχουμε:
100y-20x=2.000 ---> [100y-(20*100)]=2.000 --->
100y-2.000=2.000 ---> 100y=2.000+2.000 ---> 100y=4.000 --->
y=4.000/100 ---> y=40 (7)
Επαλήθευση:
(x-50)*(y+40)=x*y ---> (100-50)*(40+40)=100*40 ---> 50*80=4.000
(x+100)*(y-20)=x*y ---> (100+100)*(40-20)=100*40 ---> 200*20=4.000 ο.ε.δ.

2 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

(x-50)(y+40)=xy=>40x-50y=2000 (1)
(x+100)(y-20)=xy=>100y-20x=2000 (2)
2(1)+(2)=>60x=6000=>x=100 => y=40

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Σωστή η λύση. Μπράβο σου!!

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes