Σάββατο, 29 Οκτωβρίου 2011

Ο Ποδηλάτης

2σχόλια
 
Ένας ποδηλάτης πήγε από μια πόλη «Α» σε μία πόλη «Β» και επέστρεψε από τον ίδιο δρόμο. Στην μετάβαση οδηγούσε με μέση ταχύτητα 25km/h και ξεκουράστηκε ενδιάμεσα 1 ώρα. Στην επιστροφή οδηγούσε με μέση ταχύτητα 20 km/h και δεν έκανε καμία στάση. Πόσο ήταν το μήκος της διαδρομής από τη πόλη «Α» έως τη πόλη «Β», εάν ο συνολικός χρόνος του ταξιδιού ήταν 10 ώρες; (Κατ.34/Πρβ. Νο.464)

Λύση


Το μήκος της διαδρομής από τη πόλη «Α» στη πόλη «Β» είναι 100χλμ.
Εάν «x»km είναι η απόσταση από τη πόλη «Α» στη πόλη «Β», τότε ο
ποδηλάτης χρειάστηκε x/25 ώρες για να πάει από τη πόλη «Α» στη πόλη
«Β» και x/20 ώρες για να επιστρέψει. Αφού ξεκουράστηκε και 1 ώρα, ο
συνολικός χρόνος του ταξιδιού ήταν (x/25+x/20+1). Επειδή ο χρόνος
αυτός ισούται με 10 ώρες έχουμε την εξίσωση:
(x/25+x/20+1)=10
Λύνουμε την εξίσωση και έχουμε:
x/25+x/20+1=10 --> 4x+5x+100=1000 --> 9x=1000-100 --> 9x=900 -->
x=900/9 --> x =100χλμ.

Πέμπτη, 27 Οκτωβρίου 2011

Το Διαγώνισμα

3σχόλια
Ο Κώστας εξετάζεται σε ένα τεστ.  Tο τεστ αποτελείται από 20 ερωτήματα. Κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με 5 μονάδες , για κάθε λάθος απάντηση αφαιρούνται 2 μονάδες , ενώ για τα ερωτήματα που δεν απαντήθηκαν δεν δίνονται μονάδες. Γνωρίζουμε ότι ο Κώστας συγκέντρωσε 44 μονάδες και δεν απάντησε σε κάποια ερωτήματα. Να βρεθούν πόσα ερωτήματα απαντήθηκαν σωστά , πόσα ερωτήματα απαντήθηκαν λάθος , τέλος το πλήθος των ερωτημάτων που δεν απαντήθηκαν. 
(Κατ34/Πρβ. Νο.463)

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com/2011/10/blog-post_27.html

Λύση


Απαντήθηκαν: σωστά 10 ερωτήσεις, λανθασμένες 7 και 3 δεν απαντήθηκαν.
Έστω:
«x»: το πλήθος των ερωτημάτων που απαντήθηκαν σωστά.
«y»: το πλήθος των ερωτημάτων που απαντήθηκαν λανθασμένα.
«z»: το πλήθος των ερωτημάτων δεν που απαντήθηκαν.
Από τα δεδομένα του προβλήματος προκύπτει ότι;
x+y+z = 20 (1)
5x-2y+0z = 44 (2)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
5x-2y+0z = 44 --> 5x-2y = 44 (3)
Λύνουμε την (1) ως προς «y» κι’ έχουμε:
x+y+z = 20 --> y = 20–(x+z) (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:
5x-2y = 44 --> [5x-2*[20-(x+z)]] = 44 --> [5x-2*(20-x-z)] = 44 -->
5x-40+2x+2z = 44 --> 7x+2z = 44+40 --> 7x+2z = 84 --> 2z = 84-7x -->
z = (84-7x)/2 (5)
Γνωρίζουμε ότι ο «z» είναι θετικός ακέραιος, τότε ο «x» πρέπει να
είναι άρτιος και τουλάχιστον 10 για να μπορέσουμε να έχουμε ένα
άθροισμα βαθμών 44.
Το ότι είναι άρτιος ο «x» το συμπεραίνουμε από τον παρανομαστή του
κλάσματος που είναι 2, άρα ο αριθμητής πρέπει να είναι πολλαπλάσιο
του 2 για να προκύπτει ο «z» θετικός ακέραιος.
Άρα το (84-7x) είναι πολλαπλάσιο του 2, και x>=10.
Οι παραπάνω προϋπόθεση μας οδηγεί στον παρακάτω πίνακα με όλες τις
δυνατές περιπτώσεις:
Ερωτήσεις                  Περιπτώσεις
Σωστές = x                   10    12     14
Λανθασμένες = y           3      8      13
Αναπάντητες = z             7      0      -7
Σύνολο Ερωτήσεων:   20    20      20
Το «z» δεν μπορεί να είναι αρνητικός ούτε μηδέν.
Είναι σαφές από την εκφώνηση ότι ο Κώστας δεν απάντησε σε κάποια
ερωτήματα. Άρα η μοναδική λύση είναι: x = 10,  y = 3,  z = 7 .
Επαλήθευση:
x+y+z = 20 --> 10+3+7 = 20
5x-2y+0z = 44 --> (5*10)-(2*3)+(0*7) = 44 --> 50-6+0 = 44  ο.ε.δ.

Τετάρτη, 26 Οκτωβρίου 2011

Ο Εισαγωγέας

3σχόλια
Ένας εισαγωγέας αυτοκινήτων παρέλαβε μία παρτίδα από αυτοκίνητα. Η αξία του  τιμολογίου ήταν 1.000.000.000 δρχ. Το περίεργο είναι ότι δεν υπάρχει το ψηφίο μηδέν "0", ούτε στην ποσότητα των αυτοκινήτων ούτε και στη τιμή του καθενός, αν και είναι ακέραιοι αριθμοί. Πόσα αυτοκίνητα παρέλαβε και πόσο στοίχιζε το καθ' ένα; (Κατ.34/Πρβ. Νο.462)

Λύση



Αγόρασε 512 αυτοκίνητα που το καθ’ ένα στοίχιζε 1.953.125δρχ.
Αναλύουμε τον αριθμό 1.000.000.000 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:
1.000.000.000 = 2^9*5^9, δηλαδή είναι πολλαπλάσιο του 2 και του 5.
Εάν η τιμή ενός αυτοκινήτου ήταν πολλαπλάσιο του 2 και του 5
ταυτόχρονα,τότε θα τελείωνε σε μηδέν. Άρα είναι πολλαπλάσιο μόνο
του 2 ή μόνο του 5. Πολλαπλάσιο μόνο του 2 αποκλείεται,αφού τότε η
μέγιστη δυνατή αξία του θα ήταν 2^9 = 512 δρχ, λίγο φτηνό για ένα
αυτοκίνητο. Άρα είναι πολλαπλάσιο μόνο του 5, ενώ μία λογική τιμή
θα ήταν το 5^9 =1.953.125 δρχ (Το 5^8 δεν μας ικανοποιεί, αφού εκτός
του ότι είναι πολύ φτηνό, περιέχει το ψηφίο μηδέν,5^8 = 390.625).
Άρα αγόρασε:
2^9 = 512 αυτοκίνητα που το καθένα στοίχιζε 5^9 = 1.953.125δρχ.
Επίσης υπάρχει και η εξής πρακτική λύση:
Το 1.000.000.000 μπορεί να σχηματιστεί με τους εξής συνδυασμούς:
1.000.000.000 = 20.000.000*5
1.000.000.000 = 40.000.000*25
1.000.000.000 = 8.000.000*125
1.000.000.000 = 1.600.000*625
1.000.000.000 = 320.000*3.125
1.000.000.000 = 64.000*15.625
1.000.000.000 = 12.800*78.125
1.000.000.000 = 2.560*390.625
1.000.000.000 = 512*1.953.125

Δευτέρα, 24 Οκτωβρίου 2011

Ο Μεγαλύτερος Μήνας

6σχόλια
Όλοι γνωρίζουμε ότι ο μικρότερος  μήνας του έτους, σε διάρκεια, είναι ο Φεβρουάριος (28 ημέρες το κοινό έτος και 29 ημέρες το δίσεκτο έτος). Ποιος είναι ο μεγαλύτερος μήνας του έτους σε διάρκεια;
(Κατ.27/Πρβ. Νο.322)

Λύση


Ο μεγαλύτερος μήνας είναι ο Οκτώβριος, λόγω του ότι τη τελευταία
Κυριακή του μήνα, τα ξημερώματα (3:00π.μ.), οι δείκτες του ρολογιού
γυρνάνε μια ώρα πίσω (2:00π.μ.), οπότε η διάρκεια αυτής της ημέρας
είναι 25 ώρες άρα και ο μεγαλύτερος (χρονικά) μήνας από τους
υπόλοιπους που έχουν 31 ημέρες (Ιανουάριος, Μάρτιος,Μάϊος, Ιούλιος,
Αύγουστος, Οκτώβριος, και Δεκέμβριος). Εφόσον ο Οκτώβριος έχει
μία ώρα παραπάνω από τους άλλους μήνες, συνεπάγεται ότι είναι
ο «μεγαλύτερος από τους μεγαλύτερους» μήνες.
Σχόλια:
Είναι λανθασμένο ν’ απαντήσουμε ο Μάρτιος, διότι ο Μάρτιος είναι
ο «μικρότερος από τους μεγαλύτερους μήνες, ο οποίος έχει 31 ημέρες,
σε διάρκεια λόγω της αλλαγής της ώρας την τελευταία Κυριακή
(Ευρωπαϊκή Ένωση) από χειμερινή σε θερινή, όπου οι δείκτες του
ρολογιού πάνε μια ώρα μπροστά. Συνεπώς ο Μάρτιος διαρκεί 30 ημέρες
και 23 ώρες. Σε ορισμένες Πολιτείες της Αμερικής και κάποιες άλλες
χώρες η αλλαγή γίνεται τη πρώτη Κυριακή του Απριλίου.

Σάββατο, 22 Οκτωβρίου 2011

Ο Πυθαγόρας και ο Ναός του Διός

2σχόλια
 
Μία ημέρα ο Πυθαγόρας, για να τιμωρήσει τον υπηρέτη του Θύρσο για
απείθεια, τον έστειλε σ΄ ένα ναό του Δία, που είχε επτά κολόνες στη
πρόσοψη και του είπε:
- "Να βηματίζεις από αριστερά προς τα δεξιά και από τα δεξιά προς τ’
αριστερά εμπρός    από τις κολόνες και να τις μετράς μία-μία και όταν
φθάσεις στον αριθμό 1.999, να έρθεις να μου πεις ποια κολόνα είναι η  
1.999η."
Τελικά ο Θύρσος τα κατάφερε να βρει τη 1.999η κολόνα. Εσείς μπορείτε
να τη βρείτε γρηγορότερα, χωρίς να ταλαιπωρηθείτε σαν το Θύρσο;
(Κατ.3/Πρβ. Νο.22)
Διευκρίνιση:
Αυτό το πρόβλημα αποδίδεται στον μαθηματικό και αστρονόμο Πυθαγόρα 
το Σάμιο (586-500 π. Χ.).

Λύση

Η 1999η κολώνα είναι η 7η από αριστερά. Και τούτο γιατί κατά την
αρίθμηση η πρώτη από αριστερά κολώνα καταμετρήθη ως 1η, 13, 25,...,ν
Οι ανωτέρω όροι αποτελούν αριθμητική πρόοδο με:
Πρώτο όρο: α = 1
Λόγο: ω = 12
ν = <1999
Τελευταίο όρο: τ = ;
Από το τύπο τ = [α+(ν-1)*ω] βρίσκουμε το τελευταίο όρο της αριθμητικής
πορόδου. Το «ν» είναι ο μεγαλύτερος φυσικός για τον οποίο ισχύει: 1+(ν-1)*12<=1999-->ν-1<=(1999-1)/12-->ν-1<=1998/12-->ν-1<=166,5--> ν<=166,5+1-->ν<=167,5 Άρα ν=167.
Οπότε τ = [α+(ν-1)*ω] --> τ = [1+(167-1)*12] --> τ = [1+(166)*12 ]-->
τ = 1+1.992 --> τ =1.993
Είναι φανερό ότι η έβδομη κολώνα έχει ως τελευταία αρίθμηση τον αριθμό
1.999
Τη λύση του προβλήματος την έδωσε ο φίλος της ιστοσελίδας N. Lntzs με
κάποια επεξεργασία δική μου.

Τετάρτη, 19 Οκτωβρίου 2011

Ένα Πρόβλημα Ζητά Επίλυση

7σχόλια
Ποιο είναι πιο πιθανό, ότι θα φέρουμε ένα  τουλάχιστον  «6» ρίχνοντας ένα ζάρι 4 φορές ή ότι θα φέρουμε μια φορά τουλάχιστον «εξάρες» ρίχνοντας δύο ζάρια 24 φορές; (Κατ.33/Πρβ. Νο.19)
Παράδοξο του Antoine Gombaud, Chevalier de Méré. Σχετικά βλέπε:
http://el.wikipedia.org/wiki/Ars_Conjectandi
http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE%BD%CF%84%CE%BF%CF%85%CE%AC%CE%BD_%CE%93%CE%BA%CE%BF%CE%BC%CF%80%CF%8C
 http://users.auth.gr/~cmoi/e-book%20on%20Probability-I/Docs/Section01/1_2_Pascal-Fermat.htm
http://users.auth.gr/~cmoi/e-book%20on%20Probability-I/Docs/Section01/1_2a_ChevDeMere.htm
http://users.auth.gr/~cmoi/e-book%20on%20Probability-I/Docs/Section01/galilei.htm

Λύση

Ότι θα φέρουμε ένα τουλάχιστον «6» ρίχνοντας ένα ζάρι «4»
φορές,51,77%, έναντι 49,14% για τις "εξάρες" ρίχνοντας δύο
ζάρια 24 φορές!

Δευτέρα, 17 Οκτωβρίου 2011

Το Βιβλίο

4σχόλια
 
Ο Κώστας, μανιώδης συλλέκτης σπανίων βιβλίων, αγόρασε από ένα παλαιοπωλείο βιβλίων ένα σπάνιο βιβλίο. Όταν γύρισε στο σπίτι του άρχισε να διαβάζει το νέο του απόκτημα. Σε κάποιο σημείο του βιβλίου είδε ότι έλειπαν μια σειρά από συνεχόμενες σελίδες. Το άθροισμα αυτών των σελίδων ισούται με 1.088. Με βάση την προσφιλή του συνήθεια προσπέρασε τις σελίδες που έλειπαν και συνέχισε απλά την ανάγνωση… έχοντας χάσει βέβαια ένα αρκετά μεγάλο κομμάτι της υπόθεσης… Ποιες σελίδες έλειπαν από το βιβλίο; (Κατ.34/Πρβ. Νο.460)

Λύση


Λείπουν 17 φύλλα από και την σελίδα 56 έως και την σελίδα 72.
Έστω «ν» ο πρώτος αριθμός της χαμένης σελίδας και «μ» το σύνολο των
σελίδων. Βάσει του τύπου της αριθμητικής προόδου έχουμε:
Σο=ν + (ν+1) + …. + (ν+μ-1) --> Σο=[[2ν+(μ-1)]*μ]/2 -->
1.088= [[2ν+(μ-1)]*μ]/2
Αναλύομε το 1.088 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
1.088 = 2^6*17 = 64*17
2^6*17 =[[2ν+(μ-1)]*μ]/2 --> 2^6*17 *2=[[2ν+(μ-1)]*μ] -->
2^7*17=[[2ν+(μ-1)]*μ] --> 128*17=[[2ν+(μ-1)]*μ]
Στο πρώτο μέλος το 17 δηλώνει τα φύλλα που λείπουν και το 128
το άθροισμα των σελίδων αυτών.
Στο δεύτερο μέλος εάν ο «μ» είναι ζυγός αριθμός τότε το (2ν+μ-1)
είναι περιττός, ενώ εάν ο «μ» είναι περιττός αριθμός τότε το
(2ν+μ-1) είναι ζυγός και μάλιστα μ<2ν+μ-1. Άρα από την παραπάνω σχέση: α) ή θα έχω μ=1 και [[2ν+(μ-1)]*μ] = 2^7x17 -->
[[2ν+(1-1)]*1] = 2^7x17 --> (2ν+0)*1=2^7x17 --> 2ν*1=2^7*17-->
2ν=2^7*17 (απορρίπτεται, γιατί λείπει πάνω από μία σελίδα, άρα μ>1)
β) ή θα έχω μ=17 και [[2ν+(μ-1)]*μ]=2^7*17 -->
[[2ν+(17-1)]*17]=2^7*17 --> (2ν+17-1)=(2^7*17)/17 -->
(2ν+16)=2^7 --> 2ν=128-16 --> 2ν=112 --> ν=112/2 --> ν=56
Για να βρούμε το τελευταίο όρο του αθροίσματος των σελίδων
χρησιμοποιούμε το τύπο:
τ = [α+(ν-1)*ω] --> τ = [56+(17-1)*1] --> τ = (56+16)*1 -->
τ = 72*1 --> τ = 72
Επαλήθευση:
Σο=[[2ν+(μ-1)]*μ]/2 --> Σο=[[(2*56)+(17-1)]*17]/2 -->
Σο=[(112+16)*17]/2 --> Σο=(128*17)/2 -->Σο= 64*17 -->
Σο=1.088 ο.ε.δ.

Τρίτη, 11 Οκτωβρίου 2011

Η Χιονοθύελλα

0σχόλια
Στις 20 Ιανουαρίου 2002 στην Πενσυλβανία, των Η.Π.Α., εκδηλώθηκε η μεγαλύτερη χιονοθύελλα της χιλιετίας. Πολλά σχολεία έμειναν κλειστά λόγω καιρού και κρύου. Το κλείσιμο των σχολείων ανακοινώθηκε στην τοπική τηλεόραση και στους ραδιοφωνικούς σταθμούς, αλλά κάποιες φορές πρέπει κάποιος να κοιτάει ή να ακούει για πολύ ώρα μέχρι να ανακοινωθεί το σχολείο του. Παρόλα αυτά, ο πατέρας της Carlin είναι ο διευθυντης και αυτό σημαίνει ότι η Carlin ενημερώθηκε πρώτη  για το κλείσιμο του σχολείου. Η Carlin τότε τηλεφώνησε στους φίλους της, Frank και Hobart. Ο Frank τηλεφώνησε στους φίλους του, Julie και Kory. Ο Hobart τηλεφώνησε στους φίλους του,  Laura και Marcellus. Το τηλεφωνικό «δέντρο» συνεχίστηκε με την Julie να καλεί τους Nihaar και Saloni, και η Kory τηλεφωνεί στους Tara και Vincent, και ούτω καθεξής.

Δευτέρα, 10 Οκτωβρίου 2011

Η Μέση Ταχύτητα

4σχόλια
Μια παρέα ξεκίνησε από Αθήνα προς Πάτρα, με ένα αυτοκίνητο , για να παρευρεθεί στην εκεί καθιερωμένη ετήσια παρέλαση του βασιλιά Καρνάβαλου. Στα μισά του δρόμου αρχίζουν να ανησυχούν πως δεν θα προλάβουν αφού διαπιστώνουν ότι έχουν διανύσει την απόσταση αυτή με μέση ταχύτητα 60 χμ/ω. Διερωτούνται λοιπόν, ποιά θα πρέπει να είναι η μέση ταχύτητα του οχήματος κατά το υπόλοιπο μισό της διαδρομής, ούτως ώστε να έχουν διανύσει την όλη απόσταση με μέση ταχύτητα 120 χμ/ω. Μπορείτε να τους βοηθήσετε; (Κατ.27/Πρβ. Νο.320)

Λύση


Αφού έχουν ήδη καλύψει το μισό μέρος της διαδρομής με ταχύτητα
60χμ/ω, για να καλύψουν ολόκληρη τη διαδρομή με μέση ταχύτητα
120χμ/ω θα πρέπει να καλύψουν το υπόλοιπο μέρος της διαδρομής
σε χρόνο μηδέν, τ’ οποιο φυσικά είναι αδύνατον.

Κυριακή, 9 Οκτωβρίου 2011

Η Διαδρομή

2σχόλια
Τα τρία ανιψάκια του Donald Duck, o Huey, ο Dewey και ο Loie,  πήγαν  την Κυριακή με τα ποδήλατά τους στο αγρόκτημα της γιαγιάς Duck. Πηγαίνοντας ανέπτυξαν σταθερή ταχύτητα 20μέτρα/δευτερόλεπτο. Στο γυρισμό όμως, που ήταν κουρασμένα από το παιγνίδι, έτρεχαν με σταθερή ταχύτητα 10μέτρα/δευτερόλεπτο. Ποια ήταν η μέση ταχύτητα;
(Κατ.34/Πρβ. Νο.459)

Λύση


Η μέση ταχύτητα είναι 13,333μ/δευτ. Έστω S η απόσταση μέχρι το κτήμα της γιαγιάς. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Πηγαίνοντας έκαναν χρόνο t1 = S/20, ενώ ερχόμενοι έκαναν t2 = S/10.
Η μέση ταχύτητα είναι Uμ=2S/(t1+t2)-->Uμ=2S/(S/20+S/10)-->
Uμ=2/(1/20+1/10)-->Uμ=2/(3/20)-->Uμ=(2*20)/3-->Uμ=40/3μ/δευτ
ή 13,333...μ/δευτ.

Παρασκευή, 7 Οκτωβρίου 2011

Το Ύψος της Σκάλας

2σχόλια
Το ύψος μιας σκάλας κυμαίνεται μεταξύ τριών και τεσσάρων μέτρων. Χωρίς να φτάσουμε στο τέρμα, ανεβαίνουμε τα μισά σκαλοπάτια, κατόπιν το ένα τρίτο του υπολοίπου και τέλος το ένα όγδοο του καινούριου υπολοίπου.Κάθε σκαλοπάτι έχει ύψος δεκαέξι εκατοστά του μέτρου. Πόσο είναι ακριβώς το ύψος της σκάλας και πόσα σκαλοπάτια έχει; 
(Κατ.34/Πρβ. Νο.458)

Λύση


Ανεβαίνουμε τα μισά σκαλοπάτια και επομένως μένουν τα υπόλοιπα μισά.
Το πρώτο υπόλοιπο, δηλαδή, είναι το 1/2 της σκάλας. Ανεβαίνουμε το
1/3 από το πρώτο υπόλοιπο κι επομένως μένουν (2/3)*(1/2) = 2/6=1/3
της σκάλας, που είναι το δεύτερο υπόλοιπο. Τέλος, ανεβαίνουμε το
1/8του δεύτερου υπολοίπου. Αυτό όμως σημαίνει ότι το 1/3των σκαλιών
διαιρείται με το 8. Δηλαδή, ο αριθμός των σκαλιών είναι πολλαπλάσιο
του 24.
1 * 24 * 0,16 μ = 3,84 μ
2 * 24 * 0,16 μ = 7,68 μ
......
Από αυτά, το μόνο που βρίσκεται μεταξύ 3 και 4 μ είναι το πρώτο.
Άρα 3,84 μ είναι το ύψος της σκάλας και 24 ο αριθμός των σκαλιών.
Είναι σχετικά εύκολο να πει κανείς:
«Ανέβηκα το ένα δεύτερο, μετά το ένα τρίτο, τέλος το ένα όγδοο.
Άρα ο αριθμός των σκαλιών πρέπει να διαιρείται με το δυο, το τρία
και το οκτώ» που είναι προφανώς λάθος. Τυχαίνει όμως να βγάζει όμως
σωστό αποτέλεσμα.

Τετάρτη, 5 Οκτωβρίου 2011

Το Κοινό Στοιχείο

2σχόλια
 
Τι κοινό στοιχείο έχουν τα ανωτέρω κλάσματα; 
(Κατ.11/Πρβ. Νο.33)

Λύση


Τα κλάσματα: 26/65, 19/95, 49/98, 16/64 έχουν το εξής κοινό στοιχείο, ότι η αριθμητική τους αξία δεν μεταβάλλεται, εάν απαλειφθεί το ψηφίο που επαναλαμβάνεται στον αριθμητή και στον παρονομαστή:
26/65= 0.4 --> Μετά την απαλειφή του 6 --> 2/5= 0.4
19/95= 0.2 --> Μετά την απαλειφή του 9 --> 1/5= 0.2
49/98= 0.5 --> Μετά την απαλειφή του 9 --> 4/8= 0.5
16/64= 0.25 --> Μετά την απαλειφή του 6 --> 1/4= 0.25

Δευτέρα, 3 Οκτωβρίου 2011

Η Περιπέτεια του Γιαννάκη

1 σχόλια
Ο Γιαννάκης σχολάει από το σχολείο του κάθε μέρα μια συγκεκριμένη ώρα. Η μητέρα του γνωρίζοντας ότι σχολάει αυτή την ώρα ξεκινάει με το αυτοκίνητο από το σπίτι, έτσι ώστε να φτάσει ακριβώς την ώρα που σχολάει και να μην περιμένει ο ένας τον άλλον. Μια μέρα ο Γιαννάκης σχόλασε μια ώρα νωρίτερα και ξεκίνησε περπατώντας προς το σπίτι. Η μητέρα του που δεν ήξερε ότι ο Γιαννάκης σχόλασε νωρίτερα, ξεκίνησε από το σπίτι την καθιερωμένη ώρα. Ο Γιαννάκης αφού περπάτησε για μισή ώρα, κουράστηκε κι έκατσε σε ένα παγκάκι για να ξεκουραστεί περιμένοντας την. Η μητέρα του ερχόμενη από το σπίτι τον είδε στο παγκάκι, τον πήρε και γύρισαν στο σπίτι 48 λεπτά αργότερα από την ώρα που θα γυρνούσαν αν η μητέρα του ήξερε ότι σχόλασε νωρίτερα και κανόνιζε ανάλογα το δρομολόγιο. Πόση ώρα περίμενε ό Γιαννάκης στο παγκάκι ;
Διευκρίνιση:
Υποθέτουμε πως η κίνηση στους δρόμους δεν επηρεάζει τη χρονική     διάρκεια του δρομολογίου, η οποία είναι σταθερή για κάθε ώρα και μέρα και πως όση ώρα διαρκεί το "πήγαινε" άλλη τόση διαρκεί και το "έλα". 
(Κατ.27/Πρβ. Νο.319)

Λύση


Εάν ο Γιαννάκης δεν ξεκινούσε από το σχολείο για το σπίτι του με τα πόδια,
αλλά περίμενε τη μητέρα του στο σχολείο, τότε θα έφταναν στο σπίτι μία ώρα αργότερα από την ώρα που θα έφταναν αν η μητέρα του ήξερε ότι ο
Γιαννάκης σχόλασε νωρίτερα. Αντ'αυτού η καθυστέρηση ήταν μόνο 48
λεπτά. Αυτό το "κέρδος" των 12 λεπτών προέκυψε από τ’ ότι ο
Γιαννάκης κάλυψε κάποια απόσταση περπατώντας και έτσι ή μητέρα του
δε χρειάστηκε να πάει ως το σχολείο, δηλαδή κέρδος 6 λεπτά στον
πηγαιμό και κέρδος 6 λεπτά στο γυρισμό. Αφού λοιπόν η μητέρα του
είχε προγραμματίσει το δρομολόγιο ώστε να φτάσει την καθιερωμένη
ώρα στο σχολείο, όταν συνάντησε το γιο της στο παγκάκι ήθελε ακόμα
6 λεπτά για να φτάσει στο σχολείο.Οπότε η συνάντηση έγινε 60–6=54
λεπτά μετά το σχόλασμα του Γιαννάκη. Από αυτά, τα 30 λεπτά
δαπανήθηκαν για την διαδρομή από το σχολείο ως το παγκάκι και τα
υπόλοιπα 24 λεπτά για την αναμονή στο παγκάκι.

Κυριακή, 2 Οκτωβρίου 2011

Οι Πίτσες

2σχόλια
Μπαίνει κάποιος σε μια πιτσαρία για να φάει μια πίτσα. Στο κατάστημα υπήρχαν ήδη δύο άτομα που τρώγαν πίτσα. Περιμένοντας τη παραγγελία του σκέφθηκε να χρονομετρήσει το χρόνο που δαπανεί ο καθ' ένας  για να φάει τη πίτσα του  και διαπίστωσε τα εξής:
Ο πρώτος τρώει τη πίτσα σε 10λεπτά, ενώ ο δεύτερος τρώει τη πίτσα σε 20λεπτά.
Σε πόση ώρα θα φάνε και οι δύο μαζί μια πίτσα;
(Κατ.34/Πρβ. Νο.257)

Λύση


Και οι δύο μαζί θα φάνε τη πίτσα σε 6,66 λεπτά ή σε 400 δευτερόλεπτα της
ώρας. Έστω ότι ο πρώτος τρώει τη πίτσα με ταχύτητα «α» και ο δεύτερος
τρώει τη πίτσα με ταχύτητα «β». Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του
προβλήματος έχουμε:
10α = Π (1)
20β = Π (2)
Δηλαδή, ο χρόνος που απαιτείται για να φάει ο καθ’ ένας τη πίτσα επί τη
ταχύτητα με την οποία ο καθ’ ένας τρώει τη πίτσα ισούται με ολόκληρη τη
πίτσα,που συμβολίζεται με «Π».
Σύμφωνα με τ’ ανωτέρω μπορούμε επίσης να γράψουμε τη σχέση:
(α+β)*t=Π (3)
Όπου το (α+β) συμβολίζει το σύνολο της ταχύτητας και των δύο μαζί σε
χρόνο «t».
Το ζητούμενο, προφανώς, είναι η μεταβλητή «t», που συμβολίζει το χρόνο
που απαιτείται για να φάνε και οι δύο μαζί τη πίτσα.
Από τη (3) συνάγουμε ότι:
t=Π/(α+β) (4)
Από την (1) και τη (2) επίσης συνάγουμε ότι:
10α = Π --> α=Π/10 (5)
20β = Π --> β=Π/20 (6)
Προσθέτουμε κατά μέλη τη (5) και την (6) κι’ έχουμε:
α+β=Π/10+Π/20 --> α+β=(2Π+Π)/20 --> α+β=3Π/20 (7)
Αντικαθιστούμε την (7) στη (4) κι’ έχουμε:
t=Π/(α+β) --> t=Π/(3Π/20) --> t=20Π/3Π--> t=20/3--> t=6,66 λεπτά της
ώρας. Ή
Μετατρέπουμε τα λεπτά σε δευτερόλεπτα:
t=(20/3)*60 --> t=20*20=400 δευτερόλεπτα της ώρας.
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes